수축(토폴로지)

수학의 한 분야인 위상에서, 수축은 위상학적 공간으로부터 그 하위 공간에 있는 모든 점들의 위치를 보존하는 하위 공간으로의 연속적인 매핑이다.^[1] 이어 아공간을 원래의 공간의 수축이라고 부른다. 변형 수축은 공간을 아공간으로 계속 축소하는 생각을 포착하는 매핑이다.

절대근린 수축(ANR)은 위상학적 공간의 특히 품행이 좋은 유형이다. 예를 들어, 모든 위상학적 다지관은 ANR이다. 모든 ANR은 매우 단순한 위상학적 공간인 CW 복합체의 호모토피 타입을 가지고 있다.

정의들

수축

X는 위상학적 공간이고 A는 X의 하위 공간이 되게 하라. 그 다음 연속 지도

R\colon X\to A}

a에 대한 r의 제한이 A에 대한 ID 지도인 경우 철회하는 ${\textstyle r(a)=a}$ 이다. 즉, ${\textstyle r(a)=a}$ r ${\textstyle r(a)=a}$ ${\textstyle r(a)=a}$ ( ${\textstyle r(a)=a}$ ) = 모든 ${\textstyle r(a)=a}$ A에 $대한$ {\ $textstyle$ r(a $)=a}$ 동등하게, 다음을 나타낸다.

\displaystyle \iota \colon A\hook 오른쪽 화살표 X}

포함, 수축은 다음과 같은 연속적인 지도 r이다.

r\circle \iota =\operatorname {id} _{A}

즉, 포함이 있는 r의 구성은 A의 정체성이다. 정의상, 수축은 X를 A에 매핑한다. 그러한 수축이 존재한다면 아공간 A를 X의 수축이라고 한다. 예를 들어, 비어 있지 않은 공간은 분명한 방식으로 한 지점까지 수축한다(상수 지도가 수축한다). 만약 X가 Hausdorff라면, A는 X의 닫힌 부분집합이어야 한다.

${\textstyle r:X\to A}$ : ${\textstyle r:X\to A}$ → ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle r:X\to A}$ 이(가) 수축이라면 ${\textstyle r:X\to A}$ , ∘rr는 X에서 X까지의 공분점 연속 지도다. 반대로, 임의의 idempotent 연속 지도 ${\textstyle s:X\to X,}$ ${\textstyle s:X\to X,}$ → ${\textstyle s:X\to X,}$ , ${\textstyle s:X\to X}$ 을(를) 고려할 때, 우리는 ${\textstyle s:X\to X,}$ 코도메인을 제한함으로써 s의 이미지에 대한 굴절을 얻는다.

변형 수축 및 강한 변형 수축

연속 지도

F\colon X\time [0,1]\to X}

X의 모든 X와 A의 모든 X에 대해 A의 하위 공간에 대한 X의 변형 수축이다.

F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.

즉 변형수축은 X에 있는 수축과 식별지도 사이의 호모토피다. 아공간 A를 X의 변형 수축이라고 한다. 변형 수축은 호모토피 동등성의 특별한 경우다.

수축이 변형 수축일 필요는 없다. 예를 들어, 공간 X의 변형 수축으로 단일 지점을 갖는 것은 X가 연결된 경로(사실 X는 수축 가능)라는 것을 의미할 것이다.

참고: 변형 수축에 대한 동등한 정의는 다음과 같다. ${\textstyle r:X\to A}$ 지도 ${\textstyle r:X\to A}$ : X ${\textstyle r:X\to A}$ → ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle r:X\to A}$ 은(는) 수축이고 포함과 함께 그 구성이 X의 ID 지도와 동일시되는 경우 변형 철회다 ${\textstyle r:X\to A}$ . 이 제형에서 변형 수축은 X와 자기 자신 사이의 호모토피를 수반한다.

변형 수축의 정의에 다음과 같은 요구사항을 추가한다면

F(a,t)=a}

[0, 1] 및 A의 모든 t에 대해 F를 강변형 수축이라고 한다. 즉, 강한 변형 수축은 호모토피 전체에 A의 점을 고정시킨다. (해처 등 일부 저자는 이것을 변형수축의 정의로 삼는다.)

