연속 함수

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, 탄젠트 반각, 오일러) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
v t

수학에서 연속함수는 인수의 연속적인 변화(점프를 수반하지 않는 변화)가 함수의 값의 연속적인 변화를 유도하는 함수이다.즉, 불연속이라고 하는 급격한 값의 변화는 없습니다.보다 정확하게는, 함수의 값의 임의의 작은 변화가 충분히 작은 변수로 제한됨으로써 보장될 수 있는 경우 함수는 연속적이다.불연속 함수는 연속적이지 않은 함수입니다.19세기까지 수학자들은 주로 연속성에 대한 직관적인 개념에 의존했고 연속함수만을 고려했다.한계의 엡실론-델타 정의는 연속성의 정의를 공식화하기 위해 도입되었다.

연속성은 미적분과 수학적 분석의 핵심 개념 중 하나이며, 여기서 함수의 인수와 값은 실수이고 복소수이다.이 개념은 메트릭 공간과 위상 공간 간의 함수로 일반화되었습니다.후자는 가장 일반적인 연속 함수이며, 그 정의는 토폴로지의 기초입니다.

더 강력한 형태의 연속성은 균일한 연속성입니다.순서론, 특히 도메인 이론에서 연속성의 관련 개념은 스콧 연속성이다.

예를 들어, 시간 t에서 자라는 꽃의 높이를 나타내는 함수 H(t)는 연속적인 것으로 간주된다.이와는 대조적으로, 은행 계좌의 금액을 나타내는 함수 M(t)은 돈이 입금되거나 인출되는 각 시점에 "점프"되기 때문에 불연속적인 것으로 간주될 것이다.

역사

연속성에 대한 엡실론-델타 정의의 형태는 1817년 베르나르 볼자노에 의해 처음 제시되었다.Augustin-Louis Cauchy는 y ${\displaystyle =f}$ ($x ){displaystyle$$y$$=f(x)}$의 연속성을 다음과 같이 정의했다. 독립 변수 x의 무한 작은 $증가{\displaystyle }$α${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle +}$) -$($ f$(x+\alpha)$는 항상 y 종속 변수의 무한 작은 변화 $)$를 생성한다(g 참조).Cours d'Analyse, 페이지 34)Cauchy는 가변량의 관점에서 무한히 적은 양을 정의했으며, 연속성에 대한 그의 정의는 오늘날 사용되는 극소수 정의와 매우 유사합니다(미세 연속성 참조).공식적인 정의와 점 단위 연속성과 균일한 연속성의 구별은 1830년대에 볼자노에 의해 처음 주어졌지만, 그 연구는 1930년대에야 출판되었다.Bolzano와 ^[1]마찬가지로, Karl Weierstrass는^[2] c의 양쪽에서 정의되지 않는 한 c 지점에서 함수의 연속성을 부정했지만, Edouard Goursat는^[3] 함수를 c의 한쪽에서만 정의하도록 허용했고, Camille^[4] Jordan은 함수를 c에서만 정의하도록 허용했다.점 단위 연속성에 대한 이 세 가지 정의 모두 여전히 ^[5]사용되고 있다.에두아르트 하이네는 1872년에 균일한 연속성에 대한 최초의 정의를 발표했지만,^[6] 1854년에 피터 구스타프 르준 디리클레가 한 강의에 기초했다.

실제 기능

정의.

실수에서 실수까지의 함수인 실함수는 데카르트 평면에서 그래프로 나타낼 수 있다.대략적으로 말해서 그래프가 실선 전체인 단일 중단되지 않은 곡선일 경우 이러한 함수는 연속적이다.수학적으로 더 엄격한 정의는 다음과 같습니다.^[8]

실제 기능의 연속성은 일반적으로 한계로 정의됩니다.변수 x의 함수 f는 x의 $한계치{\displaystyle }$ f$),$ $x$의 경향이 c인 경우${\displaystyle }$f${\displaystyle (c)}$ $.\displaystyle$ f$(c)$와 같으면 실수 c에서 연속됩니다.$}$

함수의 (글로벌) 연속성에는 도메인의 특성에 따라 몇 가지 다른 정의가 있습니다.

함수가 함수의 도메인에 포함되는 경우 함수는 열린 간격으로 연속되며, 함수는 간격의 모든 점에서 연속적이다.$({\displaystyle }$- ${\displaystyle ,}$, + ${\displaystyle )}$ )$${ $displaystyle$( - \$infty$ , + \$infty$) }$$ (실제 라인 전체)에 연속하는 함수를 단순히 연속함수라고 부르는 경우가 많습니다.또, 이러한 함수는 어디에서나 연속함수라고 말할 수 있습니다.예를 들어, 모든 다항식 함수는 어디에서나 연속적입니다.

함수는 세미오픈 또는 클로즈드 인터벌로 연속되며, 해당 인터벌이 함수의 도메인에 포함되는 경우 해당 인터벌의 모든 내부 포인트에서 함수는 연속적이며, 해당 인터벌에 속하는 각 엔드포인트에서의 함수 값은 변수가 엔드포인트 f로 기울 때 함수의 값의 한계이다.인터벌의 내부를 표시합니다.${\displaystyle 예}$를 들어 함수${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ ( \ $displaystyle$f ( x ) =$specrt${ $x$} is$$ 、 closed${\displaystyle }$interval [${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle }$+ $].\$ $displaystyle$[$$0 , + \ $infty$]는 도메인 전체에서 연속적입니다.$}$

일반적으로 볼 수 있는 많은 함수는 일부 분리된 점을 제외한 모든 실수에 의해 형성된 도메인을 가진 부분 함수입니다.예를 들어 함수 x$\frac{x}{}$1 x \ $textstyle$x \ $mapto$ \$frac$ { $1 }$ $및{\displaystyle }$ x$$${\displaystyle \tan }$ tan${\displaystyle x}$. \ $displaystyle$x \ $mapto$\ $tan$x . }이러한$$ $함수$는 도메인에 연속되어 있는 경우, 어느 곳에서나 연속적이지는 않지만 연속적이라고 말할 수 있습니다.다른 맥락에서, 주로 예외 지점 근처의 행동에 관심이 있을 때, 사람들은 그것들이 불연속적이라고 말한다.

