리지드 로터

강체 로터는 회전 시스템의 기계적 모델이다. 임의의 강체 회전자는 상단과 같은 3차원 강체 물체를 말한다. 그러한 물체의 방향을 우주에서 정하기 위해서는 오일러 각도라고 알려진 세 개의 각도가 필요하다. 특수강성 로터는 예를 들어 이원자 분자의 설명에 2개의 각만 필요한 선형 로터다. 보다 일반적인 분자는 물(대칭 로터), 암모니아(대칭 로터), 메탄(구형 로터)과 같은 3차원이다. 분자 양자역학에서 강체-로터 슈뢰더 방정식의 해법은 값싼 교과서 240-253페이지의 섹션 11.2에서 논한다.^[1]

선형로터

선형 강체 회전자 모델은 질량 중심에서 고정된 거리에 위치한 2개의 점 질량으로 구성된다. 두 질량 사이의 고정된 거리와 질량 값은 강성 모델의 유일한 특성이다. 그러나 대부분의 실제 디아토믹스의 경우 거리가 일반적으로 완전히 고정되지 않기 때문에 이 모형은 너무 제한적이다. 강성 모델의 보정은 거리의 작은 변화를 보상하기 위해 이루어질 수 있다. 그러한 경우에도 강체 회전자 모델은 유용한 출발점(zerot-order 모델)이다.

클래식 선형강성로터

고전적인 선형 로터는 ${\displaystyle {2점\mathrm{}}_{}}$ 질량 m $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}(축소된 질량 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle m\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2m\mathrm{}}_{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ 2 ${\$ =${m_{1}m_{2}}:{m_{1}+m_{$2}}}}}{$2$}}}}}}}{2$}{$2}}}}}})로 구성된다.$$$\}\}\}\}\}$ 각각 거리 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R$ R ${\displaystyle R}$이(가) 시간에 독립되어 있으면$$ 로터가 견고하다. 선형 강체 로터의 운동학적 원리는 대개³ R의 좌표계를 형성하는 구형 극좌표를 통해 설명된다. 물리학 규약에서 좌표는 공-위도(zenith) 각도 ${\$ 세로(azimuth) 각도 $\phi {\displaystyle }$ ${\$\,}, $거리$ R$${\$displaysty R$}이다$.$ 각도는 우주에서 로터의 방향을 지정한다. 선형 강체 로터의 운동$$ 에너지 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 다음과 같이 제공된다.

$R^{2}{\begin{pmatrix}{\dot{\theta}}&{\dot{\varphi}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&, 0\\0&,\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot{\theta}}\\{\dot{\varphi}}\end{pmatrix}{\displaystyle 2T=\mu R^{2}[{\dot{\theta}}^{2}+({\dot{\varphi}}\,\sin \theta)^{2}\right]=\mu}=\mu}&,{\do{\begin{pmatrix}{\dot{\theta}.t{\varphi}}\end{pmatrix}}{{pmatrix}}{\pmatrix}h_{}^{2}&#0&h\{\\barphi }{pmatrix}{\\\nd{pmatrix}{\\dot{\te{\ta}}},}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$= R ${\$ $h$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ⁡ ${\$은(또는 라메) 요인이다.

스케일 계수는 곡선 좌표로 표현된 라플라시안(Laplacian)에 들어가기 때문에 양자 기계적 용도에 중요하다. 해당 사례($정수{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$ R$\})$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{h_{\theta }h_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {h_{\varphi }}{h_{\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\frac {h_{\theta }}{h_{\varphi }}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right]={\frac {1}{R^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\cHB }{\cHB \theta }}\sin \cHB{\cHB }}{\frac {1}{\sin ^{2}\{\frac{\cHB ^{2}}:{\frac \varphi ^{2}}:}\right].}$

선형 강체 로터의 고전적인 해밀턴 기능은

${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu R^{2}}:}\왼쪽[p_{\theta }^{2}+{p_{\varphi }^{2}}:{\sin ^{2}\thea }\right]}$

양자역학적 선형강성로터

선형 강체 회전자 모델은 양자 역학에서 이원자 분자의 회전 에너지를 예측하는 데 사용될 수 있다. 회전 에너지는 시스템의 관성 모멘트 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 따라 달라진다$.$ 질량 기준 프레임의 중심에서 관성 모멘트는 다음과 같다.

${\displaystyle I=\mu R^{2}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은 분자의 감소된 질량이고 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 두 원자 사이의 거리다.