예를 들어, n-sphere ${\textstyle S^{n}}$ ${\$ S $^{n}$ 는 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ + ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ ∖ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ { ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ ${\textstyle \mathb {R}^{n$ +1 $}\백슬래시 \{0\}$ 의 강한 변형 수축으로 ${\textstyle S^{n}}$ 지도를 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ 선택할 수 있다.

F(x,t)=\left(1-t)+{t \over \ x\ }\ \오른쪽)x.

공동진동 및 근린변형 수축

지도 f: A → 위상공간 X는 어떤 공간에 대한 지도에 대한 호모토피 확장 특성을 가지고 있다면 (Hurewicz) 교정을 말한다. 이것은 호모토피 이론의 중심 개념 중 하나이다. 공진동 f는 항상 주입적인데, 사실 그것의 이미지에 대한 동형상이다.^[2] X가 Hausdorff(또는 콤팩트하게 생성된 약한 Hausdorff 공간)인 경우, Coibration f의 이미지는 X에서 닫힌다.

모든 폐쇄적 포함 요소 중에서 다음과 같은 특성을 가질 수 있다. 공간 X에 폐쇄형 서브공간 A를 포함시키는 것은 $u:X\rightarrow [0,1]$ 가 X의 근린변형 수축인 경우에만 교정이며, $u:X\rightarrow [0,1]$ 는 $u:X\rightarrow [0,1]$ ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ $u:X\rightarrow [0,1]$ = ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ - ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ $u:X\rightarrow [0,1]$ ( ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ ) ${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]$ 이 $u:X\rightarrow [0,1]$ 있고 ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ A = u - 1 ( ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ 0 ) ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ {\ $textyle A$ =u^{- $1}\!$ $\left(0\right)}$ and a homotopy ${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$ such that ${\textstyle H(x,0)=x}$ for all $x\in X,$ $H(a,t)=a$ for all $a\in A$ and ${\displaystyle t\in [$ $0,$ $1],$ { 및 ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ , 1 ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ ) ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ $u(x)<1$ $u(x)<1$ 가 $u(x)<1$ 인 경우 ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ $A에서 {\$ $textstyle$ $H\left(x,1\right$ $)\in$ A $u(x)<1$ ^[3]

예를 들어, CW 단지에 하위 복합체를 포함시키는 것은 공동교정이다.

특성.

X의 수축 A의 한 가지 기본 속성은 (축소 ${\textstyle r:X\to A}$ : X ${\textstyle r:X\to A}$ → ${\textstyle r:X\to A}$ {\ $textstyle$ r $:X\to$ A ${\textstyle r:X\to A}$ 모든 연속 지도 ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ : ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ → ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ ${\textstyle f:$ $A\rightarrow Y}$ 에는 ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ 하나의 ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ g ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ X ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ → ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ , ${\textstyle$ g $:X\rightarrow Y,},$ 즉 ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ ${\textstyle g=f\circ r}$ = ${\textstyle g=f\circ r}$ ${\textstyle g=f\circ r}$ ${\textstyle g=f\circ r}$ ${\textstyle g=f\circr$ r $}$ 이(가) 있다 ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ ${\textstyle g=f\circ r}$
변형 수축은 호모토피 균등성의 특별한 경우다. 실제로 두 공간은 둘 다 하나의 더 큰 공간의 변형 수축에 대해 동형인 경우에만 호모토피 등가물이다.
변형이 한 점으로 수축되는 위상학적 공간은 수축할 수 있고 그 반대도 가능하다. 그러나 강하게 변형되지 않는 수축 가능한 공간이 한 지점까지 수축한다.^[4]

무수축 정리

n-차원 공의 경계, 즉 (n-1)-sphere는 공의 수축이 아니다.(동문학을 이용한 브루워 고정점 정리 § A 증명 참조)

절대근린 수축장치(ANR)