그 점이 그 영역의 위상 닫힘에 속하고, 그 점이 그 함수의 도메인에 속하지 않거나, 그 함수가 그 점에서 연속적이지 않은 경우, 부분 함수는 한 점에서 불연속적이다.$예$를 들어 x$1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{1}{}$x \ $textstyle x$ \ $mapto$\$frac$ {$1 }$및 x$$ $x\sin$ $($ ( $\frac{1}{}$x$$) { $textstyle$x \ $mapsto$\$sin$( { \ $frac {1$} ${x}$ )} 함수는 0에서 불연속이며 0으로 정의하기 위해 선택된 값 중 불연속인 채로 유지됩니다.함수가 불연속인 점을 불연속점이라고 합니다.

수학 표기법을 사용하여 위에서 언급한 세 가지 감각 각각에서 연속 함수를 정의하는 몇 가지 방법이 있습니다.

허락하다

실수의 $집합{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$의 부분 ${\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$에 정의되는 함수입니다.

이 $서브셋{\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$는 f의 도메인입니다.다음과 같은 선택지가 있습니다.

• ${\displaystyle D}$ $=$({$displaystyle$ D=\$mathbb {R$ 즉$,$ $D{\displaystyle }$({$displaystyle$ D$}$는 실수의 전체 집합) 또는 a 및 b 실수의 경우,
• ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$] ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}a}$ a${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \le }$ b$$ { $display style$ D = [$a$ , b ] = \ {$x$ \ $in$\$mathbb { R$} \ $mid$a \ $leq$x \ $leq$ b \$$$}$ :$$D { $display style$ D$$}는 닫힌 간격입니다.
• ( , ) { Ra <$x$ < $}$ { x < b } { $displaystyle$ D = ( a ,$b$ )$=$ \ { x \ $in \ mathbb$ { $R }$ \ mid a < $x{\displaystyle }$< $b$\} : D {$displaystyle$ D }는$$ 오픈 간격입니다.

$도메인{\displaystyle }$D(\$displaystyle$ D$)$가 열린 간격으로$$ 정의되어 있는 $경우{\displaystyle }$, \$displaystyle$ $a{\displaystyle }$$\$$displaystyle$$b$는 D(\$displaystyle$D$)$에 속하지 않으며${\displaystyle ,}$ f$a$$)$${\displaystyle }및{\displaystyle }$ $($b$$$)$의 값은$D$(\$displaystyle$ $D$$)$의 연속성은 중요하지 않습니다.

함수의 한계와 관련된 정의

함수 f는 x가 f의 도메인을 통해 c에 접근함에 따라 f$),$ {$displaystyle$ f$(x),$ {displaystyle f(x)}의 $한계$가 존재하며 f${\displaystyle (c)}$.$${$displaystyle$ f$(c)$와 $동일$한 경우 해당 도메인의 어느 지점 c에서 연속적입니다.} 수학$$^[9] 표기법에서는 다음과 같이 표기한다$.$

세부적으로 이것은 세 가지 조건을 의미합니다. 첫째, f는 c로 정의되어야 합니다(c가 f의 영역에 있다는 요건에 의해 보증됨).둘째, 이 방정식의 왼쪽에 한계가 존재해야 합니다.셋째, 이 제한값은 f${\displaystyle }$($),\displaystyle$ f$(c)$와 $같아야{\displaystyle }$ 합니다.$}$

(여기서 f의 영역에는 고립된 점이 없다고 가정합니다.)

근린에 대한 정의

점 c의 근방은 c의 일정한 거리 내에 있는 적어도 모든 점을 포함하는 집합이다.직관적으로 c 주변의 폭이 0으로 축소됨에 따라 c 근방에 걸친 f의 범위가 $단일점{\displaystyle }$ f${\displaystyle (c}$) {$displaystyle$ f$(c)}$로 축소되면 c 지점에서 함수는 연속된다.보다 정확하게 말하면,${\displaystyle f({}_{})\backslash }$$displaystyle$ ${1}($${\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="N\_\{1\}(f(c))"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0a0caf40bdbfade8d474850b998a0d4e6a27dc68"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.824ex;\; height:2.843ex;">}}$$(c)})\$$displaystyle N_${2$}(c)\$displaystyle f$(x)\displaystyle$ ${\displaystyle {N\_\mathrm{}}_{}}$${2$}(${\displaystyle c}$$)\$displaystyle f${\displaystyle (}$c${\displaystyle )\backslash }$displaystyle f(x$)\$displaystyle f(c)\displaystyle f${\displaystyle {}_{}}$c)\$display$ N2가 있는 경우, f1${\displaystyle {}_{}}$c${\displaystyle )}$는 도메인의 $포인트{\displaystyle {}_{}}$ c)에서 연속된 함수입니다.$).$$}$

이 정의에서는 도메인과 코도메인이 토폴로지 공간이어야 하므로 가장 일반적인 정의여야 합니다.이 정의에 따라 함수 f는 도메인의 모든 고립된 지점에서 자동으로 연속됩니다.구체적인 예로서, 정수 집합의 모든 실제 값 함수는 연속적입니다.

시퀀스의 한계와 관련된 정의

대신 c로 수렴하는 도메인 내의 임의의 시퀀스$({\displaystyle {xn}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {nn\mathbb{}}_{}}$ N$${\$displaystyle (x_{n})_{n\in$ \$mathbb {N}}$_$$${n$\in \mathbb {N}})에 대해 대응하는 시퀀스$(xn)$n) n$right$ {$display$ style $\left($f$(x_${n$})\in$\mathbb} {n} {n}) n$}$ {mathb$$$}$ {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n}$}$ 수학$$ 표기법에서는

연속 함수의 바이어스트라스 및 조던 정의(엡실론–델타)

함수의 한계에 대한 정의를 명시적으로 포함하여, 우리는 자체 포함 정의를 얻는다: 함수${\displaystyle f}$ : D ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ f$:$$위$와 같이 D$\to\mathbb {R}$ 및$$ $도메인{\displaystyle }$ D$\displaystyle$ D$\backslash$displaystyle f$\displaystyle$ $x_{0}$의 ${\displaystyle {요소x\mathrm{}}_{}}$0(\displaystyle x_{0})은 다음 상태가$$ 유지되면 ${\displaystyle {점x\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$})으로 연속된다고 합니다.어떠한 긍정적인 실수 ε를 들어;0, 아무리 작은{\displaystyle \varepsilon>;0,}, 주는 긍정적인 실수 δ>f{\displaystyle f}의 영역에서 x0−δ<>로 모든){\displaystyle)}에 0{\displaystyle \delta>0}가^<>x0+δ,{\displaystyle x_{0}-\delta 존재한다.<>x<, x_{0}+\delta $,}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) {$display$ f$(x)}$ 값은$$ $다음$을 만족합니다.

