함수 방정식

수학에서 함수 방정식은 가장 넓은 의미에서 하나 또는 여러 개의 함수가 미지수로 나타나는 방정식이다.미분방정식과 적분방정식은 함수방정식입니다.그러나, 더 제한된 의미가 종종 사용되는데, 여기서 함수 방정식은 동일한 함수의 여러 값을 관련짓는 방정식이다.예를 들어, 로그 함수는 기본적으로 로그 함수 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$ 로그 ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle xy}$ ) $=$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) + ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle y}$) .$${ $displaystyle \log(xy$)=\$log(x)+\log(y)$로 특징지어집니다.$}$

미지의 함수의 영역이 자연수라고 가정할 경우, 일반적으로 함수는 수열로 간주되며, 이 경우 함수 방정식(좁은 의미에서의)을 반복관계라고 한다.따라서 함수 방정식이라는 용어는 주로 실함수와 복소함수에 사용된다.게다가 평활도 조건은 해법에 대해 종종 가정된다. 왜냐하면 그러한 조건이 없다면 대부분의 함수 방정식은 매우 불규칙한 해법을 가지고 있기 때문이다.예를 들어 감마 함수는 함수 $방정식{\displaystyle f(\mathrm{x}}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle =x}$ ${\displaystyle f(}$x$)$ {$displaystyle f(x$+1) $=$$figure(x$)} 및 $초기값{\displaystyle }$f(${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mathrm{=}}$ 1. {$displaystyle f(1)=$1$$$.}$ 이러한 조건을 만족시키는 함수는 많지만 감마 함수는 전체적으로 meromiform이라는 고유한 함수이다.x 실수와 양의 로그 볼록(Bohr-Mollerup 정리).

예

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• 반복 관계는 정수 또는 자연수에 대한 함수의 함수 방정식으로 볼 수 있으며, 항 지수 간의 차이는 시프트 연산자의 적용으로 볼 수 있습니다.예를 들어, 피보나치 ${\displaystyle {}_{}}$를 ${\displaystyle {정의}_{}}$하는 반복 ${\displaystyle {\mathrm{관계}}_{}}$ F ${\displaystyle n_{}}$ $=$ F n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ + F ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ - 2 $({ displaystyle F_${$n$$}$ =$F_${n-1$\}$ + F_{$n-2})$입니다. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle \mathrm{F}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ {$display$F_{0$$}$$$=$ $1{\displaystyle {}_{}}${$style F_1}$

• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle P}$ ) $=$ (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$ f$(x+P$)= $f(x$ (주기적 함수를 특징짓습니다)

• ${\displaystyle }$f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x ) $=$( -${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle$ f$(x$)=$f440x$짝수함수 특성) 및 $마찬가지$로${\displaystyle }$f ($)$ $=$ -${\displaystyle f}$( -${\displaystyle }$x ){ $displaystyle$ f$(x)=-f440x$홀수함수 특성)

• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x )$=$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle$ f$(f(x$)=$g(x$ 함수 g의 함수 제곱근을 특징짓습니다.

• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ ) $=$ (${\displaystyle x}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ $displaystyle$ f$(x+y$)=$f(x)+f(y)\!}$ (코치의 함수 방정식)는 선형 지도에 의해 충족됩니다.이 방정식은 선택 공리에 따라 다른 병리학적 비선형 해법을 가질 수 있으며, 실수에 대한 하멜 기준으로 그 존재를 증명할 수 있다.
• ${\displaystyle }$f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x +${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =f}$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$, \ $displaystyle$f ($x$ + y ) =$$f ($x$ )$f$ ( y ) ,$$\ ! } 。코시의 가법 함수 방정식처럼, 이것 역시 병리적이고 불연속적인 해를 가질 수 있다.
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$y ) $=$ (${\displaystyle x}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ $displaystyle$ f$(xy$)=$f(x)+f(y$ 모든 로그 함수 및 정수 인수에 의해 충족됩니다.
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$y ) $=$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ $displaystyle$ f$(xy$)=$f(x)f(y$ 모든 전원 함수 및 정수 인수에 의해 충족됩니다.
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =2}$ [ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle ]\{}$ $display$f ($x$ +$y$ ) +$f$ ( x - y ) =$2 [ f$ ( $x$) +$f$ ( y )$$] , \ ! $$} (방정식 또는 평행사변형 법칙)
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$+${\displaystyle y}$) /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$) /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ { $displaystyle$ f ( ( x +$y$ ) / 2$$= ($f$ ( $x$) +$f$ ($y$ ) ) / 2 ,$$\ ! $$} (Jensen의 함수 방정식)
• ${\displaystyle g}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$) +${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$[${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle g}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle ]\{}$ $displaystyle$g ($x$ +$y$ ) +$g$ ( x - y ) =$2 [ g$ ( $x ) g$ ( y )$$] , \ ! $$} (달랑베르의 함수 방정식)
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle h}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle =h}$ (${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }${$displaystyle$ f$(h(x$) =$h(x+1$) $\!}$ (아벨 $$방정식)
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle h}$(${\displaystyle x}$ )$=$ ${\displaystyle c}$f (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )\{}$ $displaystyle$ f$(h(x$)= $cf(x),\!}$ (슈뢰더 방정식).
• $=$$x$$^{c$},\!}(Bötcher의 방정식).
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle h}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$f ($h$ ( x ) =$h$' ($x$ )$f$ ( x ) , \ !$$} (줄리아의 방정식).
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$y ) $=$ ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle g_{}}$l (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle h_{}}$l (${\displaystyle y}$ ${\displaystyle )\{}$ $displaystyle$f ($xy$ )=\$sum g_{l}(x)h_{l}(y),\!}$ $$(Levi-Civita),
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =f}$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle g}$ (${\displaystyle y}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ )${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$f ($x$ + y ) $= f$ ($x$ ) g ($y$ ) +$f$ ($y$ )$g$ ( x ) , \ !$$} (가산식 및 쌍곡선 사인 가산식),
• ${\displaystyle g}$(${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =g}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$f ( x )${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$g ($x$ + y ) $= g$ ($x$ )$g$ ( x ) - f ( $y ) f$ ( x ) , \ !$$} （ cosine additional ） 、
• ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x}$ +${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =g}$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g}$(${\displaystyle y}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$ )${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$g ($x$ + y ) $= g$ ($x$ )$g$ ($x$ ) +$f$ ($y$ )$f$ ( x ) ,$$\ ! $$} (코사인 가산식)
• 가환법칙과 결합법칙은 함수 방정식이다.그 익숙한 형태에서, 결합 법칙은 2진법 연산을 infix 표기법으로 써서 표현된다.
  $${\displaystyle (a\display b)\display c=a\display c(b\display c)~,}$$

  
  그러나 a ○ b 대신 f(a, b)로 쓰면 연관법칙은 일반적인 함수 방정식에 가깝다.
  $$(\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$$

  

• 함수 방정식
  $${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \leftflac\frac {pi s}{2}}\오른쪽)\Gamma(1-s)f(1-s)}$$

  
  는 리만 제타 ^{[citation needed]}함수에 의해 충족됩니다.대문자 δ는 감마 함수를 나타낸다.

• 감마 함수는 다음과 같은 세 ^{[citation needed]}가지 방정식의 고유한 해이다.
  • $\displaystyle f(x)={f(x+1)\over x}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)=parc frac {2^{2y-1}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f}$(${\displaystyle z}$ )${\displaystyle f}$ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{(}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{z}{}}$ z$$)${\displaystyle \frac{}{}}${ $displaystyle$f ($z$ )$f$ ( 1 - z ) =$sin$pi \$over$\ sin ( \ $pi$z )$$} (Uler의 반사식)
• 함수 방정식
  $${\displaystyle f\left cz+d}\right}=(cz+d)^{k}f(z)}$$

  
  여기서 a, b, c, d는 ${\displaystyle d}$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle ad$ - bc $=$$1$을 $만족$하는 정수, d{$displaystyle$ { $vmatrix }a&b\c&d$ {vmatrix$}$ = 1이며 f는 모듈러 형식의 k 순서이다.

