삼각 자유 그래프

그래프 이론의 수학 영역에서, 삼각형이 없는 그래프는 세 개의 정점이 가장자리의 삼각형을 형성하지 않는 방향 없는 그래프다.삼각형이 없는 그래프는 클릭 번호 ≤ 2를 가진 그래프, 둘레 ≥ 4를 가진 그래프, 유도 3 사이클이 없는 그래프 또는 국지적으로 독립적인 그래프로 동등하게 정의될 수 있다.

투란의 정리로는 최대 에지 수가 있는 n-베르텍스 삼각 프리 그래프가 완전한 초당적 그래프인데, 이 그래프에서 양분간의 각 면의 정점 수는 가능한 한 동일하다.

삼각형 찾기 문제

삼각형 발견 문제는 그래프가 삼각형이 없는지를 판단하는 문제다.그래프가 삼각형을 포함하는 경우, 알고리즘은 그래프에서 삼각형을 형성하는 정점 세 개를 출력하기 위해 종종 필요하다.

시간 O(m^1.41)에서 m 가장자리가 있는 그래프가 삼각형이 없는지 여부를 테스트할 수 있다.^[1]또 다른 접근법은 A의³ 흔적을 찾는 것인데, 여기서 A는 그래프의 인접 행렬이다.그래프가 삼각형이 없는 경우에만 추적이 0이다.고밀도 그래프의 경우 시간 복잡도를 O(n^2.373)로 낮추고 여기서 n은 정점수이기 때문에 행렬 곱셈에 의존하는 이 간단한 알고리즘을 사용하는 것이 더 효율적이다.

Imrich, Klav &ar & Mulder(1999)가 보여주었듯이, 삼각형 없는 그래프 인식은 중앙 그래프 인식과 복잡성이 동일하지만, 현재 중앙 그래프 인식에 대한 최고의 알고리즘은 삼각형 탐지를 그 반대보다는 서브루틴으로 사용한다.

그래프의 인접 행렬을 저장하는 오라클에 대한 쿼리가 있는 문제의 의사결정 트리 복잡성 또는 쿼리 복잡성은 θ(n²)이다.단, 양자 알고리즘의 경우 가장 잘 알려진 하한은 Ω(n)이지만 가장 잘 알려진 알고리즘은 O(n^5/4)이다.^[2]

독립수와 램지 이론

n-vertex 삼각형이 없는 그래프의 독립된 vertn 정점 집합은 찾기 쉽다: √n 이웃을 초과하는 정점이 있거나(이 이웃이 독립된 집합인 경우), 모든 정점이 √n 이웃(이 경우 최대 독립 집합은 최소한 √n 정점 이상을 가져야 한다).^[3]이 경계는 약간 조일 수 있다: 모든 삼각형이 없는 그래프에는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}(n\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\log }}$ $){\displaystyle \Oomega({\sqrt{n\$$logn$$}})$ 정점$$ 집합이 존재하며, 일부 삼각형이 없는 그래프에는 모든 $독립$된 $집합$에는 O${\displaystyle (\sqrt{n}}$ log $){\sqrt{n\}$정점이$$ 있다.^[4]모든 독립된 세트가 작은 삼각형이 없는 그래프를 만드는 한 가지 방법은 삼각형이 완성되지 않는 임의로 선택한 가장자리를 반복해서 추가함으로써 최대 삼각형이 없는 그래프를 생성하는 삼각형이 없는 공정이다^[5].높은 확률로 이 프로세스는 독립성 번호 $O{\displaystyle (n\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\log }}$ ${\displaystyle \sqrt{n}}$ $){\displaystyle$ O$({\sqrt{n\logn})$를 가진 그래프를 생성한다$.$또한 동일한 속성을 가진 일반 그래프를 찾을 수도 있다.^[6]

These results may also be interpreted as giving asymptotic bounds on the Ramsey numbers R(3,t) of the form ${\displaystyle \Theta ({\tfrac {t^{2}}{\log t}})}$: if the edges of a complete graph on ${\displaystyle \Omega ({\tfrac {t^{2}}{\log t}})}$ vertices are colored red and b루, 그러면 빨간색 그래프에 삼각형이 포함되거나 삼각형이 없는 경우 파란색 그래프에서 동일한 크기의 집단에 해당하는 독립된 크기 t 세트가 있어야 한다.

삼각형이 없는 그래프 색칠

삼각형이 없는 그래프에 대한 많은 연구는 그래프 색소에 초점을 맞추고 있다.모든 초당적 그래프(즉, 2색 그래프마다)는 삼각형이 없는 것으로, 그뢰츠슈의 정리에서는 모든 삼각형이 없는 평면 그래프는 3색일 수 있다고 기술하고 있다.^[7]그러나 평면 삼각형이 없는 그래프에는 세 가지 이상의 색상이 필요할 수 있다.