또는 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$\ $displaystyle$ f$:$의 $연속성{\displaystyle }$.${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$의$$$\$$to \mathbb {R}$D$$ {\$displaystyle x_{0}\in$ D$}$는 $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mathrm{that}}$D {\$displaystyle$x$\in$ D$\}$에 대해 다음과 같이$>$ 0$(\displaystyle$$\delta >0$$)$이 존재함을 의미합니다.

보다 직관적으로 말하면${\displaystyle ,}$ $모든{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$${\displaystyle {}_{}}$$$)의 값을$$${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}(}x{\displaystyle }$ 0 $),$ \$displaystyle$ f$(x_{0}\right)$ 주변의$$ 작은 동네에 머무르게 하려면 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$$x_displaystyle$x_0}의 $값$을 x .\$displaystyle x_0}$의 근처에 둘 수 있는 작은 동네를 선택하면 됩니다$.$$$ $f{\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 0$)$ {$displaystyle$ f$(x_$${0}}$ 근방이$$ 아무리 작아도 f$${$displaystyle$ f$}$는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}0$으로 연속됩니다$.$$}$

현대 용어에서, 이것은 토폴로지의 기초에 관한 함수의 연속성의 정의에 의해 일반화된다.여기서는 메트릭토폴로지를 사용한다.

Weierstrass는 0 - 0 +{\$displaydisplaydisplay$ { x _ { 0} - \ $delta <$x < x _ { 0} + \ $delta$}가 $도메인{\displaystyle }$D { \ $displaystyle$ D$$} 내에 있어야 하는데 Jordan이 이 제한을 없앴습니다.

나머지의 제어에 관한 정의

증명과 수치 분석에서 우리는 종종 한계가 얼마나 빨리 수렴되는지, 즉 나머지의 제어를 알아야 한다.우리는 이것을 연속성의 정의로 공식화할 수 있다.${\displaystyle \mathrm{함수}}$C${\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ 0 , ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle ]\to }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$]{ $displaystyle$ C : [ 0 , \ $infty ]\ to$ [ 0 , \ $infty$]}는, 다음의 경우에 제어 함수라고 불립니다.

• C는 감소하지 않는다.
• ${\displaystyle \inf_{\delta>0}(\delta)=0}.$

A ${\displaystyle \mathrm{함수}}$f : D ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$D\to$R은$$ x $($${x\mathrm{}}_{}$ 0$)$에서 C연속입니다.\$textstyle$ $N$$(x_{0})$은 다음과 같은 $인접관계$가 존재하는 경우

${\displaystyle {일부\mathrm{}}_{}}$ 제어 기능 C에 대해 C-연속인 경우 x$$0(\$style x_{$0$$})에서 함수는 연속입니다.

이 접근방식은 허용 가능한 제어 기능의 집합을 제한함으로써 자연스럽게 연속성의 개념을 개선한다.특정 제어 $함수{\displaystyle \mathcal{}}$ 세트$$C$(\displaystyle$ {$C})$에 대해 C${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle {C})$ - C(\$displaystyle$ C$}$일 $경우$ ${\displaystyle 함수}$는 C(\displaystyle C} - continuous)입니다$.$ (\$displaystyle C\inuall {C})$는 Lipschölder 함수와 같은 연속 함수입니다.제어 기능 세트에 의해 정의되다

각각 다음과 같다.

발진을 이용한 정의

지속성 또한 진동 측면에서:만일 그 지점에서의 진동은 0기능 f는 지점에서)0{\displaystyle x_{0}}의 끊임 없는;기호로[10], ω f(x0)=0입니다.{\displaystyle \omega_{f}(x_{0})=0.}이 정의의 이득은 불연속:oscilla을 재다 정의될 수 있다.tion는 함수가 한 점에서 불연속적인 정도를 나타냅니다.

이 정의는 일련의 불연속점과 연속점을 연구하기 위한 기술 집합 이론에서 유용합니다. 연속점은 진동이$$${\displaystyle {\mu }_{}}$($$$즉$ $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {\$displaystyle G_{\delta })$ 미만인 집합의 교차점이며, 한 방향의 매우 빠른 증거를 제공합니다.르베그 적분성 조건.^[11]

발진은 ${\displaystyle \mathrm{단순}}$한 재배열을 통해 ${\displaystyle -}$ - ${\$ - {\ \$displaystyle$ \$varepsilon$ - \ delta ${\displaystyle \}}$ 정의와$$ 동일합니다. 또한 한계(lim sup, lim inf)를 사용하여 발진을 정의합니다. (특정 지점에서)$$ 0 \ $display style$ \ $varepsilon _$ { 0}이(\$delta)$를 $만족$하는$${\ \ $delta$가 존재하지 않는 경우$\displaystyle \varepsilon -\$$display$ $}$ 정의에서$$ 발진은 ${\displaystyle {최소\mathrm{}}_{}}$, 0$,$ \displaystyle$$$\varepsilon$$$_${0}$이며, 반대로 모든 ${\$에 대해 원하는 $,,$ \$displaystyle \$$varepsilon$이 있는 경우 발진은 0입니다$.$진동 정의는 위상 공간에서 미터법 공간으로의 매핑으로 자연스럽게 일반화할 수 있습니다.

하이퍼리얼을 사용한 정의

Cauchy는 다음과 같은 직관적인 용어로 함수의 연속성을 정의했습니다. 독립 변수의 미미한 변화는 종속 변수의 미미한 변화에 해당합니다(Cours d'analyse, 페이지 34 참조).비표준 분석은 이것을 수학적으로 엄격하게 만드는 방법입니다.실선은 초실수를 형성하기 위해 무한하고 극소수의 덧셈에 의해 증가된다.비표준 분석에서는 다음과 같이 연속성을 정의할 수 있습니다.

(미세 연속성 참조).즉, 독립 변수의 미미한 증가는 항상 종속 변수의 미미한 변화를 유발하며, Augustin-Louis Cauchy의 연속성에 대한 정의에 현대적인 표현을 제공합니다.

연속기능 구축

주어진 함수의 구성 블록에 대한 위의 정의 특성 중 하나를 확인함으로써 주어진 함수의 연속성 검사를 단순화할 수 있습니다.일부 도메인에서 연속되는 두 함수의 합계가 이 도메인에서도 연속됨을 보여주는 것은 간단합니다.정해진

연속 함수의 합계 ( $s{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle x}$) +${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) ( x ) { $displaystyle$s ( x ) $= f$ ($x$ ) +$g$ ($x$ ) } (${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$D { $displaystyle$x \ $in$D $\}$ )는${\displaystyle }$D$$. { $displaystyle$ D$$}에서 연속적입니다.$}$

연속 함수의 산물에 대해서도 같은 것이 유지된다.

