이중 중앙집중기 정리

Double centralizer theorem

링 이론이라 불리는 추상 대수학의 가지에서 이중 중앙집중기 정리는 몇 가지 유사한 결과들 중 어느 하나라도 참조할 수 있다.이러한 결과는 이 에서R C(S)로 표시된 링 R의 서브링 S중앙집중기와 관련이 있다.CR(CR(S)가 S를 포함하는 경우는 항상 있으며, 이중 중앙집중제 정리는 RS에 대한 조건R 제시하여R C(C)가 S와 동일하다는 것을 보장한다.

정리문

동기

R의 서브링 S의 중앙집중기는 다음과 같이 주어진다.

CR(CR(S)) ⊇ S는 분명하지만, 두 세트가 같다고 말할 수 있는 경우가 항상 있는 것은 아니다.이중 중앙집권자의 이론은 평등이 일어난다고 결론을 내릴 수 있는 조건을 제시한다.

또 다른 특별한 관심사례가 있다.M을 오른쪽 R 모듈이 되게 하고 M에게 자연적인 왼쪽 E-모듈 구조를 주고, 여기서 E는 아벨 그룹 M의 내형성 고리인 End(M)이다.mr(x) = xr로 주어진 모든 지도 mr M의 가법적 내형성, 즉 E의 요소를 생성한다.지도 rmr R이 링 E에 들어가는 고리 동형이며, 우리는 RM 의해 E의 내부에 있는 R의 이미지를 나타낸다.이 표준지도의 커널전멸자 앤(MR)임을 확인할 수 있다.따라서, 고리에 대한 이형성 정리에 의해, RM 지수 고리 R/Ann(MR)에 이형성이 된다.분명히 M이 충실한 모듈일 때, RRM 이형성 링이다.

그래서 지금 ERM 서브링으로 하는 링이고, CE(RM)가 형성될 수도 있다.정의상 CE(RM) = End(MR)의 R 모듈 내형성인 M의 링을 확인할 수 있다.따라서 CE(CE(RM) = RM)이 일어난다면 이것E C(End(MR) = RM)이라고 말하는 것과 같은 것이다.

중앙단순알헤브라스

아마도 가장 일반적인 버전은 (Knapp 2007, 페이지.115)에 나타나는 중앙 단순 알헤브라의 버전일 것이다.

정리:A가 필드 F에 대한 유한 차원 중앙 단순 대수이고 BA의 단순한 하위 대수라면 CA(CA(B) = B이며, 더욱이 치수는 충족된다.

아르티니아 반지

아르티니아 링(한정차원 알헤브라를 포함)에 대한 다음과 같은 일반화된 버전이 (Isaacs 2009, 페이지 187)에 나타난다.간단한 R모듈R U를 고려하여, 우리는 RU E=End(U)를 포함한 위의 동기부여 부분에서 표기법을 차용할 것이다.또한, 우리는 R-호모형으로 구성된 E의 서브링에 대해 D=End(UR)라고 쓸 것이다.슈르의 보조정리법으로 D디비전 링이다.

정리:R은 단순한 오른쪽 모듈 UR 있는 오른쪽 아르티니아 링이 되고, 앞 단락과 같이 RU, D, E가 주어지도록 하자.그러면

U= E( ( R )) .
언급
  • 이 버전에서 고리는 제이콥슨 밀도 정리를 증명할 목적으로 선택된다.중앙 단순 대수 버전과는 대조적으로 특정 서브링이 중앙집중기 속성을 가지고 있다는 결론을 내릴 뿐이라는 점에 유의하십시오.
  • 알헤브라는 보통 서로 다른 링 위에 정의되어 있고, 위의 모든 관련 링은 비확정적일 수 있기 때문에, 알헤브라가 반드시 연관되어 있지는 않다는 것은 분명하다.
  • 만약 U가 추가로 충실한 모듈이기 때문에 R이 오른쪽 원시 고리라면, RU R에 대해 이형화된 링이다.

다항식 아이덴티티 링

(Rowen 1980, 페이지 154)에서는 다항식 아이덴티티 링에 대한 버전이 주어진다.기호 Z(R)는 R중심을 나타내기 위해 사용될 것이다.

정리:R단순한 다항식 아이덴티티 링이고 AR의 단순한 Z(R) 하위격자라면 CR(CR(A) = A.

언급
  • 이 버전은 중앙 단순 대수 버전과 아르티니아 링 버전 사이에 있는 것으로 간주할 수 있다.단순한 다항식 아이덴티티 링은 아르티니아어지만,[1] 아르티니아어 버전과 달리 결론은 여전히 R의 모든 중앙 단순 서브링들을 가리키기 때문이다.

폰 노이만 알헤브라스

Von Neumann bicommutant 정리에서는 Hilbert 공간 H에서 경계 연산자 B(H)의 대수 중 *-하위 연산자 Avon Neumann 대수(즉, 약하게 닫힌 경우)라고 명시하고 있다(A = CCB(H)B(H)(A)일 경우에만).

이중 중앙집중기 속성

모듈 MCE(CE(RM) = R이면M 더블 중앙집중기 속성을 가지거나 균형잡힌 모듈이라고 하는데 여기서 E = End(M)와 RM 동기부여 부분에 제시된 것과 같다.이 용어에서 Double Centralizer 정리의 Artinian 링 버전은 오른쪽 Artinian 링을 위한 단순한 오른쪽 모듈이 균형잡힌 모듈이라고 명시한다.

메모들

  1. ^ 로웬(1980, 페이지 151)에 따르면, 그것들은 다항식 신분분할 링 위에 있는 완전한 행렬 고리라고 한다.

참조

  • Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 1994년 원본 재인쇄
  • Knapp, Anthony W. (2007), Advanced algebra, Cornerstones, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xxiv+730, ISBN 978-0-8176-4522-9, MR 2360434
  • Rowen, Louis Halle (1980), Polynomial identities in ring theory, Pure and Applied Mathematics, vol. 84, New York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], pp. xx+365, ISBN 0-12-599850-3, MR 0576061