양자역학에 따르면, 시스템의 에너지 수준은 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 결정할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {H}\PSI =E\PSI }$

여기서 ${\displaystyle \PSI}$은(는) $파동{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 함수, H${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ {$H}}$은(는) 에너지(해밀턴) 연산자다. 현장 없는 공간의 강체 로터의 경우, 에너지 운영자는 시스템의 운동^[2] 에너지에 대응한다.

${\displaystyle {\hat {{H}=-{\frac {\hbar ^{2}}:{2\mu }}\나블라 ^{2}}:$

여기서 ${\displaystyle \hbar }$은(는) Plank 상수를 줄이고${\displaystyle {\mathrm{}}^{2\mathrm{}}}$ 2 ${\$}}은$$ 라플라시안이다. 라플라시아인은 구면 극좌표 측면에서 위에 제시되어 있다. 이러한 좌표 단위로 쓰여진 에너지 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat{H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}I}}\왼쪽[{1 \over \sin \theta }{\partial \partial \theta }\lift(\sin \partial \over \theta }\}\{\partial ^{}}{partial }{2} \partial \partial \varphi \}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}\partial \partial \rigeta}}}}\p$

이 연산자는 방사형 부분이 분리된 후 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식에도 나타난다. 고유값 방정식은

${\displaystyle {\hat {H}Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\frac {\hbar ^{2}}:{2}I}\ell (\ell +1)Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

기호 $Y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\theta }$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$는 구형 고조파라고 알려진 함수 집합을 나타낸다$$. 에너지는 $m{\displaystyle }$ ${\$에 의존하지 않는다는 점에 유의하십시오$.$ 에너지

${\displaystyle E_{\ell }={\hbar ^{2} \over 2I}\ell \left(\ell +1\오른쪽)}$

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \ell }$+ 1 ${\displaystyle 2\ell +1}$ -probled$$ : 고정 $\ell {\displaystyle }$ ${\$ $및$ m${\displaystyle }$= -${\displaystyle \ell }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \ell }$+ ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle }$ℓ${\displaystyle ,\ell }$ ${\displaystym$ m$=\ell ,-\ell +1,\el \el }$이 같은 에너지를 갖는다$$.

회전 상수 B를 소개하면, 우리는 이렇게 쓰고,

${\displaystyle E_{\ell }=B\;\ell \left(\ell +1\오른쪽)\quad {\textrm {\textrm {with}\quad B\equiv {\frac {\hbar ^{2}}:{2}}:I}}}$

역수 길이의 단위에서 회전 상수는,

${\displaystyle {\bar {{B}\equiv {\frac {B}{hc}={\frac {h}{8\pi ^{2}cI}={\frac {\hbar }}{4\pi c_{e}^{2}}}}}}}}}},}$

c 빛의 속도로 cgs 단위를 h, c, I에 사용할 경우 $B$의${\$은(는) 회전-바이브레이션 분광법에 자주 사용되는 단위인 파형 번호, cm로⁻¹ 표현된다$$. The rotational constant ${\displaystyle {\bar {B}}(R)}$ depends on the distance ${\displaystyle R}$. Often one writes ${\displaystyle B_{e}={\bar {B}}(R_{e})}$ where ${\displaystyle R_{e}}$ is the equilibrium value of ${\displaystyle R}$ (the value for which 로터에 있는 원자의 상호작용 에너지는 최소치를 가진다).

$$인 회전 스펙트럼은 각도 모멘텀 양자수 값이 다른 수준 사이의 전환에 해당하는 일련의 피크로 구성된다$([[\displaystyle \ell }).$ $따라서$ 회전 피크는 ${\displaystyle 2B}$의 $정수 배수$에 해당하는 에너지에서 나타난다$.$

선택 규칙

분자의 회전 전환은 분자가 광자[정량화된 전자기(em)장의 입자]를 흡수할 때 발생한다. 광자의 에너지(즉, 전자장의 파장)에 따라 이 전환은 진동 및/또는 전자 전환의 측면 대역으로 볼 수 있다. 전자파 스펙트럼의 마이크로파 영역에서 바이브론(= 진동+전자)파 기능이 변하지 않는 순수 회전 전환이 발생한다.