$($ x $D$에 대해 p ${\displaystyle (x}$ ) $=$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle \cdot g}$ (${\displaystyle x}$){ $displaystyle$ p ( x )=$f$ ($x$ )\ $cdot$$$g ($x$ )}로$$ $정의{\displaystyle }$)는${\displaystyle }$D $.\$ $displaystyle$$D$로 $연속적$입니다$.$$}$

$위$의 연속성 보존과 상수 함수의 연속성 및 R$(\$displaystyle $\mathbb {R$에서 항등 $함수{\displaystyle }$ I${\displaystyle (x)}$ $=$(\$displaystyle$ I$(x$)=x}의 결합을 통해$$다음과 같은 R(\$displaystyle \mathbb {R$의 모든 다항식 함수의 연속성에 도달한다.

(오른쪽).

같은 방법으로 연속함수의 역수가

${\displaystyle (}$ r$$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle$ r ( x )=$$$1$ /$f$${\displaystyle }$($x$ ) }로 $정의$됩니다$.$ ( ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle \{\backslash }$ 0 ( ${\displaystyle x}$ )\ $displaystyle$d$$$\{\backslash$ 0${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ \ $set$ ${\displaystyle \mathrm{display}}$ $style$ d .$}$

이는 $g$의${\displaystyle }$루트를 제외하고 연속 함수의 몫인 $\{displaystyle$ g$}$를 의미합니다.

${\displaystyle (}q{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) /${\displaystyle g}$ ($x )$。$모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mathrm{display}}$ D ($$\ $displaystyle$x \ $in$D$$)에 대해 g${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$0 ( x )\ $displaystyle$ ${\displaystyle g}$$( x$ )\$$$neq$0$$)는 D${\displaystyle \setminus }$ { x${\displaystyle }$:${\displaystyle g}$ ( $display$ style${\displaystyle }$0$$)에서도 연속됩니다${\displaystyle .}$

예를 들어 기능(사진)

는 모든 $실수{\displaystyle }$ x${\displaystyle -}$ - $(\displaystyle$ x$\neq$ - 2$)$에 대해 정의되며 이러한 모든 점에서 연속적입니다.따라서 연속 함수입니다.x ${\displaystyle =}$ - $({$$displaystyle$ x=-$2})$는 y${\displaystyle }$.$${$displaystyle$ y$$.}의 $도메인$에 속하지 $않으므로{\displaystyle }$ x $=$ -$$2({$displaystyle$ x=-$2})$에서의 연속성 문제는 발생하지 않습니다.$$ $모든{\displaystyle }$ xθ${\displaystyle }$-${\displaystyle 2}$에 대해 y$)$ {$displaystyle$ y$(x)}$와 $일치$하는 연속 $함수{\displaystyle }$F : R ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$ F$:\mathbb {R}$ \$to$ \$mathbb {R}}$이(가) 없습니다$.$ {\$displaystyle$ x$\neq$ - 2$}$

함수 사인은 모든 실수에 연속적이므로 sinc $함수{\displaystyle }$G (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ sin${\displaystyle \delta }$ ( x ) /${\displaystyle x}$ ,$${{$displaystyle$$$G(x)=\$sin($$x)/x$$,}$는 모든 ${\displaystyle \mathrm{실수}}$에 대해 정의되고 연속적입니다$.$ $그러나$ 이전 예와 달리 G는 모든 실수에 대해 연속적인 값으로 확장될 수 있습니다.$0$)$${$displaystyle G$(0$)}$는 1로, 이는 x가 0에 가까워질${\displaystyle }$때 G$),$ {$displaystyle G(x$)}의 한계입니다.

따라서 설정에 의해

${\displaystyle G(x)=begin{case}{\frac {sin(x)}{x}{\text{if}x\neq 0\1&{\text{if}x=0,\end{case}}}}$

sync 함수는 모든 실수의 연속 함수가 됩니다.제거 가능한 특이점이라는 용어는 적절한 한계와 일치하도록 함수의 값을 정의하여 함수가 특정 지점에서 연속되도록 하는 경우에 사용된다.

연속 함수의 보다 복잡한 구성은 함수 구성이다.두 개의 연속된 함수가 주어진 경우

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \circ f}$ : ${\displaystyle D_{}}$ f ${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$ $,\displaystyle$ c$=g\display$f :$D_{f}\to \mathbb {R},}$이며${\displaystyle }$c (${\displaystyle x}$ ) $=$ (${\displaystyle x}$) ,$${ $displaystyle$ c$(x$)=$g(f(x)}$ 로 $정의$되어 있습니다.

이 구조를 통해 예를 들어 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

는 0에 대해 연속됩니다$.\\style x >$ 0$}$

불연속 함수의 예

불연속 함수의 예로는 다음과 같이 정의된 헤비사이드 $스텝{\displaystyle }$ 함수$$H(\$displaystyle$ H$)$가 있습니다.

${\displaystyle H(x)=begin{cases}1&{\text{if}x\geq 0\\0&{\text{if}}x<0\end{cases}}}$

인스턴스 ε에 타선. 그럼δ{\delta\displaystyle}-neighborhood x에 초기 조향 순간 즉 0{\displaystyle x=0}은 1/2{\displaystyle \varepsilon =1/2} 받아 열려 있는 간격(− δ, δ){\displaystyle(-\delta ,\, \delta)}과δ>;0,{\displaystyle \delta>;0,}는 것을 강요한 모든 H()). {\disp$laystyle$$$H$(x)}$ 값은${\displaystyle }$$§$ {$displaystyle$ \$varepsilon}$$$-heighborhood$$ $H$($$0$$), 즉 ($/$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, ${\displaystyle 3\mathrm{}}$/ 2$)\displaystyle ($1 / 2$, \; 3$/ 2$)\}$ 내에 $있어야{\displaystyle }$ 합니다.직관적으로 이러한 유형의 불연속성은 갑작스러운 함수라고 생각할 수 있습니다.

마찬가지로 signum 또는 sign 함수

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=param {case}\;\;\1&{\text{if}x=0\-1&{\text{if}x<0\end{cases}}}}$

x ${\displaystyle =}$ {$style$ x$=0}$에서는 불연속이지만 그 이외에서는 연속적입니다.또 다른 예로는 기능

${\displaystyle f(x)=cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{if}x\neq 0\\0&{\text{if}x=0\end{cases}}}}$

x ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ x$=0$을 $제외$한 모든 곳에서 연속됩니다.