$공간$ Y {\ $textstyle$ $Y}$ 의 ${\textstyle X}$ 닫힌 $부분$ 집합 X {\ $textstyle X$ $}$ 이 ${\textstyle Y}$ (가) ${\textstyle X}$ ${\$ textstyle $X}$ 이(가) 포함된 Y ${\textstyle Y}$ 의 일부 열린 부분 집합의 수축인 ${\textstyle X}$ 경우 ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y}$ 의 인접 축소라고 부른다 ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$

${\mathcal {C}}$ ${\$ 을(를) 위상학적 공간의 한 종류로 하고 ${\mathcal {C}}$ , 동형상 및 폐쇄된 하위 집합으로의 통로로 폐쇄한다. Following Borsuk (starting in 1931), a space ${\textstyle X}$ is called an absolute retract for the class ${\mathcal {C}}$ , written ${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ if ${\textstyle X}$ is in ${\mathcal {C}}$ and whenever ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ is a closed subset of a space ${\textstyle Y}$ in ${\mathcal {C}}$ , ${\textstyle X}$ is a retract of ${\textstyle Y}$ . A space ${\textstyle X}$ is an absolute neighborhood retract for the class ${\mathcal {C}}$ , written ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ if ${\textstyle X}$ is in ${\mathcal {C}}$ and whenever ${\textstyle X}$ is a closed subset of a space ${\textstyle Y}$ in ${\mathcal {C}}$ , ${\textstyle X}$ is a neighborhood retract of ${\textstyle Y}$ $Y {\textstyle$ Y ${\textstyle Y}$

이 정의에서는 정상 공간과 같은 ${\mathcal {C}}$ 다양한 ${\mathcal {C}}$ C ${\$ 을(를) 고려했지만, 메트리징 가능한 공간의 ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$ M ${\$ 이(가) 가장 만족스러운 이론을 제공하는 것으로 밝혀졌다. 그 때문에 이 글에서는 AR과 ANR이라는 표기 자체가 $){\$ $\operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)$ $)$ 및 $\operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)$ { $ANR} \{\mathcal {M$ ^[5]을 의미하는 데 사용된다.

메트리징 가능한 공간은 AR이 계약 가능한 경우에만 AR이다.^[6] 듀군지에 의해, 모든 국소적으로 볼록한 메트리즈블 위상 ${\textstyle V}$ 공간 V ${\textstyle V}$ 은 AR이다 ${\textstyle V}$ . 더 일반적으로, 그러한 벡터 공간 ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ 의 모든 비어 있지 않은 볼록 부분 집합은 AR이다 ${\textstyle V}$ .^[7] 예를 들어, 모든 표준 벡터 공간(완전 또는 완전하지 않음)은 AR이다. 구체적으로는 유클리드 공간 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ , ${\textstyle \mathb {R}$ ^{ $n},$ 단위 ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle I^{n},}$ 큐브 ${\textstyle I^{n},}$ ${\textstyle I^{n},$ Hilbert 큐브 $IΩ {\$ I $^{\omega }$ 등이 AR이다 ${\textstyle I^{\omega }}$ .

ANR은 "잘 행동한" 위상학적 공간의 주목할 만한 부류를 형성한다. 이러한 속성에는 다음이 포함된다.