위의^{[clarification needed]} 모든 예에서 공통되는 한 가지 특징은 두 개 이상의 알려진 함수(때로는 상수에 의한 곱셈, 때로는 두 변수의 추가, 때로는 항등함수)가 풀어야 하는 ^{[citation needed]}미지의 함수의 인수 안에 있다는 것입니다.

모든 해법을 묻는 경우, 수학 분석의 조건을 적용해야 할 경우가 있습니다. 예를 들어, 위에서 언급한 코시 방정식의 경우, 연속 함수인 해법은 '합리적인' 해법이며, 실제 적용 가능성이 없는 다른 해법은 구성할 수 있습니다.(실수에 대한 하멜 베이스를 유리수에 대한 벡터 공간으로 사용).Bohr-Mollerup 정리는 또 다른 잘 알려진 예이다.

인볼루션

인볼루션은 함수 $방정식{\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$=$ {\$displaystyle$ f$(f(x$)=$x$에 의해 특징지어진다. 이것들은 배비지의 함수 방정식(f(^[3]x))에 나타난다.

${\displaystyle f(f(x)=1-(1-x)=x,}$

기타 인볼루션 및 방정식의 해법은 다음과 같습니다.

• ${\displaystyle f(x)=a-x,}$
• ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$x$$, \ $display$ f$(x$ ) =$specfrac {a}$ {$x}$ , , , } 및$$
• ${\displaystyle f(x)=b-x}{1+cx}}~,$

여기에는 이전 세 가지가 특별한 경우 또는 제한으로 포함됩니다.

솔루션

기초 함수 방정식을 푸는 한 가지 방법은 ^{[citation needed]}치환이다.

함수 방정식에 대한 일부 해법은 투영성, 주입성, 홀수성 및 ^{[citation needed]}짝수를 이용합니다.

몇몇 함수 방정식은 해답과 수학적 ^{[citation needed]}귀납법을 사용하여 풀렸다.

함수 방정식의 일부 클래스는 컴퓨터 보조 ^[vague][4]기술로 풀 수 있습니다.

동적 프로그래밍에서는 고정점 반복에 기초한 방법을 포함하여 벨만의 함수 방정식을 풀기 위해 다양한 연속 근사^[5][6] 방법이 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 함수 방정식(L-함수)
• 벨만 방정식
• 동적 프로그래밍
• 암묵적 함수
• 함수 미분 방정식

메모들

레퍼런스

• Jannos Aczél, 함수 방정식과 그 응용에 관한 강의, 학술 출판사, 1966, 도버 출판사, ISBN 0486445232.
• Jannos Aczél & J. Dhombres, 여러 변수의 함수식, 케임브리지 대학 출판부, 1989.
• C. Efthimiou, 함수식 소개, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6, 온라인.
• P. Kannappan, 함수 방정식과 애플리케이션과의 불평등, Springer, 2009.
• Marrek Kuczma, 함수 방정식과 불평등 이론의 개요, 제2판, Birkhauser, 2009.
• Henryk Stetkér, 그룹에 관한 함수식, 초판, 세계과학출판사, 2013.
• Christopher G. Small (3 April 2007). Functional Equations and How to Solve Them. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

외부 링크

• 함수식: EqWorld의 정확한 솔루션:수학 방정식의 세계.
• 함수식: EqWorld 색인:수학 방정식의 세계.
• 문제 해결의 함수 방정식에 대한 IMO 요약 텍스트(아카이브).