일반적으로 회전 전환은 각운동량 양자수가 1(${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle l}$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Delta l=\pm$ 1$})$씩 변할 때만 관찰할 수 있다. 이 선택 규칙은 시간 의존적인 슈뢰딩거 방정식의 1차 섭동 이론 근사치에서 발생한다. 이 치료법에 따르면, 회전 전환은 쌍극자 연산자의 하나 이상의 성분이 비반사 전환 모멘트를 가질 때만 관찰할 수 있다. z가 들어오는 전자파의 전기장 성분의 방향이라면, 전환 모멘트는,

${\displaystyle \langle \langle _{2} \mu _{1}\langle =\\reft(\mu _{z}\right)_{21}=\int \int \{2}^{{z}\mu _{1}\mathrmat {d}\tau.}\tau.} \tau.}$

이 적분이 0이 아닌 경우 전환이 발생한다. 분자파함수의 회전 부분을 바이브론 부분에서 분리함으로써 분자가 영구적인 쌍극자 모멘트를 가져야 한다는 것을 알 수 있다. 바이브론 좌표를 통해 통합한 후 전환 모멘트의 다음과 같은 회전 부분이 남는다.

${\displaystyle \left(\mu _{z}\right)_{l,m;l',m'=\mu \int_{0}^{0}^{0}^{{0}^{{0}Y_{l'}^{m'}\ta ,pi \ripi \rig(오른쪽)^{*}\cos \theta \,Y_{l}^{m}\,\left(\theta,\phi \right)\;\mathrm {d} \cos \theta .}$

여기서 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\$은 영구 쌍극자 모멘트의 z 성분이다. 모멘트 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 쌍극자 연산자의 진동 평균 성분이다. 이핵 분자의 축을 따라 영구 쌍극체의 성분만 비반사적이다. By the use of the orthogonality of the spherical harmonics ${\displaystyle Y_{l}^{m}\,\left(\theta ,\phi \right)}$ it is possible to determine which values of ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle l'}$, and ${\displaystyle m'}$ will result in nonzero values 쌍극자 전환 모멘트 적분용. 이 제약조건은 강체 로터에 대해 관찰된 선택 규칙을 초래한다.

${\displaystyle \Delta m=0\quad {\hbox{and}\delta l=\pm 1}$

비강성 선형 로터

강체 로터는 일반적으로 이원자 분자의 회전 에너지를 설명하기 위해 사용되지만 그러한 분자에 대한 완전히 정확한 설명은 아니다. 이는 분자 결합(따라서 원자간 $거리{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R$이 완전히 고정되어 있지 않기 때문이며, 분자가 더 빨리 회전함에 따라 원자 사이의 결합(회전 양자수 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$의 더 높은 값)이 뻗어 있다.$$ 이러한 효과는 원심 왜곡 상수 $D{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $'{\$로 알려진 보정 계수를 도입함으로써 설명될 수 있다($$다양한 수량 위에 막대가 cm⁻¹ 단위로 표시됨).

${\displaystyle {\e}_{l}={E_{l}}\over hc}={\bar {B}l\left(l+1\오른쪽)-{\bar {D}l^{d}\l^{d}\l+1\오른쪽)^{2}}:$

어디에

${\displaystyle {\bar {{D}={4{\bar {B}^{3}}{\bar {\boldsymbol {\omega}^{2}}}}$

$'{\$bar $symbol{\omega}}}}}}$는 본드의 기본 진동 주파수(cm⁻¹)이다. 이 주파수는 다음과 같이 분자의 감소된 질량 및 힘 상수(본드 강도)와 관련이 있다.

${\displaystyle {\bar {\barsymbol {\omega}={1\over 2\pi c}{\sqrt {k \over \mu}}}}}$

비강성 로터는 이원자 분자에 대해 허용될 정도로 정확한 모델이지만 여전히 다소 불완전하다. 모델이 회전에 따른 본드 스트레칭을 설명하지만 본드 내 진동 에너지(잠재적 조화)로 인한 본드 스트레칭은 무시하기 때문이다.

임의모양강성로터

임의 모양의 강체 회전자는 질량 중심이 현장 없는 공간 R에서³ 고정(또는 균일한 직선 운동)된 임의 형태의 단단한 몸체로, 그 에너지는 회전 운동 에너지(그리고 무시할 수 있는 일정한 변환 에너지)로만 구성된다. 경직된 신체는 관성 텐서 모멘트의 세 가지 고유값으로 특징지어질 수 있으며, 이는 관성의 주요 모멘트로 알려진 실제 비부정 값이다. 회전 전환에 기반한 분광학인 마이크로파 분광학에서는 일반적으로 분자(강체 회전 장치)를 다음과 같이 분류한다.

• 구형 회전 장치
• 대칭 회전 장치
  • 대칭 회전자를 없애다.
  • 대칭 회전자를 제거하다.
• 비대칭 회전 장치

이 분류는 관성 모멘트의 상대적 크기에 따라 달라진다.

