이중 요인

수학에서, n $‼$ 으로 표시되는 $숫자$ n의 이중 요인은 ^[1]n과 $동일$ 한 패리티(홀수 또는 짝수)를 갖는 $n$ 까지의 모든 양의 정수의 곱입니다.그것은,

{\displaystylen!!=\filename_{k=0}^{\left\lceil{frac{n}{2}}\rceil-1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots}

반복하면 $짝수$ n의 경우 이중 요인은

{\displaystylen!!=\cdots _{k=1}^{\frac{n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdots 2\...}

이상하게도

{\displaystylen!!=\cdots _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-1)(n-4)\cdots 3\cdots 1\belm}

예

를 들어 9

‼

=

9 \times 7

×

5

×

3

× 1 =

945

입니다.0 이중

요인

0 ‼ =

1

을 빈 ^[2]^[3]곱으로 사용합니다.

$짝수$ n = $0, 2, 4, 6, 8,$ ...에 대한 이중 요인 순서는 다음과 같이 시작합니다.

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,

... (OEIS의 시퀀스 A000165)

$홀수$ n = $1, 3, 5, 7, 9,$ ...에 대한 이중 요인 순서는 다음과 같이 시작합니다.

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,

... (OEIS의 시퀀스 A001147)

홀수 ^[4]^[5]요인이라는 용어는 홀수의 이중 요인에 사용되기도 합니다.

역사 및 사용법

물리학자 아서 슈스터는 1902년 논문에서 다음과 같이 썼습니다.^[6]

이 논문의 결과를 상징적으로 표현하는 것은 대체 인자의 곱에 대한 별도의 기호, 즉 n{displaystyle n\cdot n-2\cdot n-4\cdot 1}, n{displaystyle n}이 홀수이면 n-2\cdot n-4\cdots 2가 도입됨으로써 훨씬 쉬워진다. $글$ 을쓸 것을 제안합니다 $!$ 이러한 제품의 경우, 그리고 제품이 "이중 요인" 또는 "이중 요인"이라고 부르는 데 이름이 필요한 경우.

Meserve(1948)^[7]는 원래 이중 요인이 월리스 제품의 파생에서 발생하는 특정 삼각 적분의 표현을 단순화하기 위해 도입되었다고 말합니다.이중 요인은 또한 초구의 볼륨을 표현할 때 발생하며, 열거 조합론에서 ^[1]^[8]많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다.고셋은 이중 느낌표 표기법을 사용하지 않았지만 학생의 t-분포(1908)에서 발생합니다.

요인과의 관계

이중 요인에는 일반 요인의 절반 정도만 포함되므로 이중 요인의 값은 $요인$ n $!$ 의 제곱근보다 크지 않고 반복 요인( $n!)$ 보다 훨씬 작습니다.

$양$ 의 n의 요인은 두 개의 이중 ^[2]요인의 곱으로 기록될 수 있습니다.

n!=n!!\cdot (n-1)!!\...

그러므로

{\displaystylen!!=nbfrac {n!}{(n-1)!!}}=nbfrac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,}

여기서 분모는 분자의 원하지 않는 요인을 취소합니다.(마지막 형식은 n =

0일

때

도 적용됩니다.)

k ≥ $0인$ 짝수 음이 아닌 $정수$ n = $2k$ 의 경우, 이중 요인은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

{\displaystyle(2k)} 표시!!=2^{k}k!\namb}

k ≥ $1인$ $홀수$ n = $2k$ - $1$ 의 경우, 이전의 두 공식을 결합하면 산출량이 증가합니다.

디스플레이 스타일(2k-1)!!=nbfrac {(2k)!}{2^{k}k!}}=nbfrac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.}

k ≥ $1인$ 홀수 양의 $정수$ n = $2k$ - $1$ 의 경우, 이중 요인은 $2k$ 의^[1]^[9] k-변환 또는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

디스플레이 스타일(2k-1)!!=nbfrac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}=nbfrac {(2k)^{\colon {k}}}{2^{k}}}\baft}

열거형 조합의 응용 프로그램

이중 요인은 열거형 조합 및 기타 설정에서 자주 발생한다는 사실에 의해 동기 부여됩니다. $예$ 를 들어, n $카운트$ 의 홀수 값에 대한 n $‼$