임의로 높은 색수를 가진 삼각 자유 그래프를 처음 만든 것은 투테(블랑쉬 데카르트^[8] 작문) 때문이다.이 구조는 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $G_{1$}라고 하는 단일 꼭지점으로 그래프에서 시작하여$$ $다음$과 같이$$ G ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ $G_{k}$에서 유도적으로 $구성$된 G ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $G_$${$$k$$}}}$에 정점이$$ $생기게$ 한 $다음{\displaystyle {}_{}}$$,$ $설정$된 $Y$를 취한다$.$$k{\displaystyle (}$$n$ - 1 )의${\displaystyle \mathrm{스타일}}$ $Y}$ ${\displaystyle +}$ 1 ${\displaystyle k(n-1)+1}$꼭지점과$$ n $크기$ n ${\displaystyle$Y}의 각 부분 $집합{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X}에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle k_{}}${\$displaystystyle$G_{$k}$의 분리 사본을 추가하고$$$$ 일치 항목과$$ $함께{\displaystyle }$ X ${\displaystypatchstypatchsty$ X$}$에 결합한다.우리가 k 색상만 사용할 수 있는 경우 적어도 $하나$의 세트$$X {\$displaystyle$ X$}$이(가) 단색화되어야 하기$$ 때문에, 비둘기 구멍 원리에서 G ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$+ 1 ${\$}은$($는) $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ 색상이$$ 아니라는$$ 것을 유도적으로 따른다.미셀스키(1955)는 삼각형이 없는 다른 그래프에서 새로운 삼각형이 없는 그래프를 만들기 위해 현재 미셀스키안이라고 불리는 구조를 정의했다.그래프에 색수 k가 있는 경우, Micielskian은 색수 k + 1을 가지므로, 이 구성을 사용하여 비 평면 삼각형 없는 그래프를 색칠하는 데 임의로 많은 색상이 필요할 수 있음을 나타낼 수 있다.특히 그뢰츠슈 그래프(Grözsch graph)는 마이켈스키의 구조를 반복적으로 적용하여 형성된 11베르텍스 그래프로서, 4색 이하로 채색할 수 없는 삼각 프리 그래프로서, 이 속성을 가진 그래프 중 가장 작다.^[9]김벨&토마센(2000년)과 닐리(2000년)는 어떤 m-엣지 삼각형이 없는 그래프를 색칠하는 데 필요한 색의 수가 다음과 같은 것으로 나타났다.

${\displaystyle O\left({\frac {m^{1/3}}{(\log m)^{2/3}}\오른쪽)}$

그리고 이 경계와 비례하는 색수를 갖는 삼각 자유 그래프가 존재한다는 것이다.

또한 삼각형이 없는 그래프에서 최소한의 도에 대한 색상과 관련된 몇 가지 결과가 있었다.안드라스파이, 에르드스 & 소스(1974)는 각 정점에 2n/5 이상의 이웃이 있는 n-베르텍스 삼각형이 없는 그래프는 반드시 초당적이어야 한다는 것을 증명했다.5사이클은 3가지 색상이 필요하지만 꼭지점당 정확히 2n/5개의 인접성이 있기 때문에 이러한 유형의 가장 좋은 결과물이다.이 결과에 무장 Erdős &, Simonovits(1973년) 것으로 추측할 가능성이 없는n-vertextriangle-free 그래프에서 각 꼭지점이 적어도n/3 이웃이 될 수 있게 물든과 세가지 색상만. 하지만 Häggkvist(1981년)이 잘못되었음을 증명했다 이 추측에 의해 사랑을 찾는데 어려움을 반증에 각 꼭지점의 Grötzsch 그래프는 교체에 의해 독자적인 집합입니다. 의엄선된 사이즈진(1995)은 각 꼭지점에 10n/29개 이상의 이웃이 있는 n-베르텍스 삼각형이 없는 그래프는 3색이어야 한다는 것을 보여주었다. 이는 헤그크비스트의 그래프에 4가지 색상이 필요하고 정점당 정확히 10n/29개의 이웃이 있기 때문에 이러한 유형의 가장 좋은 결과였다.마지막으로, Brandt & Thomasé(2006)는 각 꼭지점에 n/3 이상의 이웃이 있는 n-vertex 삼각형이 없는 그래프는 반드시 4색이어야 한다는 것을 증명했다.하지날은^[10] 임의로 큰 색도와 최소도(1/3 - ε)n을 가진 삼각 자유 그래프의 예를 free > 0에 대해 찾아냈기 때문에 이러한 유형의 추가 결과는 가능하지 않다.

참고 항목

• 안드라스파이 그래프(Andrasfai graph)는 직경 2의 삼각형이 없는 순환 그래프 계열이다.
• 헨슨 그래프(Henson graph)는 유도 하위 그래프로서 모든 유한한 삼각형이 없는 그래프를 포함하는 무한 삼각형이 없는 그래프다.
• 임의로 높은 색수를 갖는 삼각 자유 그래프 계열인 Shift graph
• Kneser 그래프 $K{\displaystyle }$ G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$k ${\$은 삼각형이$$ 없고 $색수{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$+ ${\displaystyle k+$1}을$($를) 가지고 있다.
• 단색 삼각형 문제, 주어진 그래프의 가장자리를 삼각형이 없는 두 개의 그래프로 분할하는 문제
• 모든 모서리가 정확히 하나의 삼각형에 속하는 그래프에서 루자-제메레디 문제

참조

메모들

원천

외부 링크

• "Graphclass: triangle-free", Information System on Graph Classes and their Inclusions