ANR의 모든 공개 서브셋은 ANR이다.
Hanner에 의해, ANRs에 의해 열린 커버를 가진 메트리저블 공간은 ANR이다.^[8] (즉, ANR이 되는 것은 메트리저블 공간의 지역적 특성이다.) 그것은 모든 위상학적 다지관이 ANR이라는 것을 따른다. ${\textstyle S^{n}}$ 를 들어 ${\textstyle S^{n}}$ ${\$ 구형은 ANR이지만 ${\textstyle S^{n}}$ AR은 아니다(계약할 수 없기 때문이다). 무한한 차원에서, 하너의 정리는 모든 힐버트 큐브 다지관과 (예를 들어 국소적으로 콤팩트하지 않은) 힐버트 다지관과 바나흐 다지관은 ANR이라는 것을 암시한다.
지역적으로 유한한 모든 CW 단지는 ANR이다.^[9] 임의의 CW 복합체를 측정할 필요는 없지만, 모든 CW 복합체는 ANR의 호모토피 타입을 가지고 있다(정의상으로는 Metrizable, Metrizable).^[10]
Every ANR X is locally contractible in the sense that for every open neighborhood ${\textstyle U}$ of a point ${\textstyle x}$ in ${\textstyle X}$ , there is an open neighborhood ${\textstyle V}$ of ${\textstyle x}$ contained in ${\textstyle U}$ such that the inclusion ${\textstyle V\hookrig$ $Htarrow U}$ 은 ${\textstyle V\hookrightarrow U}$ 상수지도와 동일시된다. 유한 차원 측정 가능한 공간은 이러한 의미에서 국소적으로 수축할 수 있는 경우에만 ANR이다.^[11] 예를 들어 칸토어 세트는 국지적으로 연결되지도 않기 때문에 ANR이 아닌 실제 라인의 소형 서브셋이다.
counterexamples: 보르수크는 ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ 3 ${\$ ^{ $3}$ 의 콤팩트한 부분집합을 찾았는데, 이는 ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ANR이지만 엄격히 국소적으로 계약할 수 있는 것은 아니다.^[12] (각 지점 ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$ 의 ${\textstyle U}$ ${\textstyle U}$ 열린 이웃 U ${\textstyle$ ^[13] $u$ $}$ 이(가) ${\textstyle x}$ ${\textstyle$ x $}$ 의 계약 가능한 열린 이웃을 ${\textstyle x}$ 포함하는 경우 공간은 엄격히 국소적으로 계약할 수 있지만 ${\textstyle x}$ ANR은 아닌 힐버트 큐브의 작은 부분집합도 발견했다.
모든 ANR은 Whitehead와 Milnor에 의한 CW 복합체의 호모토피 타입을 가지고 있다.^[14] 더욱이, 국소적 소형 ANR은 국소적 유한 CW 복합체의 호모토피 타입을 가지고 있고, 서양에 의해 소형 ANR은 유한적 CW 복합체의 호모토피 타입을 가지고 있다.^[15] 이러한 의미에서 ANR은 임의의 위상학적 공간의 모든 호모토피-기상적 병리학을 피한다. 예를 들어 Whitehead 정리는 ANRs에 대해 보유한다: (모든 기준점의 선택에 대해) 호모토피 그룹에 이형성을 유도하는 ANRs의 지도는 호모토피 동등성이다. ANR은 위상학적 다지관, 힐버트 큐브 다지관, 바나흐 다지관 등을 포함하므로 이러한 결과는 넓은 범위의 공간에 적용된다.
많은 매핑 공간은 ANR이다. 특히 Y는 ANR인 닫힌 서브 스페이스 A를 가진 ANR이 되고, X는 닫힌 서브 스페이스 B를 가진 콤팩트한 메트리징 가능한 공간이 되도록 한다. Then the space ${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ of maps of pairs ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$ (with the compact-open topology on the mapping space) is an ANR.^[16] 예를 들어, CW 단지의 루프 공간은 CW 단지의 호모토피 타입을 가지고 있다.
Cauty에 따르면, ${\textstyle X}$ ${\textstyle$ X $}$ 의 모든 열린 부분 집합이 CW 복합체의 호모토피 유형을 갖는 ${\textstyle X}$ 경우에만 메트리징 가능한 공간 ${\textstyle X}$ ${\textstyle$ $X$ $}$ 이 ${\textstyle X}$ (가) ANR이다.^[17]
Cauty에 의해 AR이 아닌 메트릭 선형 ${\textstyle V}$ V ${\textstyle$ V $}($ 번역-반환성 메트릭이 있는 위상학적 벡터 $공간$ 을 의미함)이 있다. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ 을(를) 분리할 수 있고 F-공간(즉, 전체 메트릭 선형 공간)을 사용할 수 있다.^[18] (위의 듀건지의 정리로는 ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ 은(는) 국소적으로 볼록할 수 없다 ${\textstyle V}$ .) ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ 은 ${\textstyle V}$ (는) AR이 아니라 계약 가능하므로 ANR도 아니다. 위의 Cauty의 정리로는, ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ 에는 CW 콤플렉스와 동등한 호모토피가 아닌 ${\textstyle U}$ 오픈 ${\textstyle U}$ U ${\textstyle U}$ 이(가) 있다 ${\textstyle V}$ . 따라서 엄격히 국소적으로 수축할 수 있지만 CW 복합체와 동등한 호모토피가 아닌 ${\textstyle U}$ 메트리저블 공간 ${\textstyle U}$ ${\textstyle U}$ 이 있다. 엄격히 국지적으로 계약 가능한 소형(또는 국지적으로 소형) 메트리징 가능한 공간이 ANR이어야 하는지는 알려지지 않았다.

