규칙성 구조

마틴 하이러의 규칙성 구조 이론은 양자장 이론에서 발생하는 많은 종류의 미임계 포물선 확률론 부분 미분 방정식을 연구하기 위한 틀을 제공한다.^[1]이 프레임워크는 Kardar-Parisi-Zang 방정식, $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 방정식과$$ 포물선 Anderson 모델을 포함하며, 이 모든 것은 용액에 대한 명확한 개념을 가지기 위해 재문명화가 필요하다.

하이레르는 규칙성 구조를 도입한 공로로 2021년 수학 부문 돌파상을 수상했다.^[2]

정의

정규성 구조는 다음과 같이 구성된$$ $트리플{\displaystyle \mathcal{}T}$= ${\displaystyle (}$A ,${\displaystyle T}$ ,$$G ){\$displaystyle$ {\$mathcal{T}=(A,T,$G)}이다.

• $아래$에서 경계되고 누적 지점이 없는 R${\$displaystyle$\mathb {R}$의 하위 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}($인덱스 집합)
• 모델 공간: 등급 벡터 $공간{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{\alpha }}$ α ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $displaystyle$ T$=\oplus _{\alpha$ 여기서 각 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은 Banach 공간이며,
• 그 구조 그룹:지속적인 선형 사업자들의 그룹 G{G\displaystyle}:T→ T과 각 α에}한{\displaystyle \alpha \in}과 각 τ ∈ Tα{\displaystyle \tau \in T_{\alpha}∈, 우리는 τ(Γ − 1)다∈⊕ β<>{\displaystyle \Gamma \colon T\to T}, α Tβ{\displaystyle(\Gamma))Γ.\ta$u \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta$

A further key notion in the theory of regularity structures is that of a model for a regularity structure, which is a concrete way of associating to any ${\displaystyle \tau \in T}$ and ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ a "Taylor polynomial" based at ${\displaystyle x_{0}}$ and represent$▼$ {\$displaystyle \tau }$의 $ed$는 일부 일관성 요건에 따라 결정된다$.$보다 정확히 말하면, R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R}^{d}$에 있는 $T{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G)}$ ${\daystyle {\mathcal}=(A,T, G)$에 대한 $모델$은 d${\displaystyle 1}$ 1$${\$displaysty d\geq$ 1$}$과 함께 2개의 맵으로 구성되어 있다$$.

${\displaystyle \mathrm{\pi }}$: ${\displaystyle {}^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$→ L ${\displaystyle \mathrm{in}}$(${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$; S ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$) ${\daystyle \Pi \colon$ \colon $\mathb {R}$^{$d}\mathrman$ {$Lin}(T;$ {\$mathcal$ {S$})(\mathb$ {R$} ^{d$ ,

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ G ${\displaystyle \Gamma \colon \mathb {R}$^{$d}\time \mathb {R} ^{d$}\to $G}$.

Thus, ${\displaystyle \Pi }$ assigns to each point ${\displaystyle x}$ a linear map ${\displaystyle \Pi _{x}}$, which is a linear map from ${\displaystyle T}$ into the space of distributions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$; ${\displaystyle \Gamma }$ assigns to any two points ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$ 경계$$ 연산자 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ 이 연산자는 y {\displaystyle $y$$}$에 기반한 확장을 $x{\displaystyle }$ ${\displaysty$ x$}$에 기반한 확장으로 변환하는$$ 역할을 한다$.$이러한 지도 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi }$ 및$$ $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$은(는) 대수적 조건을 충족하기 위해 필요하다$$.

${\displaystyle {\mathrm{\gamma }}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$= ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ x ${\displaystyle z_{}}$ ${\$

${\displaystyle {\mathrm{\pi }}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ x y${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$

r> $displaystyle r} \inf$ A $모든{\displaystyle }$ 콤팩트 세트 K ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 그리고 > ${\displaysty$ $\$$gamma$>$0}$이 한계와 같은 상수 > 이 존재하는 분석 조건이다

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}}$ c ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\displaystyle {\Vert }^{}}$ τ τ ${\displaystyle \alpha }$ α α α α α ${\displaystyle {\alpha {}_{}}_{}}$ ${$ T${\displaystyle {}_{{\alpha }_{}}}$ {\$displaystyle (\Pi$ _${x}\lambda ^{x}^ \leq C\lambda ^{ \ta$ }}}\{{{{ $\tau \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$$tau$ }}}

${\displaystyle \ \Gamma _{xy}\tau \ _{T_{\beta }}\leq C x-y ^{\alpha -\beta }\ \tau \ _{T_{\alpha }}}$,

hold uniformly for all ${\displaystyle r}$-times continuously differentiable test functions ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ with unit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ norm, supported in the unit ball about the origin in ${\displaystyle \mathbb {$R}^{d}}, 모든 점에 대해 x, y∈ K{\displaystyle x,y\in K}, 모든 0개체, λ ≤ 1{0<, \lambda 1\leq\displaystyle}, 그리고β<>로 모든 τ ∈ Tα{\displaystyle \tau \in T_{\alpha}};α ≤γ{\displaystyle \beta<>\alpha\leq \gamma}. 여기 φ)λ:Rd→ R{\displaystyle \varphi_{)}^{\lambda. }\colon \mat$hbb {R} ^{d}\to \mathb {R}$}은(는) 다음에 의해$$ $제공$된 and {\$displaystyle \varphi }$의 이동 및 확장 버전을 가리킨다$$.

${\displaystyle {\phi }_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (y\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$x}^{\$lambda }(y)=\lambda$^{-d}\$varphi \lefrac \y-x}{\\da$ $\}\}\}\}\}.$

참조

이 수학적 분석 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

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