위그너 D-매트릭스 는 그룹 SU(2) 와 SO(3)의 수정 불가능한 표현 에 있는 단일 매트릭스 다. D 매트릭스의 복합 결합은 구형 및 대칭 강체 로터 의 해밀턴식 고유 기능이다. 이 매트릭스는 1927년 유진 위그너 에 의해 소개되었다. D 는 독일어로 "표현"을 의미하는 다르스텔룽 을 의미한다.
위그너 D 매트릭스 정의 Jx ,Jy ,J z SU(2)와 SO(3)의 Lie 대수학 의 생성자가 되게 한다.양자역학 에서 이 세 연산자는 각운동량 이라고 알려진 벡터 연산자의 성분이다.원자 안에서 전자의 각운동량 , 전자 스핀 , 강체 로터 의 각운동량 등이 그 예다.
모든 경우에, 세 운영자는 다음과 같은 감화 관계 를 만족한다.
[ J x , J y ] = i J z , [ J z , J x ] = i J y , [ J y , J z ] = i J x , {\displaystyle [J_{x}, J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x}}}}} 여기서 나 는 순전히 상상의 수이고 플랑크의 상수 ħ 은 1과 같게 설정되었다. 카시미르 오퍼레이터
J 2 = J x 2 + J y 2 + J z 2 {\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+ J_{y}^{2}+J_{z}^{2}} 리 대수학의 모든 발전기와 통근하다. 따라서 J 와z 함께 대각선화 될 수 있다.
이것은 여기서 사용되는 구형 기준 을 규정한다. 즉, 이 기준에서, 다음과 같이 하는 완전한 kets 집합이 있다.
J 2 j m ⟩ = j ( j + 1 ) j m ⟩ , J z j m ⟩ = m j m ⟩ , {\displaystyle J^{2} jm\rangele =j(j+1) jm\rangele,\quad J_{z}jm\rangele =m jm\rangele ,} 여기서 j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...는 SU(2)이고 j = 0, 1, 2, ...은 SO(3)이다. 두 m -j, -j + 1, ..., j.
3차원 회전 연산자 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
R ( α , β , γ ) = e − i α J z e − i β J y e − i γ J z , {\displaystyle {\mathcal {R}(\alpha,\beta,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}e^{-i\beta J_{y}e^{-i\i\gamma J_{z},},} 여기서 α , β , γ 은 오일러 각도 (키워드: z-y-z 컨벤션, 오른손 프레임, 오른손 나사 규칙, 능동적 해석)이다.
위그너 D-매트릭스 는 원소가 있는 이 구형 기준에서 치수 2j + 1의 단일 사각 행렬이다.
D m ′ m j ( α , β , γ ) ≡ ⟨ j m ′ R ( α , β , γ ) j m ⟩ = e − i m ′ α d m ′ m j ( β ) e − i m γ , {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm' {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma },} 어디에
d m ′ m j ( β ) = ⟨ j m ′ e − i β J y j m ⟩ = D m ′ m j ( 0 , β , 0 ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm' e^{-i\beta J_{y}jm\angle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)}}} 직교 위그너(작은) d 매트릭스 의 한 요소다.
즉, 이 기준에서 보면
D m ′ m j ( α , 0 , 0 ) = e − i m ′ α δ m ′ m {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}}} 위 β 계수 와 달리 β 계수와 같은 대각선이다.