$홀수$ n에 대한 $완전$ 한_{n + 1} 그래프 K의 완벽한 일치.이러한 그래프에서, 모든 단일 정점 v는 일치할 수 있는 정점의 가능한 선택을 $가지고$ 있으며, 이 선택이 이루어지면 남은 문제는 두 개의 더 적은 정점이 있는 완전한 그래프에서 완벽한 일치를 선택하는 것 중 하나입니다.예를 들어, 4개의 꼭짓점이 a, b, c, d인 완전 그래프에는 ab과 cd, ac와 bd, ad와 ^[1]bc의 세 가지 완벽한 일치가 있습니다.완벽한 일치는 n + $1$ 항목 $세트$ (각 사이클이 한 ^[1]쌍인 순열) 또는 코드 다이어그램(각 점이 정확히 하나의 코드의 끝점이 되도록 원 위에 균일하게 간격을 둔 n + $1$ 점 세트의 $코드$ 세트)에 대한 고정된 포인트가 없는 삽입을 포함하여 몇 가지 다른 동등한 방식으로 설명될 수 있습니다.브라우어 ^[8]^[10]^[11]다이어그램이라고도 함).완전한 그래프의 일치 수는 일치가 완벽하도록 제한하지 않고 대신 전화 번호로 제공되며, 이는 이중 ^[12]요인을 포함하는 합계로 표현될 수 있습니다.
스털링 순열, 각 쌍의 동일한 숫자가 더 큰 숫자로만 구분되는 숫자 1, 1, 2, 2, ..., k, k의 다중 집합 순열. 여기서 k = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}mw-parser-output .sfrac.tion, mw-parser-outparser-outputpaction .sfracion {display:disign:0.85%;denalign-den-dparac-den-den.fac-d.k의 $두$ 복사본은 인접해야 합니다. 순열에서 제거하면 최대 $원소가 k$ - 1이고 인접한 k 값 $쌍$ 이 배치될 수 있는 n개의 위치가 $있는$ 순열이 남습니다.이 재귀적 구성에서 스털링 순열이 이중 순열로 계산된다는 증거는 ^[1]유도로 이어집니다.또는 쌍 사이의 값이 이 값보다 클 수 있다는 제한 대신 각 쌍의 첫 번째 복사본이 정렬된 순서로 나타나는 이 다중 집합의 순열을 고려할 수 있습니다. 이러한 순열은 순열의 $2k$ 위치에 대한 일치를 정의합니다.따라서 순열의 수는 다시 이중 ^[8]순열로 계산될 수 있습니다.
힙 순서 트리, 0, $1, 2,$ ... $k 레이블$ 이 지정된 k + $1$ $노드$ 의 트리(트리 루트에 레이블이 0이 지정되고 각 노드의 하위 노드에 레이블이 지정되며 각 노드의 하위 노드에 고정 순서가 지정됨).트리의 오일러 투어(가장자리가 두 개인)는 스털링 순열을 제공하며, 모든 스털링 순열은 이러한 ^[1]^[13]방식으로 트리를 나타냅니다.
n+ $5 / 2개$ 의 레이블이 붙은 잎을 가진 $뿌리$ 없는 이진 트리.이러한 각 트리는 $n개$ 의 트리 가장자리 중 하나를 세분화하고 새 꼭짓점을 새 잎의 부모로 만들어 잎이 하나 더 적은 나무에서 형성될 수 있습니다.
n+ $3 / 2개$ 의 레이블이 지정된 잎을 $가진$ 루트 이진 트리입니다.이 경우는 뿌리가 없는 경우와 비슷하지만 세분화할 수 있는 가장자리의 수는 짝수이며, 가장자리를 세분화하는 것 외에 작은 나무와 ^[1]^[8]새 잎 두 자녀인 새 뿌리를 추가하여 잎이 하나 적은 나무에 노드를 추가할 수 있습니다.

Callan(2009)과 Dale & Moon(1993)은 "사다리꼴 단어"(홀수 기수가 증가하는 혼합 기수 시스템의 숫자), 높이 레이블이 지정된 Dyck 경로, 높이 레이블이 지정된 순서가 지정된 트리, "오버행 경로"를 포함하여 동일한 계수 순서를 가진 여러 추가 객체를 나열합니다.그리고 루트 이진 트리에서 각 노드의 가장 낮은 번호의 리프 하위 항목을 설명하는 특정 벡터.이러한 물체 중 일부가 동일한 수를 가지고 있다는 객관적인 증거는 루베이(2008)와 마쉬 & 마틴(^[14]^[15]2011)을 참조하십시오.

