콤프턴 파장

콤프턴 파장은 입자의 양자역학적 특성이다. 입자의 콤프턴 파장은 에너지가 입자의 질량과 동일한 광자의 파장과 동일하다(질량-에너지 동등성 참조). 아서 콤프턴이 전자에 의한 광자 산란(Component 산란이라고 하는 과정)에 대한 설명에서 도입했다.

입자의 표준 콤프턴 파장 λ은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}\ }$

주파수가 주어지는 동안,

${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}}}$

여기서 h는 플랑크 상수, m은 입자의 휴식질량, c는 빛의 속도다. 이 공식의 중요성은 콤프턴 시프트 공식의 도출에 나타나 있다. $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v=c}$을(를) 갖는 디 브로글리 파장과 동등하다$.$

전자의 콤프턴 파장에 대한 CODATA 2018 값은 2.42631023867(73)×10m이다⁻¹².^[1] 다른 입자들은 다른 콤프턴 파장을 가지고 있다.

감소된 콤프턴 파장

콤프턴 파장을 2㎛로 나누면 "축소된" 콤프턴 파장 ƛ (bared lamda), 즉 2㎛ 라디안 대신 1라디안에 대한 콤프턴 파장을 얻는다.

ƛ = λ/2π = ħ/mc,

여기서 ħ은 "축소된" Plank 상수다.

거대 입자에 대한 방정식의 역할

역감소 콤프턴 파장은 양자 눈금의 질량에 대한 자연스러운 표현이며, 이와 같이 양자역학의 많은 기본 방정식에서 나타난다. 감소된 콤프턴 파장은 자유 입자에 대한 상대론적 클라인-고든 방정식에 나타난다.

${\displaystyle \mathbf {\hbar }^{2}\frac -{1}{c^{1}:{2}}:{\frac {\fract ^{2}}:{\property t^{2}}:}}\press =\refrac\frac {mc}{mcbar }}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{now}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Dirac 방정식에 나타난다(다음은 아인슈타인 합계 규약을 채택한 명시적 공변량 형식이다).

${\displaystyle -i\light ^{\mu }\properties _{\mu }\frac {mc}{\hbar }}}\frac =0.}$

감소된 콤프턴 파장은 슈뢰딩거 방정식에도 나타나지만, 그 존재는 방정식의 전통적인 표현에서 가려진다. 다음은 수소 같은 원자 안에서 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 전통적인 표현이다.

${\displaystyle i\hbar {\partial t}{\partial t}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}:}\nabla^{2}\psi -{1}{4\piepsilon _{0}}}{\frac {rx^{rx^{{r\psi^}}}}}}}}}}}}$

$\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar c}$로 나누고 미세 구조 상수 측면에서 다시 작성하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {i}{c}{\frac {\partial t}{\psi =-{\frac{1}{1}{{1}:{\frac {\mc}\오른쪽)\nabla ^{2}\psi -{\frc}{rx\psi.}}}}}}$

감소와 비감소 구별

감소된 콤프턴 파장은 양자 눈금의 질량을 자연적으로 나타낸 것이다. 클라인-고든 및 슈뢰딩거와 같은 관성 질량과 관련된 방정식은 감소된 콤프턴 파장을 사용한다.^{[2]: 18–22} 비축소 콤프턴 파장은 에너지로 변환된 질량을 자연적으로 표현한 것이다. 질량을 에너지로 변환하거나 질량과 상호작용하는 광자의 파장에 영향을 미치는 방정식은 축소되지 않은 콤프턴 파장을 사용한다.

질량 m의 입자는 E = mc의² 휴식 에너지를 가지고 있다. 이 입자에 대한 축소되지 않은 콤프턴 파장은 동일한 에너지의 광자의 파장이다. 주파수 f의 광자에 대해 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}}}}=mc^{2},\ }$

λ에 대해 해결된 경우 축소되지 않은 또는 표준 콤프턴 파장 공식을 산출한다.

측정 한계

콤프턴 파장은 양자역학과 특수상대성을 고려하여 입자의 위치 측정에 대한 근본적인 한계를 나타낸다.^[3]

이 제한은 입자의 질량 m에 따라 달라진다. 어떻게 하면 입자로부터 빛을 튕겨서 입자의 위치를 측정할 수 있는지 알아보려면, 그 위치를 정확하게 측정하려면 짧은 파장의 빛이 필요하다. 파장이 짧은 빛은 높은 에너지의 광자로 구성된다. 만약 이 광자의 에너지가² mc를 초과한다면, 어떤 사람이 위치를 측정하고 있는 입자에 부딪힐 때, 충돌은 같은 종류의 새로운 입자를 만들기에 충분한 에너지를 산출할 수 있다.^{[citation needed]} 이것은 원래의 입자의 위치에 대한 의문을 불러일으킨다.