강체 로터의 좌표

물리학과 공학 분야의 다른 부서들은 강체 로터의 운동학적 설명에 다른 좌표를 사용한다. 분자물리학에서는 오일러 각도가 거의 독점적으로 사용된다. 양자 역학적 응용에서는 구형 극좌표 물리적인 규약의 단순한 연장인 규약에서 오일러 각도를 사용하는 것이 유리하다.

첫 번째 단계는 로터(차체 고정 프레임)에 오른손 직교축 프레임(직교 축의 3차원 시스템)을 부착하는 것이다. 이 틀은 몸체에 임의로 부착할 수 있지만, 흔히 주 축 프레임인 관성 텐서의 정상화된 고유 벡터 즉, 텐서가 대칭이기 때문에 항상 직교로 선택할 수 있는 관성 텐서의 고유 벡터를 사용한다. 로터가 대칭축을 가질 때, 그것은 보통 주요 축들 중 하나와 일치한다. 차체고정 z축은 최고차 대칭축으로 선택할 수 있어 편리하다.

하나는 차체 고정 프레임을 공간 고정 프레임(실험용 축)으로 정렬하여 차체가 고정된 X, Y, Z축이 공간 고정된 X, Y, Z축과 일치하도록 하는 것으로 시작한다. 둘째, 본체와 그 프레임이 $양각{\displaystyle }$ α ${\$을(를) 통해 z축을 중심으로$$(우측 규칙에 의해) 능동적으로 회전하며, 이 $경우{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$-를$$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ - 축으로 이동한다. $셋째{\displaystyle }$, $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle \beta \,},$ y ′ {\$displaystyle y'}$축$$$$ 둘레에 걸쳐 몸과 프레임을 회전시킨다. 차체 고정 프레임의 z축은 공간 고정 프레임에 대해 세로 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$\,}($$일반적으로 $\phi {\displaystyle }$ ${\$에 의해 지정됨$)$를 모두 가진다.$$$$ 프레임. 로터가 선형 강체 로터처럼 z축을 중심으로 원통형 대칭인 경우, 공간에서의 방향은 이 지점에서 명확하지 않게 지정될 것이다.

신체에 실린더(축) 대칭이 없는 경우, 방향을 완전히 지정하려면 z축(극좌표 $\beta {\displaystyle }$ ${\$ 및$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\$ $\backslash \})$을 중심으로 마지막 회전이 필요하다. 전통적으로 마지막 회전각을 $\gamma {\displaystyle }$ ${\$라고 부른다$.$

여기서 설명하는 오일러 각도에 대한 $규약$은 z ${\displaystyle ″}$ - y${\displaystyle {}^{}-}$ - ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ z$'-y'-z}$ 규약으로$$ 알려져 있으며, 회전 순서가 역전되는 $z{\displaystyle }$- y${\displaystyle }$- ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z-y-z}$ 규약과$$ 동일하다는 것을 (이 글과 같은 방식으로) 보여줄 수 있다.

3회 연속 회전의 총 행렬은 제품이다.

${\displaystyle \mathbf{R}(\alpha ,\beta ,\gamma)={\begin{pmatrix}\cos \alpha&-\sin \alpha&0\\\sin \alpha&\cos \alpha&0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos\beta&0&,\sin \beta \\0&, 1&, 0\\-\sin \beta&0&,\cos \beta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos\gamma&-\sin \gamma&0\\\sin \gamm.를&\cos \gamma&0\\0&, 0&, 1\end{pmatrix}}}$

$r{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$을(를) 차체 고정 프레임에 대한 신체 내 임의$$ $지점{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\$의 좌표 벡터가 되도록$$ 한다. The elements of ${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$ are the 'body-fixed coordinates' of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Initially ${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$ is also the space-fixed coordinate vector of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Upon rotation of the body, the body-fixed coordina$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 테스는 변경되지$$ 않지만$$, $P{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {P}$의 공간 고정 좌표 벡터는,

${\displaystyle \mathbf {r}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {R}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {r}(0).}$

특히 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 처음에 공간$$ 고정 Z축에 있으면 공간 고정 좌표가 있다.

${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma ){\begin{pmatrix}0\\0\\r\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \alpha \sin \beta \\r\sin \alpha \sin \beta \\r\cos \beta \\\end{pmatrix}},}$

이는 구형 극좌표와의 일치성을 나타낸다(물리적 관례에서).