짝수 이중 인자는 초팔면체 그룹(서명된 순열 또는 초입방체의 대칭)의 요소 수를 제공합니다.

점근법

요인에 대한 스털링의 근사치를 사용하여 이중 요인에 대한 점근적 등가물을 도출할 수 있습니다.특히, n $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ ~ $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ ( $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ ) $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ $이후로,$ {\ $displaystyle$ n $!\sim {\sqrt {2\pin}}\left({\frac {n}{e}\$ right $)^{n$ }}는 $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ $n$ n만큼 무한한 경향이 있습니다.

{\displaystylen!!\sim{\text{\frac{n}{e}\right)^{n/2}&{\text{if}}ntext{},\[5pt}\displaystyle{sqrt{2n}\left\frac{n}{e}\right)^{n/2}&{\text{if}}ntext{}.\end{cases}}}

확장 기능

부정적 인수

일반 요인은 감마 함수로 확장될 때 각 음의 정수에 극이 있으므로 이러한 숫자로 요인을 정의할 수 없습니다.그러나 홀수의 이중 요인은 반복 관계를 반전시켜 음의 홀수 정수 인수로 확장할 수 있습니다.

{\displaystylen!!=n\times (n-2)!!}

주다, 주다, 주다, 주다, 주다, 주다, 주다, 주다, 주다,.

{\displaystylen!!=nbfrac {(n+2)!!}{n+2}}\baemn}

이 반전 반복을 사용하여, (-1)!!= 1, (−3)!!-1, 그리고 (-5)!!13: 크기가 큰 음수에는 부분 이중 ^[1]요인이 있습니다.특히, n이 홀수일

때

, 이것은 다음과 같습니다.

표시 스타일(-n)!!\times n!!= (1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\best}

복잡한 인수

위의 $n$ 의 정의를 무시하고!! $n$ 의 짝수 값에 대해, 홀수 정수에 대한 이중 요인은 z가 양의 홀수 정수일^[16]^[17] 때 $다음$ 과 같이 언급함으로써 대부분의 $실수$ 와 복소수 z로 확장될 수 있습니다.

display {style {aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left\frac {z-2}{2}\right)\cdots \cdots \frac {z-2}{2}\right)\cdots \cdots \cdots\frac {\frac {3}{2}\frac {\gamma}\gamma}{2}\frac {\frac}\frac}\frac {{1}}}\\[5mu]&={\frac {2}{\pi }}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \leftpath\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}}

여기서

\Gamma (z)

(

)

{\

displaystyle \Gamma (z)}

는

\Gamma (z)

감마 함수입니다.

마지막 식은 음의 짝수 정수를 제외한 모든 복소수에 대해 정의되며 ( $z$ + $2)$ 를 만족합니다!! $(z + 2) \cdot z!!$ 정의된 모든 곳에서.일반 요인 함수를 확장하는 감마 함수와 마찬가지로 이 이중 요인 함수는 보어-몰레루프 정리의 의미에서 로그적으로 볼록합니다.점근적으로, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ ~ ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ + ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ - $.$ {\ $textstyle$ n $!!$ $\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}\best}$

일반화된 ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ 2 ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ 2 ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ 2 ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ γ ( ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ 2 + ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ ) ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma$ \left $({\tfrac {z}{2}}+1\$ right)}가 ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ z에 $대한$ 이전 제품 공식과 일치하지 않습니다!! $z$ 의 음수가 아닌 짝수 정수 값의 경우.대신, 이 일반화된 공식은 다음과 같은 대안을 의미합니다.

{\displaystyle(2k)} 표시!!={frac {2}{\pi }}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={frac {2}{\pi}}\fac _{i=1}^{k}(2i)\...

값이 0인 경우!!이 경우에는

$…{디스플레이 스타일$ $=nbsqrt({frac {2}{\pi }}}\tau 0.797\,884\,5808\tau}($ OEIS의 시퀀스 A076668).

이 일반화된 공식을 정의로 사용하면, $반지름$ R의 n차원 초구의 부피는 다음과 같이 표현될^[18] 수 있습니다.