위와 같은 그럴듯한 연속성과 불연속성 외에도 종종 병리학적으로 만들어진 행동을 가진 함수들이 있다. 예를 들어, 토메의 함수,

${{displaystyle f(x)=cases}1&{\text{if}x=0\{\frac {1}{q}}&{\text{(최저용어로)}}xtext{{p}{q}}}}는 유리수}\0&{\text{\text{f}}}입니다.\end {case}}$

모든 무리수에서 연속적이고 모든 유리수에서 불연속적입니다.비슷한 맥락에서 유리수 집합의 지표 함수인 디리클레 함수는

${\displaystyle D(x)=begin{cases} 0&{\text{이유}}xtext{R} \setminus \mathbb {Q}}\1&{\text{이유효}}}\end{cases}}}}$

어디에도 연속되지 않습니다.

특성.

유용한 보조군

${\displaystyle f_{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )$${ $displaystyle$f ($x$ ) $、$ \ $displaystyle x$$_$$${ $0$${\displaystyle {}_{}}$} ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle .\backslash }$ $displaystyle$f \$left$ ( x$_$ 0 )${\displaystyle {}_{}}$ y y${\displaystyle {}_{}}$0 $.\$ $neq$ y$$${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}$ $0$（ \$$$display$ style f _ 0$$ $y{\displaystyle }$ ( (${\displaystyle {}_{}}$ ( \ display $style$ 0 ) （ 0 ) $。$${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}0$의 부호$({displaystyle x_{$$0$}).$}$^[13]

증명: 연속성의 정의에 - ( 0 ) > { { $displaystyle \$ $varepsilon$ =$flac${ $y _ 0$$}$ - f ( x$_$ { $0 }$ } {$2}} >$0 을 취하면 0 $됩니다$.

- 0 $<\displaystyle x-x_{0} <\display }$에 f${\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$0$;\displaystyle$ f$(x$)=$y_{0};}$의 점이 있다고 가정하면 모순이 발생합니다.

중간값 정리

중간값 정리는 완전성의 실수 특성에 기초한 존재 정리이며, 다음과 같은 상태를 나타낸다.

실수치 함수 f가 닫힌 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle a,b],}${{$displaystyle [a, b],$ k가${\displaystyle }$f ($)$ {$displaystyle$$$f$(a$$)}$와${\displaystyle }$f (${\displaystyle b}$$)$ $사이$의 $숫자$일 경우, c ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b]}$, {$displaystyle$ c$\in [$a$$, b$$}, c${\displaystyle }$} ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle c}$.$}$

예를 들어, 아이가 2세에서 6세 사이에 1m에서 1.5m까지 자란다면, 2세에서 6세 사이의 어느 시점에 아이의 키는 1.25m가 되어야 한다.

따라서 f가 [${\displaystyle a,}$ $]({$$displaystyle$ $[a$$,$ $b$${\displaystyle ])}$와 f$)$에서${\displaystyle }$연속되는 경우, c${\displaystyle }$${\displaystyle [}$ [${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b]}$, { $displaystyle$ c \ $in [ a$ , $b$]] , { displaystyle f$(b$$)}$ $f$${\displaystyle (c}$ )의 어느 $시점$에서는 f({$displaystyle$ f$(c$$)$가 같아야 합니다.

극단값 정리

극한값 정리에서는 함수 f가 닫힌 간격 $]\displaystyle [a, b]($또는 닫힌 경계 집합)에 정의되어 있는 경우 함수는 그 최대치에 도달합니다.즉${\displaystyle ,}$ $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )f}$ ( ${\displaystyle c}$ ) ${\displaystyle \ge }$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, $]$ \ $display$ c \ $in [ a$ , $b$] { display$$ x${\displaystyle }$f ( c ) $styledisplay$ x f ( c ) （ c )$$） } 。$모든$ $x{\displaystyle ]}$ [ a , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$. {$display style$x \ in $[$a , b$$]에 대응합니다.} f의$$ 최소값도 마찬가지이다$.$예를 들어,${\displaystyle }$함수가 ${\displaystyle \mathrm{열린}}$ ${\displaystyle \mathrm{간격}(}$a , b $) {displaystyle$(a$,$b) {displaystyle (a, $$b)}(또는 닫히고 경계가 없는 모든 집합)에 정의되어 있는 경우, 이러한 문장은 일반적으로 참이 아닙니다. 예를 들어 열린 간격(0, 최대값 a)에 정의된 연속 $함수{\displaystyle }$f${\displaystyle (x}$ ) ${\displaystyle =}$1 $,$ {$displaystyle$ f(x) =$f(x$} {1} {$x}$이 되지 않습니다.그 위에 무한히 있다.

차별화 및 통합성과의 관계

모든 차별화 가능한 기능

표시된 바와 같이 연속적입니다.반대는 유지되지 않습니다. 예를 들어 절대값 함수

${\displaystyle f(x)=x =case {case}\;\x&{\text{if}x\geq 0\\x&{\text{if}x<0\end{case}}}}$

어디서든 계속됩니다.그러나 x ${\displaystyle =}$ $(표시 스타일$ x$=0)$에서는 구분할 수 없습니다(다른 모든 부분에서도 마찬가지).Weierstrass의 기능은 어디에서나 연속적이지만 다른 점은 없습니다.

미분 가능 함수 f(x)의 도함수 fδ(x)는 연속적일 필요가 없다.f((x)가 연속이면 f(x)는 연속 미분 가능하다고 한다.이러한 기능의 세트는 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$1${\displaystyle }$( ( ( ${\displaystyle 1}$, b${\displaystyle }$) )로 $표시$됩니다$.{$ $displaystyle$ C$^{1}$ ( ( ($1$ ,$$b ) ） 。$}$ 보다$$ 일반적으로 기능 집합

(열린 간격($또는$ R$\$displaystyle $\$$mathbb$${R$의 열린 부분 집합)에서$)$ f가 $(\displaystyle$n$)$배$$ 미분가능하고 f의$$n${\displaystyle {}^{}}$$displaystyle$ n$)$ - n$$(\displaystyle n${\displaystyle )}$- 도함수가 연속인 ${\displaystyle {경우}^{}}$ Cn(\$styledisplay$ c$^{n})$으로 $표시$됩니다$.$} 차별화 클래스 참조$.$컴퓨터 그래픽스 분야에서는 ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1, ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 2$($ C$^{$$0$},$$$C^{1$}, $C^{2$})와 관련된 속성을 G $($위치 $연속성{\displaystyle {}^{}}$),$$ 1($표시$ $스타일$ G$^1$}), ${\displaystyle {G\mathrm{}}^{}}$2($표시$ 스타일 G^2$)$라고 $부르기$도 합니다.곡면); 곡선과 표면의 평활도를 참조하십시오.