시간 t 함수로서의 오일러 각도와 $초기{\displaystyle \mathbf{}}$ 좌표 r ${\displaystyle (0}$) ${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$에 대한 지식이 강체 로터의 운동학을 결정한다$$.

고전 운동 에너지

다음 텍스트는 한 축을 중심으로 회전하는 물체의 회전 에너지의 잘 알려진 특수한 경우를 일반화한다.

여기에서 차체 고정 프레임이 주 축 프레임이라고 가정할 것이다. ${\displaystyle 즉}$, 순간 관성 텐서 $I{\displaystyle \mathbf{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {I} (t)}($공간 고정 프레임에 대해 표현됨), 즉,

${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )^{-1}\;\mathbf {I} (t)\;\mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {I} (0)\quad {\hbox{with}}\quad \mathbf {I} (0)={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0>I_{2}&0\\0&0&&I_{3}\\end{pmatrix},}$

여기서 오일러 각도는 시간에 따라 달라지며, 실제로 이 방정식의 역순으로$$ $I{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {I}(t)}$의 시간 의존도를 결정한다. ${\displaystyle \mathrm{이}}$ 표기법은 t${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle t=0}$에서 오일러 각도가 0이므로 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$에서 차체$$ 고정 프레임이 공간 고정 프레임과 일치함을 의미한다.

강체 로터의 고전적인 운동 에너지 T는 다음과 같은 다양한 방법으로 표현될 수 있다.

• 각속도의 함수로서.
• 라그랑고 형식으로
• 각운동량의 함수로서.
• 해밀턴식으로

이 양식들은 각각 그 용도가 있고 교과서에서 찾을 수 있기 때문에 우리는 그것들을 모두 발표할 것이다.

각속도형식

각속도 T의 함수로서,

${\displaystyle T={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽[]I_{1}\omega _{x}^{2}+I_{2}\omega _{y}^{2}+I_{3}\오메가 _{z}^{2}\오른쪽]}$

와 함께

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \beta \cos \gamma &\sin \gamma &0\\\sin \beta \sin \gamma &\cos \gamma &0\\\cos \beta &0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}\\\end{pmatrix}}.}$

$왼쪽$에 있는 벡터 Ω${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {\Omega }_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle {\Omega }_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y$},\$omega$_{$z})$는 차체 고정 프레임에 대해 표현된 로터의 각도 속도의 성분을 포함하고 있다. 그것은 오일러의 방정식이라고 알려진 운동 방정식을 만족시킨다. (로터가 필드 없는 공간에 있기 때문에 토크가 0으로 인가된 경우). $\Omega {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$이(가) 일반적인 속도 정의와는 대조적으로 어떤 벡터의 시간 파생물이 아님을 알 수 있다.^[3]

우측에 있는 시간에 의존하는 오일러 각도의 점은 시간 유도체를 나타낸다. 다른 회전 행렬은 사용된 오일러 각도 규약의 다른 선택으로 인해 발생할 수 있다는 점에 유의하십시오.

라그랑주 형식

Ω ${\$을(를러각의 시간 유도체의 함수로) T로 표현하면 운동 에너지가 라그랑주 형태로 나타난다. 행렬 벡터 표기법에서,

${\displaystyle 2T={\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}&{\dot {\beta }}&{\dot {\gamma }}\end{pmatrix}}\;\mathbf {g} \;{\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}\\\end{pmatrix}},}$

여기서 $g{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 오일러 각도로 표현된 메트릭 텐서(곡선 좌표의 비직교적 시스템)이다.

${\displaystyle \mathbf {g} = {\matrix{pmatrix}I_{1}\sin ^{2}\beta \coses ^{2}\gamma +I_{2}\sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +I_{3}\beta \sin \sin ^{2}\2}\gamma +I_{3}\cos ^{2}\beta &(I_{2}-I_{1})\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &I_{3}\cos \beta \\(I_{2}-I_{1})\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &I_{1}\sin ^{2}\gamma +I_{2}\cos ^{2}\gamma &0\\I_{3}\cos \beta &0&&I_{3}\\\end{pmatrix}.}$

각운동량형식

운동 에너지는 종종 강성 로터의 각도$$ 운동량 $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$L}$의 함수로 기록된다. 차체 고정 프레임과 관련하여 구성 요소 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 가지며$,$ 각 속도에 관련된 것으로 보일 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{L} =\mathbf {I}\mathbf {I}\\\boldsymbol {\\omega}\hbox{or}}\quad L_{i}={\frac {\partial T}{i}}}}}}}}\i=x,\y,\z.}$

이 각도 운동량은 고정된 공간 고정 프레임에서 볼 때 보존된(시간 독립적) 양이다. 차체 고정 프레임은 (시간에 따라 다름) $이동$하므로 ${\displaystyle {구성}_{}}$ 요소$$L i {\$displaystyle$L_{$i}}$는 시간 독립적이지 않다. 정지 공간 고정 프레임과 관련하여$$ $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 나타낸다면 구성 요소에 대한 시간 독립적 식을 찾을 수 있을 것이다.

