제한된 부분 인용구

수학에서, 그리고 더 특히 규칙적인 연속 분수의 분석 이론에서, 무한정 정규 지속 분수 x는 부분 인수의 분모 순서가 경계가 되는 경우, 제한적인 부분 인수로 구성되거나 제한되는 부분 인수로 구성된다고 한다.

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

그리고 모든 (적분) 부분분모 a가_i M보다 작거나 같은 양의 정수 M이 있다.^[1][2]

주기연속분수

정기적인 주기적인 연속 분수는 유한 초기 분모 블록에 이어 반복 블록으로 구성된다.

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\reason,a_{k+1},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\reason,a_{k+m}},\,},},},}$

그렇다면 ζ은 이차 비합리적인 숫자로, 규칙적인 지속분수로서의 표현은 주기적이다.어떤 부분분모도 a₀ ~ a의_k+m 가장 큰 부분보다 클 수 없기 때문에 분명히 규칙적인 주기적 지속분석은 제한된 부분 인용문으로 구성된다.역사적으로, 수학자들은 제한된 부분 인용의 더 일반적인 개념을 고려하기 전에 주기적인 연속 분수를 연구했다.

제한된 CF 및 캔터 세트

칸토어 집합은 측정값 0의 집합 C로, 이 집합에서 실제 숫자의 전체 구간은 단순한 덧셈으로 구성할 수 있다. 즉, 간격의 실제 숫자는 집합 C의 정확히 두 요소의 합으로 표현할 수 있다.칸토어 세트의 존재에 대한 통상적인 증거는 간격의 중간에 "구멍"을 치고, 그 다음에 남은 서브 인터벌에 구멍을 내고, 이 과정을 infinitum을 반복한다는 생각에 근거한다.

유한 지속 분수에 한 가지 부분 인수를 더 추가하는 과정은 여러 가지 면에서 실제 숫자의 구간에서 "구멍을 뻥 뚫는 과정"과 유사하다."구멍"의 크기는 선택한 다음 부분분모에 반비례한다. 다음 부분분모가 1이면 연속 수렴 사이의 간격이 최대화된다.다음 정리를 정밀하게 하기 위해, 우리는 CF(M)를 고려할 것이다. CF(M)는 제한된 연속 분수의 값이 개방 간격(0, 1)에 있고, 부분 분모가 양의 정수 M - 즉,

${\displaystyle \mathrm {CF}(M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}\,},}$

칸토어 세트의 구성에 사용된 것과 평행한 주장을 함으로써 두 가지 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

• M ≥ 4인 경우, 한 구간의 실제 숫자는 CF(M)에서 두 원소의 합으로 구성될 수 있으며, 여기서 구간의 합은 다음과 같다.

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• 단순한 논쟁 때 M4≥이[0;1, M¯]−[0;M, 1¯]≥ 12{\displaystyle{\scriptstyle[0;{\overline{1,M}}]-[0;{\overline{M,1}}]\geq{\frac{1}{2}}}}보유하고 있으며, 이 차례로 만약 M4≥가 각 실수는 형태 n에+표시할 수 있음을 암시하는 것을 보여 주CF1+CF2, n는 정수, CF1과 CF.2are CF(M)의 요소.^[3]

자렘바의 추측

자렘바는 절대 상수 A의 존재를 추측해 왔는데, A에 의해 제한되는 부분 인용구를 가진 합리들이 (양수) 분모마다 적어도 한 개씩을 포함하고 있기 때문이다.선택 A = 5는 숫자 증거와 호환된다.^[4]모든 분모가 충분히 큰 경우, 추가적인 추측은 그 가치를 감소시킨다.^[5]Jean Bourgain과 Alex Kontorovich는 A를 선택할 수 있다는 것을 보여 주었고, 따라서 결론은 밀도 1의 분모 세트로 유지된다.^[6]

참고 항목

• 마르코프 스펙트럼

참조