위그너(작은) d 매트릭스 위그너는 다음과 같은 표정을 지었다.[1]
d m ′ m j ( β ) = [ ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ( j + m ) ! ( j − m ) ! ] 1 2 ∑ s = s m i n s m a x [ ( − 1 ) m ′ − m + s ( cas β 2 ) 2 j + m − m ′ − 2 s ( 죄를 짓다 β 2 ) m ′ − m + 2 s ( j + m − s ) ! s ! ( m ′ − m + s ) ! ( j − m ′ − s ) ! ] . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\m')=[(j+m')!(j+m)!(j-m)!(j-m)!(j-m)!] ^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)! s!(m-m+s)!(j-m-s)! }}}\오른쪽. } The sum over s is over such values that the factorials are nonnegative, i.e. s m i n = m a x ( 0 , m − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {min} }=\mathrm {max} (0,m-m')} s m a x = m i n ( j + m , j − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {max} }=\mathrm {min} (j+m,j-m')}
참고: 여기에서 정의한 d-매트릭스 요소는 실제적이다.흔히 사용되는 오일러 각도 의 z-x-z 규약에서 이 공식의( 1 m ′ m s {\ displaystyle(-1)^{m'm+s}} s im ′, displaystyle(-1)^{si^{m-m-m'}}}}}}}}} d-매트릭스 요소의 현실성은 이 글에서 사용되는 z-y-z 관례가 일반적으로 양자 기계적 용도에서 선호되는 이유 중 하나이다.
d-매트릭스 요소는 Jacobi 다항식 P k a cos β {\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )}}}( 관련 비음극 {\displaystystyle b.} [2]
k = 분 ( j + m , j − m , j + m ′ , j − m ′ ) . {\displaystyle k=\min(j+m, j-m, j+m, j+m') } 만약
k = { j + m : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m j − m : a = m − m ′ ; λ = 0 j + m ′ : a = m − m ′ ; λ = 0 j − m ′ : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m {\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}} 그런 다음 b 2j 2k a {\displaystyle b=2j-2k-a,}
d m ′ m j ( β ) = ( − 1 ) λ ( 2 j − k k + a ) 1 2 ( k + b b ) − 1 2 ( 죄를 짓다 β 2 ) a ( cas β 2 ) b P k ( a , b ) ( cas β ) , {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right) ^{a}\왼쪽(\cos {\frac {}{2}}\오른쪽)^{b_{k}^{(a,b)}(\cos \beta ),} 여기 b ≥ 0. {\displaystyle a,b\geq 0.}
위그너 D 매트릭스의 특성 D-매트릭스의 복합 결합은 x y z 1 2 {\디스플레이 (x,y,z)=(1,2,3),}
J ^ 1 = i ( cas α 요람을 달다 β ∂ ∂ α + 죄를 짓다 α ∂ ∂ β − cas α 죄를 짓다 β ∂ ∂ γ ) J ^ 2 = i ( 죄를 짓다 α 요람을 달다 β ∂ ∂ α − cas α ∂ ∂ β − 죄를 짓다 α 죄를 짓다 β ∂ ∂ γ ) J ^ 3 = − i ∂ ∂ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right) \\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right) \\hat {\mathcal {J}_{3}&=-i{\partial \partial \alpha }\ended}}}}} 양자 역학적 의미를 지닌다: 공간 고정식 강체 로터 각도 모멘텀 연산자다.
더 나아가서
P ^ 1 = i ( cas γ 죄를 짓다 β ∂ ∂ α − 죄를 짓다 γ ∂ ∂ β − 요람을 달다 β cas γ ∂ ∂ γ ) P ^ 2 = i ( − 죄를 짓다 γ 죄를 짓다 β ∂ ∂ α − cas γ ∂ ∂ β + 요람을 달다 β 죄를 짓다 γ ∂ ∂ γ ) P ^ 3 = − i ∂ ∂ γ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right) \\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right) \\hat {\mathcal {P}_{3}&=-i{\partial \partial \gamma},\\\ended}}}} 양자 역학적 의미를 지닌다: 그들은 차체 고정식 강체 로터 각도 운동량 연산자 이다.
운영자는 통신 관계 를 만족시킨다.