V_{n}=displayfrac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}{n!!}}R^{n}\estaff

추가 ID

n의 $정수$ 값의 경우,

\int _{0}^{\frac {pi}{2}}\sin ^{n}x\,cos ^{n}x\,cos ^{n}x\,cos =cos frac {(n-1)!!}{n!!}}\times{{\text{if}}ntext{ is 홀수}\{\frac{pi}{2}}&{\text{if}ntext{는 짝수입니다.}}\end{cases}}

대신 홀수의 이중 요인을 복소수로 확장하면, 공식은 다음과 같습니다.

\int _{0}^{\frac {pi}{2}}\sin ^{n}x\,cos ^{n}x\,cos ^{n}x\,cos =cos frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt{{frac{pi}{2}}\shaff

이중 요인을 사용하여 더 복잡한 삼각 ^[7]^[19]다항식의 적분을 평가할 수도 있습니다.

홀수의 이중 요인은 동일성에 의해 감마 함수와 관련이 있습니다.

디스플레이 스타일(2n-1)!!=2^{n}\cdot{{\Gamma \left\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt{pi}={n}\cdot{{\gamma \left\frac {1}}-n\right}

홀수의 이중 요인과 관련된 추가 항등식은 다음과 같습니다.^[1]

디스플레이({style}{aligned}(2n-1))!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\baem\end{aligned}}}

연속된 두 정수의 이중 요인 비율에 대한 근사값은 다음과 같습니다.

display_style {frac}(2n)!!}{(2n-1)!!}}\cause {\sqrt}.

이 근사치는 n이

증가

할수록 더 정확하며, 이는 월리스 적분의 결과로 볼 수 있습니다.

일반화

정의들

이중 요인이 단일 요인의 개념을 일반화하는 것과 마찬가지로, 정수 값 다중 요인 함수(다중 요인) 또는 α-요인 함수의 다음 정의는 양의 $\alpha$ α ${\displaystyle \alpha$ 에 대한 이중 요인 함수의 개념을 확장합니다.

n!_{(\alpha)}=syslog{cases}n\cdot(n-\alpha)!_{(\alpha )}&{\text{ if }n>\alpha \,;\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{ and}\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{}}n\leq 0"text{이며 }의 음수 배수가 아닙니다.\alpha \,;\end{cases}}

다중 요인의 대체 확장

대신에, $다인자$ z $! (α)$ 는 z가 양의 $정수$ α의 1배 이상일 $때$ 다음과 같이 대부분의 $실수$ 와 복소수 z로 확장될 수 있습니다.

display {style {aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha)\cdots(\alpha +1)\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }{\right)\left\frac{z-\alpha }\right)\cdots\left\frac\frac\frac\alpha\frac{z-\alpha }\alpha }\right)\right\&=\alpha^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac \left\frac {z}{\alpha }}{\Gamma \left\frac {1}}{\alpha }}}{\endaligned{}}}}}

이 마지막 표현식은 원래 표현식보다 훨씬 광범위하게 정의됩니다.z!가 음의정수에 대해 정의되지 않고 $z ‼$ 가 음의 짝수 정수에 대해 정의되지 않는 $것$ 과 마찬가지로 z $! (α)$ 는 $α$ 의 음의 배수에 대해 정의되지 않습니다.하지만, $그것$ 은 $(α)$ (z+ $α)!$ = ( $z + (α) α)\cdot$ z에 대해 정의되고 만족합니다!다른 모든 $복소수$ z에 대해.이 정의는 z ≡1 $mod$ α를 $만족$ 하는 $정수$ z에 대해서만 이전 정의와 일치합니다.

z $! (α)$ 를 대부분의 복소수 z로 $확장$ 하는 것 $외$ 에도, 이 정의는 α의 $모든$ 양의 실수 값에 대해 작용하는 특징이 있습니다.또한, $α$ = $1일$ 때, 이 정의는 위에서 설명한 Δ( $z$ ) 함수와 수학적으로 동일합니다 $.$ 또한 $α$ = 2일 $때$ 이 정의는 수학적으로 이중 요인 설계의 대안적 확장과 동일합니다.

일반화된 스털링 수치는 다인자 기능을 확장합니다.