운동 에너지는 각운동량 측면에서 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}{1}:{2}}:\왼쪽[{\frac {L_{x}^{2}}:2}}I_{1}}+{\frac {L_{y}^{2}}:{{}}}{{}}}{{}}}}{{}}}}}}{I_{2}}}+{\frac {L_{z}^{2}}:{{}}}{{}}}}{{}}}}{{}}}}}}I_{3}}\오른쪽].}$

해밀턴 양식

운동 에너지의 해밀턴 형태는 일반화된 모멘텀a의 관점에서 쓰여진다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{\alpha }\\p_{\beta }\\p_{\gamma }\\\end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\partial T/{\partial {\dot {\alpha }}}\\\partial T/{\partial {\dot {\beta }}}\\\partial T/{\partial {\dot {\gamma }}}\\\end{pmatrix}}=\mathbf {g} {\begin{pmatrix}\;\,{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}}\\\end{pmatrix},}$

$여기$서 g ${\$이(가) 대칭인 것을$$ 사용한다. 해밀턴 형태에서 운동 에너지는,

${\displaystyle 2T={\begin{pmatrix}p_{\alpha }&p_{\beta }&p_{\gamma }\end{pmatrix}}\;\mathbf {g} ^{-1}\;{\begin{pmatrix}p_{\alpha }\\p_{\beta }\\p_{\gamma }\\\end{pmatrix}},}$

에 의해 주어진 역 미터법 텐서

${\displaystyle \sin ^{2}\mathbf {g} ^{-1}={\pmatrix}{\frac {1}{\frac {1}{{}}{I_{1}}\cos ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\sin ^{2}\감마 &\왼쪽({\frac {1}{I_{2}}-{\frac {1}{I_{1}}\오른쪽)\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &-{\frac {1}{{}{I_{1}}\cos \beta \cos \cos ^{2}\감마 -{\frac {1}{I_{2}}:}\cos \beta \sin ^{2}\gamma \\\왼쪽({\frac {1}{\1}{I_{2}}-{\frac {1}{I_{1}}\오른쪽)\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &{\frac {1}{{}{I_{1}}\sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\sin ^{2}\beta \coses ^{2}\gamma &\\left({\frac {1}){I_{1}}-{\frac {1}{I_{2}}}\오른쪽)\sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma \-{\frac {1}{{}{{}{{}}{}}}{{}}}}}I_{1}}\cos \beta \cos \cos ^{2}\감마 -{\frac {1}{I_{2}}:}\cos \beta \sin ^{2}\감마 &\왼쪽({\frac {1}{\fr}{I_{1}}-{\frac {1}{I_{2}}}\오른쪽)\sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma &{\frac {1}{}{}I_{1}}\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\감마 +{\frac {1}{I_{3}}\sin ^{2}\beta \\end{pmatrix}}.}$

이 역 텐서는 라플라스-벨트라미 연산자를 얻기 위해 필요하며, (-${\displaystyle {\hslash \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$에 의해 곱됨$)$는 강체 로터의 양자 역학적 에너지 연산자를 제공한다.

위에 제시된 고전적인 해밀턴어는 다음 표현으로 다시 쓰일 수 있으며, 이는 경성 로터의 고전적 통계 역학에서 발생하는 위상 적분에서 필요한 것이다.

${\displaystyle {\reasoned}T={}&{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\beta }}\왼쪽((p_{\alpha }-p_{\gamma }cos \beta )\cos \cos \gamma -p_{\\\beta \sin \gamma \rigma \righ)^{2}^{2}I_{2}\sin ^{2}\beta ^{2}\beta }}}{{\gamma }\cos \beta )\sin \gamma +p_{\\beta \cos \cos \gamma \right)^{2+{\fr_{{{{p_{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{2}}}}}}I_{3}}.\\end{aigned}}$

양자역학강성로터

통상적으로 계량화는 일반화된 모멘텀a를 표준적으로 결합 변수(포지션)와 관련하여 첫 번째 파생상품을 제공하는 사업자에 의해 대체된다. 그러므로,

${\displaystyle p_{\filency }\longrightarrow -i\hbar {\frac {\frac {}{\filency \filency }}}}$

$그리고{\displaystyle {}_{}}$ p ${\$과 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\}\}\}\}$의 경우, 이 규칙이 3개의 오일러 각 중 상당히 복잡한 $함수{\displaystyle {}_{}}$ p ${\$ p_${\alpha }$을 심프로 대체한다는 것은 주목할 만하다.시간 또는 관성 모멘트에 의존하지 않고 하나의 오일러 각도로만 구별되는 르 차동 연산자.

