서스펜션(토폴로지)

수학의 한 분야인 위상학에서 위상학 공간 X의 정지는 X를 원통으로 스트레칭한 다음 양쪽 끝면을 포인트로 접어서 직관적으로 얻는다.하나는 X를 이러한 끝점 사이에 "일시 중지"된 것으로 본다.

공간 SX를 X의 축소, 비근거 또는 자유정지라고 부르기도 하는데, 이를 아래에서 설명한 뾰족한 공간의 축소된 서스펜션 σX와 구별하기 위해서입니다.

감소된 정지는 프로이트탈 정리가 적용되는 호모토피 그룹의 동형성을 형성하는 데 사용될 수 있다.호모토피 이론에서, 적절한 의미에서 보류된 상태에서 보존되는 현상들은 안정적인 호모토피 이론을 구성한다.

서스펜션의 정의 및 특성

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 서스펜션 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SX}$은(는) 다음과 같이 정의된 공간이다.

${\displaystyle SX=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}v_{1}\}\\\varinjlim_{i\in \in \{0,1\}}}{\bigl(X\time [0,1]))\hook leftarrow(X\times \{i\}}\xrightarrow {p_{i}}v_{i}{\bigr )},}$

여기서 각 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 점이고 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 해당 점까지의 투영이다$$.

That means, the suspension ${\displaystyle SX}$ is the result of attaching the cylinder ${\displaystyle X\times [0,1]}$ by its faces, ${\displaystyle X\times \{0\}}$ and ${\displaystyle X\times \{1\}}$, to the points ${\displaystyle v_{i}}$ along the projections ${\displaystyle p_i}$${\$${\bigl (}X\time \{i\}{\bigr )}\\to v_{i$

서스펜션을 X에 부착된 두 개의 원뿔로 볼 수 있다. 또한$$ $조인{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle \star }$ S ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle X\star$ S$^{0},$ S 0 ${\$은 두 점으로 분리된 공간이다.

대략적인 용어로 S는 공간의 치수를 1씩 증가시킨다. 예를 들어, n ≥ 0의 경우 n-sphere를 (n + 1)-sphere로 가져간다.

${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 지도 $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ Y , ${\displaystyle$f:$X\오른쪽$ 화살표 Y$,}$이(가) $연속{\displaystyle \mathrm{지도}}$ S : X →${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Sf:$${\displaystyle \mathrm{SF}([}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle :=}$[ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t]$에 의해$$ 정의된$$ $SX\rightarrow$ SY$} 여기$서 대괄호는 동등성 등급을 나타낸다.이것은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을 위상학적 공간의 범주에서 그 자체로 functor로 만든다$$.

서스펜션 감소

X가 기준점 x가₀ 있는 뾰족한 공간인 경우 서스펜션의 변화가 있어 때로는 더 유용하다.X의 감소된 서스펜션 σX는 다음과 같은 몫의 공간이다.

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$.

이것은 SX를 취해서 두 끝을 하나의 점으로 연결하는 선(x₀ × I )을 붕괴시키는 것과 같다.점 공간 pointedX의 기준점은 (x₀, 0)의 등가 등급으로 간주된다.

X의 감소된 서스펜션이 유닛 서클¹ S와 함께 X의 스매시 제품에 동형이라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

CW 콤플렉스 등 품행이 좋은 공간의 경우 X의 감소가 미근거 서스펜션에 해당하는 호모토피다.

축소된 서스펜션 및 루프 공간 Functor의 접합

σ은 뾰족한 공간의 범주에서 그 자체로 functor를 발생시킨다.이 functor의 중요한 특성은 펑터 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$과(와) 짝을 이루면서 루프 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X$}에$$ 대한 뾰족한 공간을$$ ${\displaystyle \Omega }$ X$${\$displaystyle \Oomega$X}에 가져간다는 것이다$.$ 즉, 우리는 자연 이형성을 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\좌(\Sigma X,Y\우)\cong \operatorname {Maps} _{*}좌(X,\Oomega Y\우)}$

여기서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$은(는) 지정 공간이며$$ ${\displaystyle {\mathrm{지도}}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$은(는) 기준점을 보존하는 연속 지도를 의미한다$$.이 부속서는 다음과 같이 기하학적으로 이해할 수 있다: ${\displaystyle \sigma }$ X ${\displaystyle \Sigma X}$은(는) X ${\displaystyle X$의 모든 비베이스 포인트에 뾰족한 원이 부착되어$$ $있으면{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$X}에서 발생하며$$, 이 모든 원의 기준점이 $식별$되어 X$${\$displaysty X}$의 베이스 포인트에 붙는다$.$ 지금,${\displaystyle \sigma }$ X ${\displaystyle \Sigma$ X$}$에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$까지의 뾰족한 지도를 지정하려면$$이 각각의 뾰족한 원으로부터 Y ${\displaystyle$ Y$}$에 대한 뾰족한 지도를 제공해야 한다$.$ 이것은 $우리$가 Y ${\displaystyle X$$}$의 각 요소에 연결해야 한다는 것을 의미하며,$$ 공간 Y$}$의 요소다.${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Oomega$ Y$})$ 및 사소한 루프는 X ${\displaystyle X$$}$의 기준점에 연결되어야 한다$.$ 이$맵$은 X {\$displaystyle$ X$}$에서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ Y {\$displayStyle$ \$Oomega$ Y$}$까지의 포인트 맵이다$.$ (관련된 모든 맵의 연속성을 확인해야 한다.)

따라서 이 부속물은 카레와 유사하며, 카르트 제품의 지도를 커스터드 형태로 가져가는 것이며, Eckmann-Hilton 이중성의 예다.

이 부속물은 스매시 제품에 관한 기사에서 설명하는 부속의 특별한 경우다.

멈춤쇠

서스펜션은 서스펜션에 부분적으로 역행하는 작업이다.^[1]

참고 항목

• 원뿔(토폴로지)
• 결합(토폴로지)

참조

• 알렌 해처, 대수학 위상케임브리지 대학 출판부, 2002.시이+544 페이지ISBN 0-521-79160-X 및 ISBN 0-521-79540-0
• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알레이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 Suspension on PlanetMath의 자료가 통합되어 있다.