첫 번째 종류의 일반화된 스털링 숫자의 클래스는 다음과 같은 삼각형 반복 관계에 의해 $α$ > $0$ 에 대해 정의됩니다.

\displaystyle \left[{\continue}n\k\end{continue}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha)\left[{\alpha{continue}n-1\k\end{continue}}+\left[{\alpha}{n\continue\right}}{k}\alpha }\alpha }{k}.

이러한 일반화된 α-요인 계수는 다음과 같이 다중 요인 또는 $α-요인$ $함수$ 를 정의하는 고유한 기호 다항식 곱을 생성합니다. (x - 1 $)! (α)$

표시(\style{aligned}(x-1 \alpha)^{n}}&:=\cdots_{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha)\cdots{\alphabigl(x-1-\alpha)}\&=\sum_{k_0^{n}{n-}{n}{n-}\cdotsalpha}{n^{n}\n}{n}{{}}}{{{}}}}}}{{}}}}{n}(-1)^{n-k}x^{k-1}\"번\end{aligned}}}

이전 방정식의 고유한 다항식 확장은 실제로 $n \in {0, 1,$ $2,$ ..., $α$ - 1}에₀ 대한 $최소$ 잔류물 $x 0$ ≡ $n$ mod α의 여러 고유한 경우에 대한 α-인자 생성물을 정의합니다.

스털링 컨볼루션 다항식을 단일 요인 사례에서 다요인 사례로 일반화하는 일반화된 α-요인 다항식 $γ (α) n (1) n (x n)$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle _{n}^{(\alpha)}(x):=\left[{\frac{n-1}x\x-n\end{n}}\right]_{(\alpha)}{\frac{(x-n-1)!}{x!}}

0 ≤ $n$ ≤ $x$ 에 $대하여$ 이 다항식들은 다음과 같이 주어진 특히 멋진 닫힌 형태의 일반 생성 함수를 가지고 있습니다.

\displaystyle \sum _{n\geq 0}x\cdot \cdot _{n}^{(\alpha)}(x)z^{(1-\alpha)z}=e^{(1-\alpha)z}\left\frac\alpha z}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\bearson}

이러한 일반화된 ^[20]α-인자 삼각형과 다항식 시퀀스의 다른 조합 특성과 확장은 슈미트(2010)에서 고려됩니다.

다중 요인 함수를 포함하는 정확한 유한 합

n ≥ $1$ 과 $α$ ≥ 2가 정수 값이라고 $가정$ 합니다.그런 다음, 우리는 다인자 또는 α-인자 함수( $αn$ - $1)! (α)$ 를 포함하는 다음 단일 유한 합을 포흐함메르 기호와 일반화된 합리적 값 이항 계수의 관점에서 확장할 수 있습니다.

디스플레이({style}{aligned}(\alpha n-1))!_{(\alpha)}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left\frac{1}}{\right)}_{-(k+1)}\left\frac{1}\bigl(\alpha+1)}(\la)\bigla-1}(bigla)\la-1}(big)\big-r_la!_{(\alpha)}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times{{\binom{\frac{1}}}+k-n}{k+1}}{\binom}{\binom}{{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times{\bigl(}\alpha(k+1)-1\bigr)}!_{\bigl(}\alpha(n-k-1)-1\bigr)}!_{{(\alpha)}}\....\end{{}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}

게다가, 우리는 유사하게 이러한 함수의 이중 합계 확장을 가지고 있습니다.

디스플레이({style}{aligned}(\alpha n-1))!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{(-1)^{k}\alpha^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha)}{\bigl(}\alpha(n-1-k)-1\bigr)}!_{(\alpha)}\times(n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1-i}}{\binom {n-1-i}{k}\alpha^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!\end{aligned}}}

위의 처음 두 합은 Callan(2009)이 제공한 α $:= 2일$ 때 $이중$ 요인 함수에 대해 알려진 비원형 조합 동일성과 형식이 유사합니다.

디스플레이 스타일(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!}

문맥 없는 ^[21]문법을 통해 유사한 정체성을 얻을 수 있습니다.α-요인 함수에 대한 추가적인 유한 합 확장, $(αn$ - d $)!, (α)$ $임의$ 의 $0 \leq$ $d$ < α에 대한 임의의 $규정$ 된 $정수$ h ≤ 2. 슈미트(2018)^[22]가 제공합니다.

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