정량화 규칙은 고전적인 각도 모멘텀에 해당하는 연산자를 얻기에 충분하다. 공간고정 각운동량 연산자와 차체고정각운동량 연산자의 두 종류가 있다. 둘 다 벡터 연산자 즉, 둘 다 각각 공간 고정 프레임과 차체 고정 프레임을 회전할 때 그들 사이에서 벡터 구성 요소로 변하는 세 가지 성분을 가지고 있다. 강체 로터 각도 운동 연산자의 명시적 형식은 여기에 제시되어 있다(그러나 이 연산자를 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$로 곱해야 한다).$$ 차체 고정 각운동량 연산자는 ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ i ${\$로 기록된다$.$ 그들은 변칙적인 교화 관계를 만족시킨다.

정량화 규칙은 고전적인 해밀턴식으로부터 운동 에너지 연산자를 얻기에 충분하지 않다. 고전적으로 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle \beta }$ β${\displaystyle }$${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\cos \$$displaystyle \sin \beta }$과(와)와(와) 통용되기 때문에 고전 해밀턴에서 이러한 삼각함수의 위치는 임의적이다. 정량화 후에는 통화가 더 이상 유지되지 않고 해밀턴(에너지 운영자)의 연산자와 함수 순서가 관심 지점이 된다. 포돌스키는^[2] 1928년 라플라스-벨트라미 연산자(시간${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle {\hslash \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}{2$}}\hbar ^{2$가 양자역학적 운동 에너지 연산자에 적합한 형태를 갖도록 제안했다. 이 연산자는 일반적 형태(summation convention: sum over repeated indexs—$$이 경우 3개의 오일러 각도 ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {}^{}{q\mathrm{}}^{}\alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, $γ${ {$q^{1$}, q^{$2},\q$^{3$}\equiv \alpha$,\,\\$beta ,\,gamma }).$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\; g ^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}} g ^{\frac {1}{2}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}},}$

여기서 ${\displaystyle g}$ $displaystyle$g$}$은(는) g-변수의 결정 요인이다.

${\displaystyle g =I_{1}\,I_{2}\,I_{3}\,\sin ^{2}\beta \quad \quad {\hbox{and}}\quad g^{ij}=\좌측(\mathbf {g}{1}\오른쪽)_{ij}.}$

위의 미터법 텐서의 역순으로 볼 때, 오일러 각도에 관한 운동에너지 연산자의 명시적 형태는 단순 치환에 따른다. (주: 해당 고유값 방정식은 (대칭 로터의 특수한 경우) 크로닉과 라비에^[4] 의해 처음으로 해결된 형태로 강체 로터에 대한 슈뢰딩거 방정식을 제공한다. 슈뢰딩거 방정식을 분석적으로 풀 수 있는 몇 안 되는 사례 중 하나이다. 이 모든 경우는 슈뢰딩거 방정식의 공식화로부터 1년 이내에 해결되었다.)

요즘에는 다음과 같이 진행하는 것이 일반적이다. $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\${\$hat {H}}$은(는) 차체 고정 각운동량 연산자로 표현될$$ 수 있음을 알 수 있다(이 증명에서 삼각함수를 가진 차분 연산자를 주의 깊게 통근해야 한다). 결과는 신체 고정 좌표로 표현된 고전적인 공식과 동일한 외관을 가지고 있다.

