제한된 합계

가법수 이론과 조합론에서, 제한된 합계는 그 형태를 가진다.

${\displaystyle S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\a_{n}\in A_{n}\mathrm {and} \ P(a_{1}},\ldots,a_{n}\n}\not =0}}},}$

여기서 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 필드 F와 $P{\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n}}})$의 유한 비우위 하위 집합이다$$$$.

If ${\displaystyle P}$ is a constant non-zero function, for example ${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$ for any ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, then S is the usual sumset ${\displaystyle A_{1}+\cdots +A_{n}}$ which is denoted by nA if${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{1}=\cdots$= $A_{n}=A}$.

언제

${\displaystyle P(x_{1},\ldots,x_{n}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

S is written as ${\displaystyle A_{1}\dotplus \cdots \dotplus A_{n}}$ which is denoted by ${\displaystyle n^{\wedge }A}$ if ${\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A}$.

Note that S > 0 if and only if there exist ${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}$ with ${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0}$.

코치-데이븐포트 정리

어거스틴 루이 코치와 해롤드 데이븐포트(Harold Davenport)의 이름을 딴 카우치-데이븐포트(Cauchy-Davenport) 정리는 모든 프라임 p와 비어 있지 않은 하위 집합 $Z{\displaystyle \mathbb{}/p\mathbb{}}$ Z ${\$에 대해 불평등이^[1][2][3] 있다고 주장한다.

${\displaystyle A+B \geq \min\{p,\ A + B -1\}$

여기서 $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle :=}${ a +${\displaystyle b}$ (${\displaystyle mod}$ p${\displaystyle }$) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ A$+B:==\{a+b{\pmod{pmod} a\in A,b$ 즉 모듈식 산수를 사용하고 있다.

우리는 이것을 Erdős-Ginzburg-Ziv 정리를 추론하는데 사용할 수 있다: 주기 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}/n}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에 있는 2n-1 원소의 순서에 따라 0 modulo n에 합한 원소가 있다(여기 n은 primodulo n이 될 필요가 없다).^[4][5]

A direct consequence of the Cauchy-Davenport theorem is: Given any sequence S of p−1 or more nonzero elements, not necessarily distinct, of ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, every element of ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ can be written as the sum of the elements of some subsequenceS의 (아마도 비어 있을 것이다.)^[6]

크네서의 정리는 이것을 일반 아벨 그룹에게 일반화한다.^[7]

에르디스-힐브론 추측

에르데스-1964년 폴 에르디스와 한스 힐브론이 제기한 헤이블론 추측에 따르면 p가 프라임이고 A가 필드 Z/pZ의 비어있지 않은 부분집합인 경우$$ ${\displaystyle 2{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\wedge }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $\$ ${\displaystyle Min}${,${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle A}$- ${\displaystyle 3}$} ${\displaystyle$ 2$^{\wedgeq \{p,2$ A $-3\}}}$라고 한다.^[8]이것은 1994년^[9] J. A. Dias da Silva와 Y. O. Hamidune에 의해 처음 확인되었다.

${\displaystyle n^{\wedge }A \geq \min\{p(F),\n A -n^{2}+1\}}$

여기서 A는 필드 F의 유한 비빈 부분 집합이고, P(F)는 특성 p인 경우 p(F)이고, p(F) = 특성 0인 경우 p(F) = ∞이다.이 결과의 다양한 연장은 노가 알론, M. B. 나탄슨, 그리고 I에 의해 주어졌다. 1996년 루즈사,^[10] 2002년 Q. Hou와 Zhi-Wei Sun,^[11] 2004년 G. Karolyi.^[12]

콤비나토리얼 널스텔렌사츠

다양한 제한된 합계의 기질에 대한 하한 연구에서의 강력한 도구는 다음과 같은 기본 원리다: 조합형 Nullstellensatz.^[13]$f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f(x_{1},\ldots, x_{n})$를 필드 F에 대한 다항식이 되도록$$ 한다.Suppose that the coefficient of the monomial ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$ in ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ is nonzero and ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$ is the total degree of ${\displaystyle f(x_1,\dots ,x_{}}$N){\displaystyle f(x_{1},\ldots{n,x_})}. 만약 F의 나는입니다. 가진 1,…, An{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}은 한정된 하위 집합;나는 을{\displaystyle A_{나는}k, k_{나는}}에 i=1,…, n{\displaystyle i=1,\ldots ,n}, 그때는 1∈는 1,…, 오빠 ∈ n{\displaysty.르 a_${1}\in A_{1},\ldots,a_{n}\in$ A_${n}},$ f$$ (${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$ f$(a_{1},\ldots ,a_{n}\$n}\$not =0$

결합기 Nullstellensatz를 사용하는 방법을 다항법이라고도 한다.이 도구는 N. 알론과 M의 논문에 뿌리를 두고 있었다.1989년 타르시,^[14] 1995~1996년 알론, 나탄슨, 루즈사가 개발하고 1999년 알론에 의해 개혁되었다.^[10][13]

참고 항목

• 결합법의 다항법

참조

• Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z., eds. (2009). Combinatorial number theory and additive group theory. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Y. O.; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. With a foreword by Javier Cilleruelo, Marc Noy and Oriol Serra (Coordinators of the DocCourse). Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8961-1. Zbl 1177.11005.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Erdős-Heilbronn Conjecture". MathWorld.