구간 그래프

실선상의 7개의 구간과 대응하는 7개의 수직 구간 그래프.

그래프 이론에서 구간 그래프는 실선상의 구간 집합에서 형성되는 무방향 그래프이며, 각 간격에 대한 정점과 간격이 교차하는 정점 사이의 모서리를 가진다.구간의 교차 그래프입니다.

구간 그래프는 화음 그래프와 완벽한 그래프입니다.선형 시간으로 인식할 수 있으며, 이러한 그래프에서 최적의 그래프 색칠 또는 최대 클리크를 선형 시간으로 찾을 수 있습니다.구간 그래프에는 단위 구간 집합에서 동일한 방식으로 정의된 모든 적절한 구간 그래프가 포함됩니다.

이 그래프는 먹이 웹을 모델링하고 겹치지 않는 시간에 수행할 작업의 하위 집합을 선택해야 하는 스케줄링 문제를 연구하기 위해 사용되었습니다.다른 응용 분야에는 DNA 매핑의 연속적인 후속 조립과 시간 추론이 포함됩니다.

정의.

구간 그래프는 구간 패밀리로 구성된 무방향 $그래프$ G입니다.

\displaystyle S_{i},\quad i=0,1,2,\displays }

각 $구간 i$ S에 대해 하나의 $정점 i$ v를 생성하고 해당하는 두 집합이 비어 있지 않은 교차점을 가질 때마다 모서리로 두 $정점 i$ $v$ 와_j v를 연결합니다.즉, $G$ 의 엣지 세트는

\displaystyle E(G)=\{(v_{i},v_{j})\mid S_{i}\cap S_{j}\neq \emptyset \}.}

구간의 교차 그래프입니다.

특성화

세 개의 정점은 각각 두 개의 정점을 포함하지만 세 번째 이웃은 없는 경로가 있는 경우 그래프에서 소행성 삼중(AT)을 형성합니다.그래프는 소행성 트리플이 없으면 AT가 없다.구간 그래프의 초기 특성은 다음과 같습니다.

그래프는 현상과 AT가 ^[1]없는 경우에만 구간 그래프입니다.

기타 특성:

그래프는 최대 클리크의 $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ 를 $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ , $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ M2 $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ k { $displaystyle M_{1}, M_{2},\dots, M_{k}$ 로 $M_{1},M_{2},\dots ,M_{k}$ 지정할 수 있는 경우에만 간격 그래프입니다.이러한 클리크의 2개에 속하는 각 정점도 순서대로 이들 사이의 모든 클리크에 속합니다.즉 $i<k$ i < $i<k$ \ $display style$ i < $k$ 가 있는 $v\in M_{i}\cap M_{k}$ $v\in M_{i}\cap M_{k}$ $v\in M_{j}$ M $v\in M_{i}\cap M_{k}$ k \ $display style v _$ { i } \ $cap$ M _ { $k$ }에 $v\in M_{i}\cap M_{k}$ 대해서 $i<j<k$ i < $i<j<k$ > < k $v\in M_{j}$ m {\ m j \ $display style$ v \ $in$ M _ { $j$ $i<j<k$ ^[2]의 $v\in M_{j}$ 경우도 $v\in M_{j}$ 입니다.
그래프는 Cycle $C_{4}$ $C_{4}$ 4 $(\$ 를 $C_{4}$ 유도 서브그래프로 포함하지 않는 경우에만 구간 그래프이며 비교 ^[3]그래프의 보완 그래프입니다.

구간 그래프 및 변형에 대한 다양한 특성화가 ^[4]설명되었습니다.

효율적인 인식 알고리즘

주어진 $G=(V,E)$ G $G=(V,E)$ ( V $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) \ $displaystyle$ G = ( $V$ , $E$ ) \ displaystyle O ( $V$ , $O(|V|+|E|)$ ) $O(|V|+|E|)$ \ $display style$ O ( $O(|V|+|E|)$ + $E$ ) \ $display style$ G}의 $G=(V,E)$ $O(|V|+|E|)$ $G$ $최대$ 클리크의 순서를 구함으로써 $O(|V|+|E|)$ 구간 그래프인지 아닌지를 결정할 수 있다.이 문제에 대해 알려진 알고리즘의 대부분은 이와 같이 동작합니다.단,^[5] CLI를 사용하지 않고 간격 그래프를 선형 시간으로 인식할 수도 있습니다.

Booth & Lueker(1976)의 원래 선형 시간 인식 알고리즘은 복잡한 PQ 트리 데이터 구조에 기초하지만 Habib 등. (2000)은 그래프가 화음이고 그 보완이 비교가능성 ^[6]그래프인 경우에만 구간 그래프라는 사실에 기초하여 사전적 폭 우선 검색을 사용하여 문제를 보다 단순하게 해결하는 방법을 보여주었다.6 스위프 LexBFS 알고리즘을 사용한 유사한 접근방식은 Corneil, Olariu 및 Stewart(2009)에 설명되어 있습니다.

그래프 관련 패밀리

구간 그래프를 AT 프리 화음 ^[1]그래프로 특성화함으로써 구간 그래프는 강한 화음 그래프이므로 완벽한 그래프이다.이들의 보완은 비교 가능성 ^[3]그래프의 클래스에 속하며 비교 가능성 관계는 정확히 구간 ^[7]순서이다.

그래프가 구간 그래프라는 사실로부터 그래프가 화음이고 그 보수가 비교 가능성 그래프인 경우에만 그래프가 분할 그래프이자 순열 그래프인 경우에만 그래프와 그 보수가 구간 그래프라는 것을 알 수 있다.