${\displaystyle {\hat{H}}={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽[{\frac {{\mathcal {{P}_{x}^{2}}:{}}}}{{}}}}}}}}{\frac}}}}{}}}}}}}I_{1}}+{\frac {{\mathcal{P}_{y}^{2}}:{{{}}}{{}}}}{{}}}}}{{}}}}}}I_{2}}}+{\frac {{\mathcal{P}}_{z}^{2}}:{{}}}{{}}}}{{}}}}}{{}}}}}}I_{3}}\오른쪽].}$

위그너 D-매트릭스에서 $P{\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{}}}_{}}$^ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 동작은 간단하다. 특히

${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=\hbar ^{2}j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\quad {\hbox{with}}\quad {\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}}_{x}^{2}+{\mathcal {P}}_{y}^{2}+{\mathcal {P}}_{z}^{2},}$

구형 로터에 대한 슈뢰딩거 방정식(${\displaystyle }$= I ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$$I_{2}=I_{3$은(는)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{2j}}$+${\displaystyle {}^{}}$1 ) 2 ${\$}}:$$$\hslash {\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{\mathrm{j}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\${\$tfrac {\hbar ^{$2}$j(j+1$){2$}{$2}}{$2$}로$$ 해결한다.$I$

대칭 상단(= 대칭 로터)은 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 특징지어진다.$I_{2$ 3< = ${\$이면 프롤레이트(시가 모양) 상의다.$I_{1}=I_{2$ 후자의 경우에는 해밀턴인을 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle {\hat{H}={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽[{\frac {{\mathcal{P}}^{2}}:}{{\frac}}}{{\frac}}}}{\mathcal}}}}I_{1}}+{\mathcal{P}_{z}^{2}\왼쪽({\frac {1}{{1}{I_{3}}-{\frac {1}{I_{1}}\오른쪽)\오른쪽],}$

그리고 그것을 사용한다.

${\displaystyle {\mathcal{p}_{z}^{2}\,D_{mk}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{j}(*}=\알파,\beta,\gamma )^{2}^{2}}}}$

그러므로

${\displaystyle {\hat {H}}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=E_{jk}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\quad {\hbox{with}}\quad {\frac {1}{\hbar ^{2}}}E_{jk}={\frac {j(j+1)}{2I_{1}}+k^{2}\왼쪽({\frac {1}{2})I_{3}}-{\frac {1}{2}I_{1}}\오른쪽).}$

고유값 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle 2}$j + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle 2j+$1} -폴드$$ 퇴화인데, $m{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{j}}$+ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$j , j, ${\displaystyle j}$ ${\displaystym m=-j,-j+1,\dots ,j}$은 동일한 고유값을 갖는다$$. k > 0을 가진 에너지는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle 2j}$ + ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ 2 $(2j+1)}-$배열이다$$. 대칭 상단의 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해법은 1927년에 처음 발견되었다.^[4]

비대칭 상단 문제(${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$3$\})$는 정확히 용해되지 않는다.

분자 회전 직접 실험 관측

오랫동안 분자 회전은 실험적으로 직접 관찰할 수 없었다. 원자 분해능을 가진 측정 기술만이 단일 분자의 회전을 탐지할 수 있게 했다.^[5][6] 낮은 온도에서 분자(또는 그 일부)의 회전은 냉동될 수 있다. 이는 터널링 현미경 스캔을 통해 직접 시각화할 수 있다. 즉, 안정화는 회전 엔트로피에 의해 더 높은 온도에서 설명될 수 있다.^[6] 단일 분자 수준에서 회전 팽창을 직접 관찰한 것은 최근 스캐닝 터널링 현미경으로 비탄성 전자 터널링 분광법을 사용해 달성했다. 분자 수소와 그 동위원소의 회전소비가 검출되었다.^[7][8]

참고 항목

• 밸런싱머신
• 자이로스코프
• 적외선 분광기
• 강체체
• 회전 분광기
• 분광학
• 진동 분광학
• 양자 회전자 모델

참조

일반참조

• D. M. Dennison (1931). "The Infrared Spectra of Polyatomic Molecules Part I". Rev. Mod. Phys. 3 (2): 280–345. Bibcode:1931RvMP....3..280D. doi:10.1103/RevModPhys.3.280. (특히 섹션 2: 다원자 분자의 회전).
• Van Vleck, J. H. (1951). "The Coupling of Angular Momentum Vectors in Molecules". Rev. Mod. Phys. 23 (3): 213–227. Bibcode:1951RvMP...23..213V. doi:10.1103/RevModPhys.23.213.
• McQuarrie, Donald A (1983). Quantum Chemistry. Mill Valley, Calif.: University Science Books. ISBN 0-935702-13-X.
• Goldstein, H.; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (Third ed.). San Francisco: Addison Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-65702-3. (4장 및 5장)
• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. (6장).
• Kroto, H. W. (1992). Molecular Rotation Spectra. New York: Dover.
• Gordy, W.; Cook, R. L. (1984). Microwave Molecular Spectra (Third ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-08681-9.
• Papoušek, D.; Aliev, M. T. (1982). Molecular Vibrational-Rotational Spectra. Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-99737-7.