제한된 등거리 특성

선형대수학에서 제한적 등거리 특성(RIP)은 최소한 희박한 벡터로 작동할 때 거의 정형화된 행렬을 특징짓는다.이 개념은 에마뉘엘 칸데스와 테렌스 타오가^[1] 도입했으며 압축 감지 분야에서 많은 이론들을 증명하는 데 사용된다.^[2]경계가 제한된 등위계 상수를 가진 알려진 큰 행렬은 없지만(이 상수들을 계산하는 것은 강하게 NP-hard이며,^[3] 또한^[4] 근사치하기도 어렵다) 많은 무작위 행렬이 경계가 유지되고 있는 것으로 나타났다.특히 기하급수적으로 높은 확률로 무작위 가우스안, 베르누이, 부분 푸리에 매트릭스는 스파르시티 수준에서 거의 선형인 측정 횟수로 RIP를 만족하는 것으로 나타났다.^[5]큰 직사각형 행렬의 현재 가장 작은 상한이 가우스 행렬의 상한을 위한 것이다.^[6]가우스 앙상블의 경계를 평가하는 웹 양식은 에든버러 압축 센싱 RIC 페이지에서 이용할 수 있다.^[7]

정의

A를 m × p 행렬로 하고 1 ≤ s ≤ p를 정수로 한다.모든 m ×s 하위atrix A와_s 모든 s차원 벡터 y에 대해 상수 ${\displaystyle {\Delta s}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \delta _{s}\in (0,1$)이$$ 존재한다고 가정하자.

${\deltayle (1-\delta _{s}\ _{2}^{2}\leq \A_{s}y\ _{2}^{2}^{2}}\leq(1+\delta _{s}\ _{2}^{2}.\,}$

$그$ 후, 매트릭스 A는 제한된 등위계 상수 ${\displaystyle {\Delta s}_{}}$를 가지고 s 제한 $등위계측$ 특성을 만족시킨다고 한다$.$

이것은 와 같다.

${\displaystyle \ A_{s}^{*}A_{s}-I\{2\to 2}\leq \delta_{s}}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{ID}}$ ${\displaystyle {매트릭스}_{}}$이고 $\Vert {\displaystyle }$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$→ 2 ${\$\$X\ _{2\to2}}$은 연산자 표준이다.예를 들어 증거를 참조하십시오.

마지막으로$,$ $이것$은 ${\displaystyle A_{}^{}}$ s ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}}${\$displaystyle A_{s}^{*}A_{$${\displaystyle \mathrm{s}}$$}}}}$의 모든 고유값이 $[{\displaystyle 1}$ -${\displaystyle {}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$Δ$$s ]{\$displaysty [1-\delta _{s}]$ 간격 내에 있음을 나타내는$$ 것과 같다.

제한된 등축 상수(RIC)

RIC 상수는 주어진 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle ∆}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ m ${\$에 대해$$ 가능한 모든 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 최소값으로 정의된다$.$

${\displaystyle \delta _{K}=\inf \left[\delta :(1-\delta )\ y\ _{2}^{2}\leq \ A_{s}y\ _{2}^{2}\leq (1+\delta )\ y\ _{2}^{2}\right],\ \forall s \leq K,\forall y\in R^{ s }}$

$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$로 표시된다$.$

아이겐값

$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 RIC로 RIP 속성을 만족하는 매트릭스의 경우 다음 조건이 유지된다$.$^[1]

${\displaystyle 1-\delta _{K}\leq \lambda _{min}(A_{\tau }^{*}A_{\tau })\leq \lambda _{max}(A_{\tau }^{*}A_{\tau })\leq 1+\delta _{K}}$.

RIC에서 가장 엄격한 상한은 가우스 행렬에 대해 계산할 수 있다.이것은 위시아트 매트릭스의 모든 고유값이 구간 내에 있을 정확한 확률을 계산함으로써 달성될 수 있다.

참고 항목

• 압축 감지
• 상호 일관성(선형 대수)
• Terrence Tao의 압축 센싱 웹사이트에는 '정확한 재구성 원칙'(ERP)과 '통일된 불확실성 원칙'(UUP)^[9]과 같은 몇 가지 관련 조건이 나열되어 있다.
• Nullspace 속성, 희박한 복구를 위한 또 다른 충분한 조건
• 일반화된 제한 등계 속성,^[10] 희박한 회복을 위한 일반화된 충분한 조건이며, 상호 일관성과 제한된 등계 속성은 둘 다 특별한 형태다.
• 존슨-린덴스트라우스 보조정리

참조