모든 연속 함수

는 적분할 수 있습니다(예를 들어 리만 적분).(적분 가능하지만 불연속적인) 기호 함수가 나타내듯이 역방향은 유지되지 않습니다.

점 단위 및 균일한 한계

지정된 시퀀스

한도가 제한될 수는 모든 $x{\displaystyle †}$ $,$ {$style$ x$\in$ D$,\}$ 에 대해 존재합니다.이 $결과{\displaystyle }$ 함수${\displaystyle }$f$x)$ {$style$ f$(x)}$는 함수 시퀀스의 포인트 제한(${\displaystyle {f_{}}_{}}$ n${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {†}_{}}$ $.$ {$display$style \$left(f_{n}\right)_{n\in$ N$.}$ 이라고 불립니다. The pointwise limit function need not be continuous, even if all functions ${\displaystyle f_{n}}$ are continuous, as the animation at the right shows. However, f is continuous if all functions ${\displaystyle f_{n}}$ are continuous and the sequence converges uniformly, by the uniform convergence theorem. This theorem can be used to show that the exponential functions, logarithms, square root function, and trigonometric functions are continuous.

지향성 및 반연속성

불연속 함수는 제한된 방식으로 불연속적일 수 있으며, 방향성 연속성(또는 좌우 연속성 함수)과 반연속성의 개념을 발생시킬 수 있다.대략적으로 말하면, 오른쪽에서 한계점에 접근했을 때 점프가 발생하지 않으면 기능은 오른쪽 연속이다.다음 조건이 충족되면 f는 c 지점에서 우연속이라고 한다.$(\displaystyle \varepsilon$> 0)의 작은 숫자에 대해 0$displaystyle \delta$> $0)$의 $값$이${\displaystyle c}$<$$x < + $>$ { $displaystyle$ c <$c$+ \ $delta$}, { $displaystyle$ f$(x$)의 값을 만족시키는 몇 가지 숫자가 합니다

이것은 연속 함수와 동일한 조건이지만 x가 c보다 큰 경우에만 유지되어야 합니다. c- < < \ $displaystyle$ c - \ $delta < x$ < c}의 모든 x에 대해 이 값을 요구하면 왼쪽 연속 함수의 개념이 생성됩니다.함수는 오른쪽-연속 및 왼쪽-연속인 경우에만 연속입니다.

함수 f는 대략적으로 점프가 상승하지 않고 하강만 하는 경우 더 낮은 반연속이다.즉, 의 에 대해{\$displaystyle$ $\varepsilon$> $0$$,}$에 대해 도메인${\displaystyle 내}$의 $모든$x가 x-< $},$$${\$displaystyle$ $x-c$ $<\delta$$}$의 $값$을 만족시키는 >$0$이 존재합니다.

The reverse condition is upper semi-continuity.

메트릭 공간 간의 연속 함수

연속 실수값 함수의 개념은 메트릭 공간 간의 함수로 일반화할 수 있습니다.미터법 공간은 X에 있는 두 요소의 거리를 측정한 것으로 간주할 수 있는 함수($미터법$이라고 함) d $,$ {\$display d_{X})$를 갖춘 $집합{\displaystyle }$X입니다.형식적으로 메트릭은 함수입니다.

that satisfies a number of requirements, notably the triangle inequality. Given two metric spaces ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ and ${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$ and a function then ${\displaystyle f}$ is continuous at the point ${\displaystyle c\in X}$ (with respect to the given metrics) if for any positive real number ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ there exists a positive real number ${\displaystyle \delta >0}$ such that all ${\displaystyle x\in X}$ satisfying ${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$ will also satisfy ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$ As in the case of real functions above, this is equivalent to the condition that for every sequence ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ in ${\displaystyle X}$ with limit ${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$ we have ${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$ The latter condition can be weakened as follows: ${\displaystyle f}$ is continuous at the point ${\displaystyle c}$ if and only if for every convergent sequence ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ in ${\displaystyle X}$ with limit ${\displaystyle c}$, the sequence ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ is a Cauchy sequence, and ${\displaystyle c}$ is in the domain of ${\displaystyle f}$.

메트릭 공간 간의 함수가 연속되는 포인트 세트는 G$$(\$displaystyle G_{\delta$})입니다.이것은 ${\displaystyle \mathrm{연속성}}$의 정의$(\displaystyle \varepsilon -\delta })$에 따른 것입니다.

이 연속성의 개념은 예를 들어 기능 분석에서 적용된다.이 영역의 핵심 문장에 따르면 선형 연산자는

between normed vector spaces${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ (which are vector spaces equipped with a compatible norm, denoted ${\displaystyle \ x\ }$) is continuous if and only if it is bounded, that is, there is a constant ${\displaystyle K}$ such that for all ${\displaystyle x\in V.}$

균일, Hölder 및 Lipschitz 연속성

상기 정의에서 ${\$ { $displaystyle$\ $delta$}가 in { \ $displaystyle$\ $varepsilon$} 및 c에 의존하는 방식을 제한함으로써 메트릭 공간 간의 함수 연속성의 개념을 다양하게 강화할 수 있다.직감적으로$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \delta }$가 점 c에 의존하지 않는 경우 위와 같은 함수 f는 균일하게 연속됩니다.좀 더 정밀하게, 그것은 실수가 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}이 δ 을 존재하고 필요하다 0{\displaystyle \delta>0}가 영화를 위해 c, b∈ X{\displaystyle c,b\in X}과 dX(b, c)<>δ,{\displaystyle d_{X}(b,c)<, \delta,}우리가 가진 dY(f(b), f(.c))<>ε.{)$displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))$ <\$varepsilon .}$ 따라서 균일하게 연속되는 함수는 모두 연속적입니다.일반적으로 역방향은 유지되지 않지만 도메인 공간 X가 작을 때 유지됩니다.균일하게 연속되는 지도는 균일한 공간의 ^[14]보다 일반적인 상황에서 정의할 수 있습니다.

함수는 모든 $b{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle cx}$ X$,$ \$displaystyle$ b, c$\in$ X에$$ 대해 부등식인 상수 K가 존재하는 경우 지수α(실수)로 연속한다.

holds. Any Hölder continuous function is uniformly continuous. The particular case ${\displaystyle \alpha =1}$ is referred to as Lipschitz continuity. That is, a function is Lipschitz continuous if there is a constant K such that the inequality holds for any ${\displaystyle b,c\in X.}$^[15] The Lipschitz condition occurs, for example, in the Picard–Lindelöf theorem concerning the solutions of ordinary differential equations.

