대수적 표현

추상대수학에서 연상대수의 표현은 그 대수학을 위한 모듈이다.여기서 연상 대수학은 (꼭 단핵이 아닌) 고리다.대수학이 일변도가 아닌 경우 표준적인 방법으로 (부정형 펑커스 페이지 참조) 그렇게 할 수 있다. 식별이 ID 매핑에 의해 작용하는 결과 일변환에 대한 모듈 간에는 본질적인 차이가 없다.

예

선형복합구조

가장 간단한 비경쟁적인 예로는 선형 복합 구조로, 실제 숫자 R에 대한 연관 대수로서 생각되는 복잡한 숫자 C의 표현이다.이 대수학은 i² = -1에 해당하는$$ C${\displaystyle }$= R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathb {C} =\mathb {R}[x]/(x^{2}+1)$로 구체적으로 실현된다.Then a representation of C is a real vector space V, together with an action of C on V (a map ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathrm {End} (V)}$). Concretely, this is just an action of i , as this generates the algebra, and the operator representing i (the image of i in End(V)) is denoted J to avoid confusion with the id엔티티 매트릭스 I.

다항알헤브라스

또 다른 중요한 기본 등급의 예로는 다항식 알헤브라의 표현, 즉 자유 정류 알헤브라의 표현 등이 있다 - 이것들은 역학 대수학의 중심 연구 대상과 그것의 기하학적 상대인 대수 기하학이다.A representation of a polynomial algebra in k variables over the field K is concretely a K-vector space with k commuting operators, and is often denoted ${\displaystyle K[T_{1},\dots ,T_{k}],}$ meaning the representation of the abstract algebra ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{k$$}]}$ 여기서$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto T_{i}.$$}$

그러한 표현에 대한 기본적인 결과는 대수적으로 닫힌 영역에 걸쳐 표현 행렬이 동시에 삼각형일 수 있다는 것이다.

단일한 변수의 다항 대수 표현 사례도 관심사인데, 이는 $K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[T]}$에 의해 표시되며 유한 차원$$ 벡터 공간에서 단일 선형 연산자의 구조를 이해하는 데 사용된다.구체적으로, 이 대수학에서 주 이상영역 위에 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리를 적용하면 요르단 표준 형식과 같은 다양한 표준 형태의 행렬을 산술적으로 산출한다.

비고정 기하학에 대한 일부 접근법에서는 자유 비고정 대수(비고정 변수의 다항식)가 유사한 역할을 하지만 분석은 훨씬 더 어렵다.

역기

고유값과 고유 벡터는 대수표현에 일반화할 수 있다.

대수표현의 고유값의 일반화는, 단일 스칼라보다는, $1차원{\displaystyle }$ 표현${\displaystyle \to }$ : ${\displaystyle A}$ $→$ {\$displaystyle$ \$lambda \colon A\to$ $$R}(즉, 대수에서 그 기본 링까지의 대수 동형상: 또한 곱셈적인 기능)이다.^{[note 1]}이것을 무게라고 하며, 고유벡터와 아이겐스페이스의 아날로그를 무게 벡터와 무게 공간이라고 한다.

단일 연산자의 고유값의 경우는 $대수{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle R[T],}$에 해당하며$$, 알헤브라스 $R{\displaystyle }$[ ${\displaystyle T]}$ → ${\displaystyle R}${\$displaystyle R[T]\to$ R$}$의 지도는 발전기 T를 어느 스칼라에 매핑하는지에 의해 결정된다$$.대수표현을 위한 중량 벡터는 대수표의 어떤 요소도 이 벡터를 자기 자신의 배수인 1차원 서브모듈(하위표현)에 매핑하는 벡터다.$페어링{\displaystyle A}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ → M ${\displaystyle$A\$time M}$이(가) 이선형이기 때문에 "which multiple"은 A(대수지도 A → R)의 A-선형 함수, 즉 중량이다.In symbols, a weight vector is a vector ${\displaystyle m\in M}$ such that ${\displaystyle am=\lambda (a)m}$ for all elements ${\displaystyle a\in A,}$ for some linear functional ${\displaystyle \lambda }$ – note that on the left, multiplication is the algebra action, while on the right, mult곱셈은 곱셈이다.

가중치는 정류 링에 대한 지도이므로 대수 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 아벨리아화($$abelianization)를 통한 지도 인자는 동등하게 행렬의 측면에서 파생된 대수에서 사라진다. v ${\displaystyle v}$가 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytytyty T}$ 및 $U$ ${\displaystystystytheeter$의 공통 고유 벡터인 경우$U$ 다음 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle v}$= U ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle TUV=$$Utv}($두 경우 모두 스칼라에 의한 곱셈일 뿐이기 때문에), 따라서 대수학의 공통 고유 벡터는 대수학이 역행하는 집합에 있어야 한다(이것은 파생된 대수학에 의해 소멸된다).따라서 중심적인 관심사는 자유상호 알헤브라스, 즉 다항 알헤브라스다.In this particularly simple and important case of the polynomial algebra ${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$ in a set of commuting matrices, a weight vector of this algebra is a simultaneous eigenvector of the matrices, while a weight of this algebra is simply a ${\displaystyle k}$-tuple of $scars{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = (${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle }$, … , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) {\$displaystyle \dada =(\dada _{$1}, $dada _da }})$ 각 행렬의 고유값에 해당하며$$, 따라서 기하학적으로 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ -space의$$ 한 점에 해당된다.이러한 가중치(특히 그 기하학)는 리 알헤브라의 표현 이론, 특히 반시 구현 리 알헤브라의 유한 치수 표현을 이해하는 데 중심적인 중요성을 갖는다.

이 기하학의 적용으로서, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 생성기에$$ 대한 다항식 대수 인수를 고려할 때, 그것은 기하학적으로 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 차원$$ 공간의 대수적 다양성에 해당하며, 무게는 그 다양성에 대한 정의 방정식을 만족해야 한다.이는 고유값이 한 변수에서 행렬의 특성 다항식을 만족한다는 사실을 일반화한다.

참고 항목

• 표현 이론
• 인터트위너
• 홉프알제브라의 표현 이론
• 리 대수 표현
• 슈르의 보조정리
• 제이콥슨 밀도 정리
• 이중 정류 정리

메모들

참조