잔차(숫자 분석)

대략적으로 말해서, 잔여물은 결과의 오류다.^[1] 정확히 말하자면, 우리가 그런 x를 찾기를 원한다고 가정하자.

${\displaystyle f(x)=b.\,}$

x의 근사치 x가₀ 주어진 경우 잔차는

${\displaystyle b-f(x_{0})\,}$

즉, f(x₀)를 뺀 후 "오른손의 왼쪽에 있는 것" (thus, "residual"의 이름: 왼쪽, 나머지)이다. 반면 오류는 다음과 같다.

${\displaystyle x-x_{0}\,}$

x의 정확한 값을 알 수 없는 경우 잔차를 계산할 수 있지만 오차는 계산할 수 없다.

함수의 근사치 잔차

미분, 적분 및 기능 방정식을 다루는 유사한 용어를 사용한다. 방정식의 솔루션$$ ${\displaystyle f}$ ${\$${\rm {a$$}~}$의 근사 f에 ${\displaystyle 대해{}_{}}$

${\displaystyle T}$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T(f)(x)=g(x)},$

잔차가 함수가 될 수 있다.

${\displaystyle ~g(x)~~T(f_{\rm {a})(x)}$

또는 이 차이의 표준의 최대치라고 말할 수 있다.

${\displaystyle \max_{x\in {\mathcal {X}g(x)-T(f_{\rm{a})(x) }$

$도메인{\displaystyle \mathcal{}}$$$ X ${\$을(를) 통해$,$ 여기서 ${\displaystyle 함수{}_{}}$ ${\displaystyle f}$는${\displaystyle {}_{}}$${\$${\rm {a$$}}$과$($와) 비슷하거나 차이 함수의 일부 통합(예:::

${\displaystyle ~\int_{\mathcal {X}g(x)-T(f_{\rm{a})(x) ^{2}~{\rm{d}x.}$

많은 경우 잔차가 작다는 것은 근사치가 용액에 가깝다는 것을 의미한다.

${\displaystyle ~\왼쪽 {\frac {f_{\rm {a}(x)-f(x)}{f(x)}}\오른쪽 \ll 1.~}$

이 경우 초기 방정식은 잘 표현된 것으로 간주되며, 잔차는 정확한 용액으로부터의 근사치의 편차 측정으로 간주할 수 있다.

잔차 사용

정확한 용액을 모르는 경우 잔차가 적은 근사치를 찾을 수 있다.

잔차를 체계적으로 최소화하여 방정식의 해결책을 모색하는 일반화된 최소 잔차법과 같은 반복적 해결사 등 수학의 많은 영역에 잔차가 나타난다.

참조