두 구간이 분리되거나 내포된 구간 표현이 있는 구간 그래프는 거의 완벽한 그래프입니다.

그래프에는 구간 그래프일 경우에만 상자성이 있습니다.임의 $그래프$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 상자성은 동일한 정점 집합의 구간 그래프 최소 개수로 구간 그래프의 가장자리 집합의 $G$ 가 $G$ (\ $displaystyle$ G $G$ 가 됩니다.

원의 호 교차 그래프는 구간 그래프를 포함하는 그래프의 클래스인 원형 호 그래프를 형성합니다.사다리꼴 그래프(모든 평행 변이 동일한 두 평행 선 위에 있는 사다리꼴의 교차점)도 구간 그래프의 일반화입니다.

연결된 삼각형이 없는 구간 그래프는 정확히 캐터필러 ^[8]트리입니다.

적절한 간격 그래프

적절한 간격 그래프는 간격 표현이 있는 간격 그래프입니다.단위 간격 그래프는 각 간격에 단위 길이가 있는 간격 표현이 있는 간격 그래프입니다.반복 간격이 없는 단위 간격 표현은 반드시 적절한 간격 표현입니다.모든 적절한 간격 표현이 단위 간격 표현인 것은 아니지만 모든 적절한 간격 그래프는 단위 간격 그래프이며,^[9] 그 반대도 마찬가지입니다.모든 적절한 간격 그래프는 손톱이 없는 그래프입니다.반대로 적절한 간격 그래프는 손톱이 없는 간격 그래프입니다.그러나 구간 ^[10]그래프가 아닌 손톱이 없는 그래프가 있습니다.

인터벌 그래프는q\ $displaystyle$ q보다 $q$ $많은$ 인터벌을 포함하지 않는 표현이 있는 경우 q\ $displaystyle$ $q$ 라고 $q$ 불립니다.이 개념은 0-적절한 간격 그래프가 적절한 간격 ^[11]그래프가 되도록 적절한 간격 그래프에 대한 개념을 확장합니다.구간 그래프는 p $\displaystyle$ p보다 $p$ $큰$ 구간이 없는 경우 $p$ p\displaystylep라고 $합니다$ .이 개념은 적절한 간격 그래프에 대한 개념을 확장하여 0-오퍼 간격 그래프가 적절한 간격 ^[12]그래프가 되도록 합니다.간격 그래프는 길이 $k+1$ + $(표시$ 스타일 k $+$ 1)의 $k+1$ 체인이 서로 중첩되지 않은 경우k(\ $displaystyle$ k $)$ $k$ 가 $k$ 됩니다.이것은 1개의 내포 구간 그래프가 정확히 적절한 ^[13]구간 그래프이기 때문에 적절한 구간 그래프를 일반화한 것입니다.

적용들

구간 그래프의 수학적 이론은 피터 C와 같은 젊은 연구자들을 포함한 랜드사의 수학 부서의 연구자들에 의해 응용에 대한 관점으로 개발되었다. Fishburn과 학생들은 Alan C를 좋아한다. 터커와 조엘 E. 코헨은 델버트 풀커슨이나 (재방문객) 빅터 ^[14]클리와 같은 리더 외에 다른 리더도 있습니다.코헨은 개체군 생물학의 수학적 모델, 특히 ^[15]먹이망에 구간 그래프를 적용했다.

간격 그래프는 운영 조사 및 스케줄링 이론에서 자원 할당 문제를 나타내기 위해 사용됩니다.이러한 응용 프로그램에서 각 간격은 특정 기간 동안 자원(분산 컴퓨팅 시스템의 처리 장치나 강의실 등)에 대한 요구를 나타냅니다.그래프에 대한 최대 가중치 독립 집합 문제는 ^[16]충돌 없이 충족할 수 있는 요청의 최상의 하위 집합을 찾는 문제를 나타냅니다.자세한 내용은 간격 예약을 참조하십시오.

간격 그래프의 최적 그래프 색칠은 가능한 한 적은 리소스로 모든 요구를 커버하는 자원의 할당을 나타냅니다.이 색칠 알고리즘은 왼쪽 ^[17]끝점에 따라 정렬된 순서대로 간격을 색칠하는 탐욕스러운 색칠 알고리즘을 통해 다항식 시간에 찾을 수 있습니다.

다른 응용 분야로는 유전학, 생물정보학, 컴퓨터 과학 등이 있다.구간 그래프를 나타내는 일련의 구간을 찾는 것은 DNA ^[18]매핑에서 연속적인 연속을 조립하는 방법으로도 사용될 수 있습니다.구간 그래프는 또한 시간 ^[19]추론에 중요한 역할을 한다.

간격 완료 및 경로 폭

G $(\displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 임의의 그래프일 $경우$ $,$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 간격 완성은 G $(\displaystyle$ G $)$ 를 $G$ 서브그래프로 $G$ 하는 동일한 정점 집합상의 간격 그래프입니다.구간 완료의 매개변수화된 버전(k개의 추가 $가장자리$ 가 있는 구간 수퍼그래프 찾기)은 고정 매개변수 추적 가능하며, 매개변수화된 하위 지수 ^[20]^[21]시간에 해결 가능하다.

간격 그래프의 경로 폭은 최대 클리크 크기보다 1개 작거나 이에 상당하는 색수보다 작으며, $그래프$ G의 경로 $폭$ 은 ^[22]서브그래프로G {\displaystyle $G}$ 를 $G$ $G$ $G$ 하는 간격 그래프의 최소 경로 폭과 동일합니다.

메모들

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외부 링크

"interval graph", Information System on Graph Classes and their Inclusions
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