[ J 1 , J 2 ] = i J 3 , 그리고 [ P 1 , P 2 ] = − i P 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3},} 그리고 해당 지수와의 관계는 순환적으로 허용되었다. P i {\ displaystyle {\mathcal{P}_{i}} 변칙적인 감화 관계 를 만족시킨다
둘은 서로 통근하고
[ P i , J j ] = 0 , i , j = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {P}_{i},{\mathcal {J}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,} 그리고 제곱한 총 연산자는 같다.
J 2 ≡ J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 = P 2 ≡ P 1 2 + P 2 2 + P 3 2 . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}. } 그들의 명시적인 형태는,
J 2 = P 2 = − 1 죄를 짓다 2 β ( ∂ 2 ∂ α 2 + ∂ 2 ∂ γ 2 − 2 cas β ∂ 2 ∂ α ∂ γ ) − ∂ 2 ∂ β 2 − 요람을 달다 β ∂ ∂ β . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}. } 연산자 Ji {\ displaystyle {\mathcal{J}_{i}
J 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m ′ D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ ( J 1 ± i J 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ′ ( m ′ ± 1 ) D m ′ ± 1 , m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {J}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*&=m' D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\\({\mathcal {J}_{1}\pm i{\mathcal{J}_{2}) D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*&={\\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}D_{m'\pm'{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{*}\ed}}}}}} 연산자 P i {\ displaystyle {\mathcal{P}_{i}}
P 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ , {\displaystyle {\mathcal {P}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{*}=mD_{mmm}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{*},},},} 그리고 비정상적인 정류 관계 때문에 상승/하강 연산자는 역기호로 정의된다.
( P 1 ∓ i P 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) D m ′ , m ± 1 j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle({\mathcal{P}_{1}\mp i{\mathcal {P}_{2}) D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}}}}} 마지막으로
J 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = P 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.} In other words, the rows and columns of the (complex conjugate) Wigner D-matrix span irreducible representations of the isomorphic Lie algebras generated by { J i } {\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}} { − P i } {\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}}
위그너 D-매트릭스의 중요한 속성은 시간역전 연산자 T 와α , β γ ){\displaystyle {\mathcal {R}(\alpha ,\beta ,\gamma )
⟨ j m ′ R ( α , β , γ ) j m ⟩ = ⟨ j m ′ T † R ( α , β , γ ) T j m ⟩ = ( − 1 ) m ′ − m ⟨ j , − m ′ R ( α , β , γ ) j , − m ⟩ ∗ , {\displaystyle \langle jm' {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) jm\rangle =\langle jm' T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m' {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) j,-m\rangle ^{*},} 또는
D m ′ m j ( α , β , γ ) = ( − 1 ) m ′ − m D − m ′ , − m j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}}}}} Here, we used that T {\displaystyle T} T † {\displaystyle T^{\dagger }} T j m ⟩ = ( − 1 ) j − m j , − m ⟩ {\displaystyle T jm\rangle =(-1)^{j-m} j,-m\rangle } ( − 1 ) 2 j − m ′ − m = ( − 1 ) m ′ − m {\displayst yle(-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m
더 큰 대칭은 암시한다.
( − 1 ) m ′ − m D m m ′ j ( α , β , γ ) = D m ′ m j ( γ , β , α ) . {\displaystyle(-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )=D_{m'm}^{j(\gamma,\beta,\alpha )~.} 직교 관계 The Wigner D-matrix elements D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} α , β , {\displaystyle \alpha ,\beta ,} γ {\displaystyle \gamma }
∫ 0 2 π d α ∫ 0 π d β 죄를 짓다 β ∫ 0 2 π d γ D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = 8 π 2 2 j + 1 δ m ′ m δ k ′ k δ j ′ j . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}. } 이것은 슈르 직교 관계 의 특별한 경우다.
결정적으로, 피터-와일 정리 에 의해, 그들은 더 나아가 완전 한 세트를 형성한다.