이 주장은 또한 감소된 콤프턴 파장이 입자 생성과 전멸을 설명할 수 있는 양자장 이론이 중요해지는 아래의 컷오프라는 것을 보여준다. 위의 주장은 다음과 같이 좀 더 정밀하게 할 수 있다. 입자의 위치를 정확도 Δx 내에서 측정하려고 한다고 가정합시다. 그렇다면 포지션과 모멘텀에 대한 불확실성 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$

그래서 입자 운동량의 불확실성은

${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$

운동량과 에너지 E² = (pc)² + (mc²)² 사이의 상대적 관계를 이용하여 Δp가 mc를 초과할 때 에너지의 불확실성이 mc보다² 커 동일한 유형의 또 다른 입자를 생성하기에 충분한 에너지다. 그러나 우리는 이 더 큰 에너지 불확실성을 배제해야 한다. 물리적으로 이것은 각 입자의 모멘텀 불확실성을 mc 또는 mc 이하로 유지하기 위한 하나 이상의 추가 입자의 생성에 의해 제외된다. 특히 최소 불확실성은 산란된 광자가 에너지를 관측하는 사고와 동일한 제한 에너지를 갖는 경우다. Δx에 대한 기본적인 최소값이 있다는 것을 따른다.

${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽({\frac {\hbar }{mc}\오른쪽).}$

따라서 위치의 불확실성은 감소된 콤프턴 파장 ħ/mc의 절반 이상이어야 한다.

콤프턴 파장은 입자의 운동량에 따라 달라지며 양자역학에서 입자와 파동 행동 사이의 컷오프를 결정하는 디 브로글리 파장과 대조될 수 있다. 특히 드 브로글리의 디 브로글리 파장의 파생은 관측된 입자가 입자의 콤프턴 주파수의 주기적 현상과 연관되어 있다는 가정에 근거한다.

다른 상수에 대한 관계

Typical atomic lengths, wave numbers, and areas in physics can be related to the reduced Compton wavelength for the electron (${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$) and the electromagnetic fine structure constant ($$$\alpha$ $\simeq$ 1 $\frac{137}{}$ ${\$

Bohr 반경은 다음과 같은 방법으로 콤프턴 파장과 관련이 있다.

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$

고전적 전자 반지름은 양성자 반지름보다 약 3배 크며 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$

리드버그 상수는 선형 와바넘버의 치수를 가지며 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle {\frac{1}{R_{\nflatty}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}{\\alpha^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm{nm}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$

이렇게 하면 다음 순서가 나온다.

${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}}$.

페르미온의 경우, 감소된 콤프턴 파장은 상호작용의 단면을 설정한다. 예를 들어, 전자에서 광자를 산란시키는 톰슨 단면은 다음과^{[clarification needed]} 같다.

${\displaystyle \sigma _{T}={\frac {8\pi }{3}\알파 ^{2}{\lambda }}}{\text{e}^{2}}}}\simeq 66.5~{\textrm}^{}}}}}}}}},}$

이는 철-56 핵의 단면 면적과 거의 같다. 게이지 보손의 경우 콤프턴 파장은 유카와 교호작용의 유효 범위를 설정한다. 광자는 질량이 없으므로 전자석은 무한한 범위를 가진다.

플랑크 질량은 콤프턴 파장과 슈바르츠실트 반지름 r ${\displaystyle S_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle M}$/ c ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\$의 값이 플랑크 길이(${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 가까울 때 동일한 질량 순서다.$$ 슈바르츠실트 반경은 질량에 비례하는 반면 콤프턴 파장은 질량의 역에 비례한다. 플랑크 질량 및 길이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle m_{\rm {P}={\sqrt {\hbar c/G}}$

${\displaystyle l_{\rm {P}={\\sqrt{\hbar G/c^{3}}.}$

참고 항목

• 드 브로글리 파장

참조

외부 링크

• 물리에서의 길이 척도: 콤프턴 파장
• B.G. Sidharth, Planck scale to Compton scale, International Institute for Applicable Mathematics, Hyderabad (인도) & Udine (이탈리아), 2006년 8월.