위상 공간 간의 연속 함수

더 추상적인 또 다른 연속성의 개념은 미터법의 경우처럼 일반적으로 거리에 대한 공식적인 개념이 없는 위상 공간 사이의 함수의 연속성이다.토폴로지 공간은 X 상의 토폴로지와 함께 집합 X이며, X의 서브셋은 미터법 공간에서 열린 볼의 속성을 일반화하는 교차점과 관련된 몇 가지 요건을 충족하면서 주어진 점의 근방에 대해 이야기할 수 있는 집합이다.토폴로지의 요소는 (토폴로지에 관한) X의 오픈서브셋이라고 불립니다

함수

between two topological spaces X and Y is continuous if for every open set ${\displaystyle V\subseteq Y,}$ the inverse image is an open subset of X. That is, f is a function between the sets X and Y (not on the elements of the topology ${\displaystyle T_{X}}$), but the continuity of f depends on the topologies used on X and Y.

이는 Y에서 닫힌 집합(열린 하위 집합의 보완물)의 사전 이미지가 X에서 닫히는 조건과 동일합니다.

극단적인 예: 집합 X에 이산 토폴로지(모든 서브셋이 열려 있음)가 지정되면 모든 기능이 작동합니다.

to any topological space T are continuous. On the other hand, if X is equipped with the indiscrete topology (in which the only open subsets are the empty set and X) and the space T set is at least T₀, then the only continuous functions are the constant functions. Conversely, any function whose range is indiscrete is continuous.

시점에서의 연속성

$({\displaystyle }$ "${\displaystyle }$,${\displaystyle }$" )$${ $displaystyle$( \ $varepsilon$, \ $delta$) の itiondefinitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionitionition of of of of of의 인근 언어로 변환하면, 어느 시점에서 연속성의 정의가 다음과 같이 ${\displaystyle \mathrm{됩니다}}$.

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:X\to$ Y$)$는 x$${\ X(\$displaystyle x\$ X) 포인트에서 연속됩니다.이는 Y에 f${\displaystyle (x}$$)\style$${\displaystyle }$f(x)\display$$V(\$displaystyle$ f($x)$의 근방 U${\displaystyle (\backslash }$displaystyle f$(x$)가 존재하는 경우에만 해당됩니다$.$

이 정의는 오픈네이버로 제한된 네이버와 동일한 문장에 해당하며 이미지가 아닌 프리이미지를 사용하여 여러 가지 방법으로 재작성할 수 있습니다.

또, 근방을 포함한 모든 세트가 근방이며${\displaystyle {,}^{}}$ $f{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle V}$ $){$ $displaystyle$ f^ { - 1$（ V$ ）${\displaystyle v}$ V$$ \ $displaystyle$ f$(U)\subseteq$ V$$}이 X의 가장 큰 서브셋 U이므로, 이 정의는 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$X\to$Y}는$$ f$x)$의 $모든{\displaystyle }$ 근린 V에 ${\displaystyle {\mathrm{대해}}^{}}$ f ${\displaystyle {-}^{}}$1($V)$ {$displaystyle$ f$^{-$1}($V)$이 x의 $근린$인 경우에만 x${\displaystyle \theta }$ X$${\$displaystyle$x\$in$ X$}$ 점에서$$ 연속적입니다.

오픈 집합은 모든 점의 근방 집합이므로 연속 함수인 경우에만 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Y}${$display style$ f$:X\to$ Y$}$는 X의 모든 점에서 연속적입니다.

If X and Y are metric spaces, it is equivalent to consider the neighborhood system of open balls centered at x and f(x) instead of all neighborhoods. This gives back the above ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ definition of continuity in the context of metric spaces. In general topological spaces, there is no notion of nearness or distance. If however the target space is a Hausdorff space, it is still true that f is continuous at a if and only if the limit of f as x approaches a is f(a). At an isolated point, every function is continuous.

Given ${\displaystyle x\in X,}$ a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous at ${\displaystyle x}$ if and only if whenever ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a filter on ${\displaystyle X}$ that converges to ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X,}$ which is expressed by writing ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$ then necessarily ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$ in ${\displaystyle Y.}$ If ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ denotes the neighborhood filter at ${\displaystyle x}$ then ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous at ${\displaystyle x}$ if and only if ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$ in ${\displaystyle Y.}$^[16] Moreover, this happens if and only if the prefilter ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$ is a filter base for the neighborhood filter of ${\displaystyle f(x)}$ in ${\displaystyle Y.}$^[16]

Alternative definitions

Several equivalent definitions for a topological structure exist and thus there are several equivalent ways to define a continuous function.

Sequences and nets

In several contexts, the topology of a space is conveniently specified in terms of limit points. In many instances, this is accomplished by specifying when a point is the limit of a sequence, but for some spaces that are too large in some sense, one specifies also when a point is the limit of more general sets of points indexed by a directed set, known as nets. A function is (Heine-)continuous only if it takes limits of sequences to limits of sequences. In the former case, preservation of limits is also sufficient; in the latter, a function may preserve all limits of sequences yet still fail to be continuous, and preservation of nets is a necessary and sufficient condition.

In detail, a function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is sequentially continuous if whenever a sequence ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ in ${\displaystyle X}$ converges to a limit ${\displaystyle x,}$ the sequence ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ converges to ${\displaystyle f(x).}$ Thus sequentially continuous functions "preserve sequential limits". Every continuous function is sequentially continuous. If ${\displaystyle X}$ is a first-countable space and countable choice holds, then the converse also holds: any function preserving sequential limits is continuous. In particular, if ${\displaystyle X}$ is a metric space, sequential continuity and continuity are equivalent. For non first-countable spaces, sequential continuity might be strictly weaker than continuity. (The spaces for which the two properties are equivalent are called sequential spaces.) This motivates the consideration of nets instead of sequences in general topological spaces. Continuous functions preserve limits of nets, and in fact this property characterizes continuous functions.