The fact that D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} l m ⟩ {\displaystyle lm\rangle } R ( α , β , γ ) l m ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma ) lm\rangle } 관계별:[3]
∑ k D m ′ k j ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ , {\displaystyle \sum_{k}D_{m'k}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{*D_{mk}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )=\delta _{m,m'}}}}} ∑ k D k m ′ j ( α , β , γ ) ∗ D k m j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ . {\displaystyle \sum \{k}D_{km'}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )^{*D_{km}^{j}(\alpha,\beta,\gamma )=\delta _{m,m'}. } SU(2)의 그룹 문자 는 회전 각도 β 에만 의존하며, 클래스 기능 이므로, 회전 축과는 무관하게,
χ j ( β ) ≡ ∑ m D m m j ( β ) = ∑ m d m m j ( β ) = 죄를 짓다 ( ( 2 j + 1 ) β 2 ) 죄를 짓다 ( β 2 ) , {\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}{m}^{m}}^{m}}(\beta )={\frac {\sinleft({\j+1)\{2}}\오른쪽) }}{\sin \left \frac {\reft }{2}}\\오른쪽)}}}}},} 그리고 결과적으로 그룹의 Haar 측정 을 통해 단순한 직교 관계를 만족시킨다.[4]
1 π ∫ 0 2 π d β 죄를 짓다 2 ( β 2 ) χ j ( β ) χ j ′ ( β ) = δ j ′ j . {\displaystyle {\frac{1}{\pi }\int _{0}^{2\pi }d\not \sin ^{2}\left\frac{}}}}\chi ^{j}(\frac )=\not_{jjj}. } 완전성 관계(동일한 참조에서 작성, (3.95))는 다음과 같다.
∑ j χ j ( β ) χ j ( β ′ ) = δ ( β − β ′ ) , {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\ju)\chi ^{j}(\juit ')=\display(\display style \sum -\cuit '),} whicce, β ′ 0 , {\displaystyle \beta '=0,}
∑ j χ j ( β ) ( 2 j + 1 ) = δ ( β ) . {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\j})(2j+1)=\cHB(\cHB) } 클렙슈고단 시리즈 위그너 D매트릭스의 크로네커 제품 크로네커 제품 매트릭스 세트
D j ( α , β , γ ) ⊗ D j ′ ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )} SO(3)와 SU(2) 그룹의 축소 가능한 행렬 표현을 형성한다. 복구할 수 없는 구성요소로의 감소는 다음 방정식에 의해 이루어진다.[5]
D m k j ( α , β , γ ) D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) = ∑ J = j − j ′ j + j ′ ⟨ j m j ′ m ′ J ( m + m ′ ) ⟩ ⟨ j k j ′ k ′ J ( k + k ′ ) ⟩ D ( m + m ′ ) ( k + k ′ ) J ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J= j-j' }^{j+j'}\langle jmj'm' J\left(m+m'\right)\rangle \langle jkj'k' J\left(k+k'\right)\rangle D_{\left(m+m'\right)\left(k+k'\right)}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )} 기호 ⟨ 1 1 j m 3 m ⟩ displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{3}m_{3 }\rangele } 클렙슈-고단 계수 다
구형 고조파 및 레전드르 다항식과의 관계 l {\displaystyle l} , 구형 고조파 및 관련 레전드르 다항식 에 비례하며, 단결로 정규화되고 콘돈 및 쇼트리 위상 규약과 함께:
D m 0 ℓ ( α , β , γ ) = 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ∗ ( β , α ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cas β ) e − i m α . {\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )={\sqrt {\frac {4\pi}{2\ell +1}}}} Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {(\ell -m)! }{{(\ell +m)! }}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta }})\,e^{-im\alpha }}} 이는 d-매트릭스에 대해 다음과 같은 관계를 의미한다.
d m 0 ℓ ( β ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cas β ) . {\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\m0})={\sqrt {\frac {(\ell -m)! }{{(\ell +m)! }}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta }). } 구형 고조파 ics, ϕ m ⟩ {\displaystyle \langle \theta,\phi \ell m'\angle }
∑ m ′ = − ℓ ℓ Y ℓ m ′ ( θ , ϕ ) D m ′ m ℓ ( α , β , γ ) . {\displaystyle \sum \m'=-\ell }^{{}Y_{\ell }}{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma). } 두 지수를 모두 0으로 설정하면 일반 레전드르 다항식 (Lendere polyomials)에 의해 Wigner D-매트릭스 요소가 주어진다.
