이중 중앙집중기 정리

링 이론이라 불리는 추상 대수학의 가지에서 이중 중앙집중기 정리는 몇 가지 유사한 결과들 중 어느 하나라도 참조할 수 있다.이러한 결과는 이 글에서_R C(S)로 표시된 링 R의 서브링 S의 중앙집중기와 관련이 있다.C_R(C_R(S)가 S를 포함하는 경우는 항상 있으며, 이중 중앙집중제 정리는 R과 S에 대한 조건을_R 제시하여_R C(C)가 S와 동일하다는 것을 보장한다.

정리문

동기

R의 서브링 S의 중앙집중기는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {C} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=sr{\text{{}}모든 }s\in S\}.}$

C_R(C_R(S)) ⊇ S는 분명하지만, 두 세트가 같다고 말할 수 있는 경우가 항상 있는 것은 아니다.이중 중앙집권자의 이론은 평등이 일어난다고 결론을 내릴 수 있는 조건을 제시한다.

또 다른 특별한 관심사례가 있다.M을 오른쪽 R 모듈이 되게 하고 M에게 자연적인 왼쪽 E-모듈 구조를 주고, 여기서 E는 아벨 그룹 M의 내형성 고리인 End(M)이다.m_r(x) = xr로 주어진 모든 지도 m은_r M의 가법적 내형성, 즉 E의 요소를 생성한다.지도 r → m은_r R이 링 E에 들어가는 고리 동형이며, 우리는 R에_M 의해 E의 내부에 있는 R의 이미지를 나타낸다.이 표준지도의 커널이 전멸자 앤(M_R)임을 확인할 수 있다.따라서, 고리에 대한 이형성 정리에 의해, R은_M 지수 고리 R/Ann(M_R)에 이형성이 된다.분명히 M이 충실한 모듈일 때, R과 R은_M 이형성 링이다.

그래서 지금 E는 R을_M 서브링으로 하는 링이고, C_E(R_M)가 형성될 수도 있다.정의상 C_E(R_M) = End(M_R)의 R 모듈 내형성인 M의 링을 확인할 수 있다.따라서 C_E(C_E(R_M) = R_M)이 일어난다면 이것은_E C(End(M_R) = R_M)이라고 말하는 것과 같은 것이다.

중앙단순알헤브라스

아마도 가장 일반적인 버전은 (Knapp 2007, 페이지.115)에 나타나는 중앙 단순 알헤브라의 버전일 것이다.

정리:A가 필드 F에 대한 유한 차원 중앙 단순 대수이고 B가 A의 단순한 하위 대수라면 C_A(C_A(B) = B이며, 더욱이 치수는 충족된다.

${\displaystyle \mathrm {dim} _{F}(B)\cdot \mathrm {dim} _{F}(\mathrm {C} _{A}(B))=\mathrm {dim} _{F}(A).\,}$

아르티니아 반지

아르티니아 링(한정차원 알헤브라를 포함)에 대한 다음과 같은 일반화된 버전이 (Isaacs 2009, 페이지 187)에 나타난다.간단한 R모듈_R U를 고려하여, 우리는 R과_U E=End(U)를 포함한 위의 동기부여 부분에서 표기법을 차용할 것이다.또한, 우리는 R-호모형으로 구성된 E의 서브링에 대해 D=End(U_R)라고 쓸 것이다.슈르의 보조정리법으로 D는 디비전 링이다.

정리:R은 단순한 오른쪽 모듈 U가_R 있는 오른쪽 아르티니아 링이 되고, 앞 단락과 같이 R_U, D, E가 주어지도록 하자.그러면

${\displaystyle R_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ E${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$) ${\$.

언급

• 이 버전에서 고리는 제이콥슨 밀도 정리를 증명할 목적으로 선택된다.중앙 단순 대수 버전과는 대조적으로 특정 서브링이 중앙집중기 속성을 가지고 있다는 결론을 내릴 뿐이라는 점에 유의하십시오.
• 알헤브라는 보통 서로 다른 링 위에 정의되어 있고, 위의 모든 관련 링은 비확정적일 수 있기 때문에, 알헤브라가 반드시 연관되어 있지는 않다는 것은 분명하다.
• 만약 U가 추가로 충실한 모듈이기 때문에 R이 오른쪽 원시 고리라면, R은_U R에 대해 이형화된 링이다.

다항식 아이덴티티 링

(Rowen 1980, 페이지 154)에서는 다항식 아이덴티티 링에 대한 버전이 주어진다.기호 Z(R)는 R의 중심을 나타내기 위해 사용될 것이다.

정리:R이 단순한 다항식 아이덴티티 링이고 A가 R의 단순한 Z(R) 하위격자라면 C_R(C_R(A) = A.

언급

• 이 버전은 중앙 단순 대수 버전과 아르티니아 링 버전 사이에 있는 것으로 간주할 수 있다.단순한 다항식 아이덴티티 링은 아르티니아어지만,^[1] 아르티니아어 버전과 달리 결론은 여전히 R의 모든 중앙 단순 서브링들을 가리키기 때문이다.

폰 노이만 알헤브라스

Von Neumann bicommutant 정리에서는 Hilbert 공간 H에서 경계 연산자 B(H)의 대수 중 *-하위 연산자 A가 von Neumann 대수(즉, 약하게 닫힌 경우)라고 명시하고 있다(A = CC_B(H)B(H)(A)일 경우에만).

이중 중앙집중기 속성

모듈 M은 C_E(C_E(R_M) = R이면_M 더블 중앙집중기 속성을 가지거나 균형잡힌 모듈이라고 하는데 여기서 E = End(M)와 R은_M 동기부여 부분에 제시된 것과 같다.이 용어에서 Double Centralizer 정리의 Artinian 링 버전은 오른쪽 Artinian 링을 위한 단순한 오른쪽 모듈이 균형잡힌 모듈이라고 명시한다.

메모들

참조

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 1994년 원본 재인쇄
• Knapp, Anthony W. (2007), Advanced algebra, Cornerstones, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xxiv+730, ISBN 978-0-8176-4522-9, MR 2360434
• Rowen, Louis Halle (1980), Polynomial identities in ring theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 84, New York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], pp. xx+365, ISBN 0-12-599850-3, MR 0576061