For instance, consider the case of real-valued functions of one real variable:^[17]

Closure operator and interior operator definitions

In terms of the interior operator, a function ${\displaystyle f:X\to Y}$ between topological spaces is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

In terms of the closure operator, ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$

That is to say, given any element ${\displaystyle x\in X}$ that belongs to the closure of a subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$ necessarily belongs to the closure of ${\displaystyle f(A)}$ in ${\displaystyle Y.}$ If we declare that a point ${\displaystyle x}$ is close to a subset ${\displaystyle A\subseteq X}$ if ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ then this terminology allows for a plain English description of continuity: ${\displaystyle f}$ is continuous if and only if for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$ maps points that are close to ${\displaystyle A}$ to points that are close to ${\displaystyle f(A).}$ Similarly, ${\displaystyle f}$ is continuous at a fixed given point ${\displaystyle x\in X}$ if and only if whenever ${\displaystyle x}$ is close to a subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ then ${\displaystyle f(x)}$ is close to ${\displaystyle f(A).}$

Instead of specifying topological spaces by their open subsets, any topology on ${\displaystyle X}$ can alternatively be determined by a closure operator or by an interior operator. Specifically, the map that sends a subset ${\displaystyle A}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ to its topological closure ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ satisfies the Kuratowski closure axioms. Conversely, for any closure operator ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$ there exists a unique topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ (specifically, ${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$) such that for every subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ is equal to the topological closure ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$ of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle (X,\tau ).}$ If the sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are each associated with closure operators (both denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} }$) then a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$ for every subset ${\displaystyle A\subseteq X.}$

Similarly, the map that sends a subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle X}$ to its topological interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ defines an interior operator. Conversely, any interior operator ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$ induces a unique topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ (specifically, ${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$) such that for every ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ is equal to the topological interior ${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$ of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle (X,\tau ).}$ If the sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are each associated with interior operators (both denoted by ${\displaystyle \operatorname {int} }$) then a map ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$ for every subset ${\displaystyle B\subseteq Y.}$^[18]

Filters and prefilters

Continuity can also be characterized in terms of filters. A function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if whenever a filter ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on ${\displaystyle X}$ converges in ${\displaystyle X}$ to a point ${\displaystyle x\in X,}$ then the prefilter ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ converges in ${\displaystyle Y}$ to ${\displaystyle f(x).}$ This characterization remains true if the word "filter" is replaced by "prefilter."^[16]

Properties

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ and ${\displaystyle g:Y\to Z}$ are continuous, then so is the composition ${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$ If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous and

• X is compact, then f(X) is compact.
• X is connected, then f(X) is connected.
• X is path-connected, then f(X) is path-connected.
• X is Lindelöf, then f(X) is Lindelöf.
• X is separable, then f(X) is separable.

The possible topologies on a fixed set X are partially ordered: a topology ${\displaystyle \tau _{1}}$ is said to be coarser than another topology ${\displaystyle \tau _{2}}$ (notation: ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$) if every open subset with respect to ${\displaystyle \tau _{1}}$ is also open with respect to ${\displaystyle \tau _{2}.}$ Then, the identity map

is continuous if and only if ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ (see also comparison of topologies). More generally, a continuous function stays continuous if the topology ${\displaystyle \tau _{Y}}$ is replaced by a coarser topology and/or ${\displaystyle \tau _{X}}$ is replaced by a finer topology.

Homeomorphisms

Symmetric to the concept of a continuous map is an open map, for which images of open sets are open. In fact, if an open map f has an inverse function, that inverse is continuous, and if a continuous map g has an inverse, that inverse is open. Given a bijective function f between two topological spaces, the inverse function ${\displaystyle f^{-1}}$ need not be continuous. A bijective continuous function with continuous inverse function is called a homeomorphism.

If a continuous bijection has as its domain a compact space and its codomain is Hausdorff, then it is a homeomorphism.

Defining topologies via continuous functions

Given a function

where X is a topological space and S is a set (without a specified topology), the final topology on S is defined by letting the open sets of S be those subsets A of S for which ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ is open in X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is coarser than the final topology on S. Thus the final topology can be characterized as the finest topology on S that makes f continuous. If f is surjective, this topology is canonically identified with the quotient topology under the equivalence relation defined by f.

Dually, for a function f from a set S to a topological space X, the initial topology on S is defined by designating as an open set every subset A of S such that ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$ for some open subset U of X. If S has an existing topology, f is continuous with respect to this topology if and only if the existing topology is finer than the initial topology on S. Thus the initial topology can be characterized as the coarsest topology on S that makes f continuous. If f is injective, this topology is canonically identified with the subspace topology of S, viewed as a subset of X.

A topology on a set S is uniquely determined by the class of all continuous functions ${\displaystyle S\to X}$ into all topological spaces X. Dually, a similar idea can be applied to maps ${\displaystyle X\to S.}$

Related notions

If ${\displaystyle f:S\to Y}$ is a continuous function from some subset ${\displaystyle S}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ then a continuous extension of ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle X}$ is any continuous function ${\displaystyle F:X\to Y}$ such that ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ for every ${\displaystyle s\in S,}$ which is a condition that often written as ${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}.}$ In words, it is any continuous function ${\displaystyle F:X\to Y}$ that restricts to ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle S.}$ This notion is used, for example, in the Tietze extension theorem and the Hahn–Banach theorem. Were ${\displaystyle f:S\to Y}$ not continuous then it could not possibly have a continuous extension. If ${\displaystyle Y}$ is a Hausdorff space and ${\displaystyle S}$ is a dense subset of ${\displaystyle X}$ then a continuous extension of ${\displaystyle f:S\to Y}$ to ${\displaystyle X,}$ if one exists, will be unique. The Blumberg theorem states that if ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is an arbitrary function then there exists a dense subset ${\displaystyle D}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ such that the restriction ${\displaystyle f{\big \vert }_{D}:D\to \mathbb {R} }$ is continuous; in other words, every function ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ can be restricted to some dense subset on which it is continuous.

Various other mathematical domains use the concept of continuity in different, but related meanings. For example, in order theory, an order-preserving function ${\displaystyle f:X\to Y}$ between particular types of partially ordered sets ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ is continuous if for each directed subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle X,}$ we have ${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$ Here ${\displaystyle \,\sup \,}$ is the supremum with respect to the orderings in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y,}$ respectively. This notion of continuity is the same as topological continuity when the partially ordered sets are given the Scott topology.^[19][20]

In category theory, a functor

between two categories is called continuous if it commutes with small limits. That is to say, for any small (that is, indexed by a set ${\displaystyle I,}$ as opposed to a class) diagram of objects in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

A continuity space is a generalization of metric spaces and posets,^[21][22] which uses the concept of quantales, and that can be used to unify the notions of metric spaces and domains.^[23]

See also

• Direction-preserving function - an analogue of a continuous function in discrete spaces.

References

Bibliography

• Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• "Continuous function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]