D 0 , 0 ℓ ( α , β , γ ) = d 0 , 0 ℓ ( β ) = P ℓ ( cas β ) . {\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta). } 현재의 오일러 각도에서 α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \beta } 이는 분자물리학에서 z-y-z관례 가 자주 사용되는 이유 중 하나이다. 위그너 D 매트릭스의 시간 역반복 속성에서 즉시 따라온다.
( Y ℓ m ) ∗ = ( − 1 ) m Y ℓ − m . {\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\오른쪽) ^{*}=(-1)^{m} Y_{\ell }^{-m}. } 스핀 가중 구면 고조파 에는 보다 일반적인 관계가 존재한다.
D m s ℓ ( α , β , − γ ) = ( − 1 ) s 4 π 2 ℓ + 1 s Y ℓ m ( β , α ) e i s γ . {\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\4\pi }{2{\\ell }+1}{}_{s} Y_{\\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }} [6] Besel 함수에 대한 관계 ℓ m m { {\ displaystyle \ell \gg m,m^{\prime}}}
D m m ′ ℓ ( α , β , γ ) ≈ e − i m α − i m ′ γ J m − m ′ ( ℓ β ) {\displaystyle D_{mm'}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )\관련 e^{-im\alpha -im'\gamma }J_{m-m'(\ell \beta )}} 여기서 J m ′ ( ℓ β {\displaystyle J_{m-m'}(\ell \beta 베셀 함수 이며 and β {\displaystyle \ell \beta }}
d-매트릭스 원소 목록 위그너의 기호 규약을 사용하여 d m θ {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )} j = 1/2, 1, 3/2 및 2에 대해 아래에
for j = 1/2
d 1 2 , 1 2 1 2 = cas θ 2 d 1 2 , − 1 2 1 2 = − 죄를 짓다 θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}} j = 1인 경우
d 1 , 1 1 = 1 2 ( 1 + cas θ ) d 1 , 0 1 = − 1 2 죄를 짓다 θ d 1 , − 1 1 = 1 2 ( 1 − cas θ ) d 0 , 0 1 = cas θ {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}} j = 3/2인 경우
d 3 2 , 3 2 3 2 = 1 2 ( 1 + cas θ ) cas θ 2 d 3 2 , 1 2 3 2 = − 3 2 ( 1 + cas θ ) 죄를 짓다 θ 2 d 3 2 , − 1 2 3 2 = 3 2 ( 1 − cas θ ) cas θ 2 d 3 2 , − 3 2 3 2 = − 1 2 ( 1 − cas θ ) 죄를 짓다 θ 2 d 1 2 , 1 2 3 2 = 1 2 ( 3 cas θ − 1 ) cas θ 2 d 1 2 , − 1 2 3 2 = − 1 2 ( 3 cas θ + 1 ) 죄를 짓다 θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \thet a )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta}{2}}\end{aigned}}} j = 2인[7]
d 2 , 2 2 = 1 4 ( 1 + cas θ ) 2 d 2 , 1 2 = − 1 2 죄를 짓다 θ ( 1 + cas θ ) d 2 , 0 2 = 3 8 죄를 짓다 2 θ d 2 , − 1 2 = − 1 2 죄를 짓다 θ ( 1 − cas θ ) d 2 , − 2 2 = 1 4 ( 1 − cas θ ) 2 d 1 , 1 2 = 1 2 ( 2 cas 2 θ + cas θ − 1 ) d 1 , 0 2 = − 3 8 죄를 짓다 2 θ d 1 , − 1 2 = 1 2 ( − 2 cas 2 θ + cas θ + 1 ) d 0 , 0 2 = 1 2 ( 3 cas 2 θ − 1 ) {\displaystyle {\regated}d_{2,2}^{2}^{2}&={\frac {1}{1}{4}}}\1+\cos \cos \1}{6pt]d_{2}^{2}&=-{\frac{1}}}}}\sin \ta \cos \ta \\\\\csin \cs \cs \csa \cappita \i1} \[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac{3}}}\sin ^{2}\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{1}2}}\sin \ta \left (1\cos \ta \오른쪽)\\ \[6pt]d_{2,-2}^{2}^{\frac {1}{1}={\1}{4}}\1\(1-\cos \theta \right)^{2}\{6pt]d_{1,1}^{1}^{2}&={1}{1}{1}}{1}}{2}\cos \cos \ta \cos \ta -1\cos \ta \ta \ta -1\ta -1\cos \ta \cos \ta \ta \ \[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac{3}{8}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\fract{1}{1}{1}{1}{1}{1}}}}}}}={{{{{1}{1}{{1}prefrac {1}{{1}{1}{{{{{{{{1}}}}}}\copt}\cos2}\cos2}\copta +\cosa + \[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{1}:{2}}\좌측(3\cos ^{2}\theta -1\우측)\end{aigned}}}} 하위 지수가 스와핑된 Wigner d-매트릭스 요소는 다음과 같은 관계를 가지고 있다.
d m ′ , m j = ( − 1 ) m − m ′ d m , m ′ j = d − m , − m ′ j . {\displaystyle d_{m',m}^{j}={j}^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}. } 대칭 및 특수 사례 d m ′ , m j ( π ) = ( − 1 ) j − m δ m ′ , − m d m ′ , m j ( π − β ) = ( − 1 ) j + m ′ d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( π + β ) = ( − 1 ) j − m d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( 2 π + β ) = ( − 1 ) 2 j d m ′ , m j ( β ) d m ′ , m j ( − β ) = d m , m ′ j ( β ) = ( − 1 ) m ′ − m d m ′ , m j ( β ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\bet a )\end{aigned}} 참고 항목 참조 ^ Wigner, E. P. (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren . Braunschweig: Vieweg Verlag. ^ Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics . Reading: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13507-8 ^ Rose, Morris Edgar (1995). Elementary theory of angular momentum ISBN 0-486-68480-6 OCLC 31374243 . ^ 슈윙거, J. "각운동량" 하버드 대학교 원자력 개발 어소시에이츠 주식회사, 미국 에너지부 (전임 기관인 원자력 위원회 를 통해) (1952년 1월 26일) ^ 로즈, M. E. 기초 각운동량 이론 뉴욕, 존 와일리 & 선즈, 1957년 ^ https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-4-431-54180-6%2F1.pdf ^ Edén, M. (2003). "Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory". Concepts in Magnetic Resonance Part A . 17A (1): 117–154. doi :10.1002/cmr.a.10061 . 외부 링크 
![[J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174ba69063f90a76d451af6dea3b8e8519411e7c)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a61f599b558e2540e6d57e30d7f7c4dd2c1fa9b)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326a21d58e05ac4f1307e913b9885b33458a16f)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6154fa1b814eb691be07d38efdd69930fb5d03cd)
R
. 
회전은 사실상 두 회전으로 구성된다.
(는) 세로 각도, β 
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e5474f4cbdd9e476644650d447f05a2bf6bcf2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016c3cd83ccd7f285334e8f03a4413183fc12ac4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abde770b0ef91fba9d3d318f7cc82387361e913)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4371f5663c4a9625357ce17d64397dd63f981117)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\beta )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1485b033a390e8fae8a19860ef2a90509dc5ddba)