메모들

^ 보르수크(1931년).
^ Hatcher(2002년), 발의안 4H.1.
^ Puppee(1967), Satz 1.
^ 해처(2002년), 연습 0.6.
^ 마르데시우(1999년), 페이지 242.
^ Hu(1965), 발의안 II.7.2.
^ Hu(1965), Corolary II.14.2 및 Organis II.3.1.
^ Hu(1965), Organis III.
^ 마르데시우(1999년), 245페이지.
^ 프리치 & 피치니니(1990), 정리 5.2.1.
^ 후(1965), 정리 V.7.1.
^ 보르수크(1967), 섹션 IV.4.
^ 보르수크(1967), 정리 V.11.1.
^ 프리치 & 피치니니(1990), 정리 5.2.1.
^ 웨스트(2004년), 페이지 119.
^ 후(1965), 정리 VII.3.1 및 리마인 VII.2.3.
^ 카우티(1994년), 펀드. 수학. 144: 11–22.
^ 카우티(1994년), 펀드. 수학 146: 85–99.

참조

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Borsuk, Karol (1967), Theory of Retracts, Warsaw: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0216473
Cauty, Robert (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage", Fundamenta Mathematicae, 144: 11–22, doi:10.4064/fm-144-1-11-22, MR 1271475
Cauty, Robert (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu", Fundamenta Mathematicae, 146: 85–99, doi:10.4064/fm-146-1-85-99, MR 1305261
Fritsch, Rudolf; Piccinini, Renzo (1990), Cellular Structures in Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-32784-9, MR 1074175
Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
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Mardešić, Sibe (1999), "Absolute neighborhood retracts and shape theory", in James, I. M. (ed.), History of Topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 241–269, ISBN 0-444-82375-1, MR 1674915
May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
Milnor, John (1959), "On spaces having the homotopy type of a CW-complex", Transactions of the American Mathematical Society, 90 (2): 272–280, doi:10.2307/1993204, JSTOR 1993204, MR 0100267
Puppe, Dieter (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik, 18: 81–88, doi:10.1007/BF01899475, MR 0206954, S2CID 120021003
West, James (2004), "Absolute retracts", in Hart, K. P. (ed.), Encyclopedia of General Topology, Amsterdam: Elsevier, ISBN 0-444-50355-2, MR 2049453

외부 링크

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 알리크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Neighborhood 리트랙션에서 얻은 자료가 통합되어 있다.

[1] 보르수크(1931년).

[2] Hatcher(2002년), 발의안 4H.1.

[3] Puppee(1967), Satz 1.

[4] 해처(2002년), 연습 0.6.

[5] 마르데시우(1999년), 페이지 242.

[6] Hu(1965), 발의안 II.7.2.

[7] Hu(1965), Corolary II.14.2 및 Organis II.3.1.

[8] Hu(1965), Organis III.

[9] 마르데시우(1999년), 245페이지.

[10] 프리치 & 피치니니(1990), 정리 5.2.1.

[11] 후(1965), 정리 V.7.1.

[12] 보르수크(1967), 섹션 IV.4.

[13] 보르수크(1967), 정리 V.11.1.

[14] 프리치 & 피치니니(1990), 정리 5.2.1.

[15] 웨스트(2004년), 페이지 119.

[16] 후(1965), 정리 VII.3.1 및 리마인 VII.2.3.

[17] 카우티(1994년), 펀드. 수학. 144: 11–22.

[18] 카우티(1994년), 펀드. 수학 146: 85–99.

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