안정 호모토피 이론

수학에서 안정적 호모토피 이론은 항모피 이론(따라서 대수적 위상)의 일부로서 서스펜션 펑터를 충분히 많이 응용한 후에도 남아 있는 모든 구조와 현상에 관계한다.창립 결과는 프로이드젠탈 $서스펜션$ 정리였으며, $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ 에는 어떤 뾰족한 $공간$ X ${\displaystyle$ X $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ 호모토피 그룹 homn + k ( $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ ) ${\$ $displaystyle$ $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ 이 $}$ 에 대해 충분히 $\pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)$ $n$ 안정화되었다고 명시되어 있다.특히 $n\geq k+2$ $\pi _{n+k}(S^{n})$ + k $\pi _{n+k}(S^{n})$ $\pi _{n+k}(S^{n})$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})$ 의 호모토피 그룹은 $n\geq k+2$ $n\geq k+2$ k $n\geq k+2$ + $n\geq k+2$ ${\displaystyle n\geq$ k $+2}$ 에 대해 안정화된다 $\pi _{n+k}(S^{n})$ $n\geq k+2$ 예를 들어,

\langle{\text{id}_{S^{1}\angle =\mathb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \{3}\cdots }}}}

\langle \eta \rangle =\mathb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}\cong \cdots

위의 두 예에서 호모토피 그룹 사이의 모든 맵은 서스펜션 펑터의 적용이다.The first example is a standard corollary of the Hurewicz theorem, that $\pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$ . In the second example the Hopf map, $\eta$ , is mapped to its suspension $\Sigma \eta$ , which generates $\pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2$ $\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathb {Z} /2$

안정적인 호모토피 이론에서 가장 중요한 문제 중 하나는 구들의 안정적인 호모토피 집단의 연산이다.프로이덴탈의 정리에 따르면 안정적인 범위에서 구들의 호모토피 그룹은 그 영역과 대상의 구체의 특정 차원에 의존하지 않고 그 차원에 의존한다.이를 염두에 두고 k번째 안정 줄기는

{\displaystyle \pi _{k}^{s}:

=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}

.

이것은 모든 k를 위한 아벨 그룹이다.이러한 집단은 $k\neq 0$ $[\displaystyle k\neq$ 0 $}$ 에 한정되어 있다는 것이 장-피에르 세레의^[1] 정리 $k\neq 0$ 실제로 구성으로 $\pi _{*}^{S}$ $\pi _{*}^{S}$ ${\$ 가 등급이 매겨진 링으로 만들어진다 $\pi _{*}^{S}$ .니시다^[2] 고로의 정리에는 이 고리의 모든 양성 등급은 영감이라고 되어 있다. $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ ${\$ 의 프리타임만이 유일한 프라임 이상이다 $\pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z}$ 따라서 $\pi _{*}^{s}$ $\pi _{*}^{s}$ $\pi _{*}^{s}$ ${\$ 의 구조는 상당히 복잡하다 $\pi _{*}^{s}$ .

안정적 호모토피 이론의 현대적 처리에서 공간은 일반적으로 스펙트럼으로 대체된다.이러한 사고방식에 따라 안정적인 호모토피 범주가 만들어질 수 있다.이 범주는 서스펜션 펑터가 변위할 수 없게 된 사실에 따라 공간의 (불안정) 호모토피 범주에 없는 많은 좋은 특성을 가지고 있다.예를 들어, 교동 시퀀스와 교동 시퀀스의 개념은 동일하다.

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참조

^ Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes d'homotopie et classes de groupes abelien". Annals of Mathematics. 58 (2): 258–295. doi:10.2307/1969789. JSTOR 1969789.
^ Nishida, Goro (1973), "The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres", Journal of the Mathematical Society of Japan, 25 (4): 707–732, doi:10.2969/jmsj/02540707, ISSN 0025-5645, MR 0341485

Adams, J. Frank (1966), Stable homotopy theory, Second revised edition. Lectures delivered at the University of California at Berkeley, vol. 1961, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0196742
May, J. Peter (1999), "Stable Algebraic Topology, 1945–1966" (PDF), Stable algebraic topology, 1945--1966, Amsterdam: North-Holland, pp. 665–723, CiteSeerX 10.1.1.30.6299, doi:10.1016/B978-044482375-5/50025-0, ISBN 9780444823755, MR 1721119
Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 128, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02572-8, MR 1192553

[1] Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes d'homotopie et classes de groupes abelien". Annals of Mathematics. 58 (2): 258–295. doi:10.2307/1969789. JSTOR 1969789.

[2] Nishida, Goro (1973), "The nilpotency of elements of the stable homotopy groups of spheres", Journal of the Mathematical Society of Japan, 25 (4): 707–732, doi:10.2969/jmsj/02540707, ISSN 0025-5645, MR 0341485

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