사케리 사방형

사케리 사변(Khayyam-Saccheri 사변이라고도 함)은 두 변이 베이스에 수직인 사변형이다. 1733년 처음 출간된 유클리드 아브 옴니내보 빈디카투스(문학적으로 모든 결함에 자유로워진 유클리드)에서 이를 광범위하게 사용한 조반니 게롤라모 사체리의 이름을 따온 것으로, 리듀크티오 어드 부조리움(Reducedctio ad lonyum)이라는 방법을 사용하여 평행 자세법을 증명하려는 시도였다.

사케리 4각형의 첫 번째 고려사항은 11세기 후반의 오마르 카예암에 의해 알려졌으며, 때때로 카예암-사케리 4각형으로 언급되기도 한다.^[1]

Saccheri 4각형 ABCD의 경우, 측면 AD와 BC(다리라고도 함)는 길이가 같으며, 기초 AB에도 수직이다. 상단 CD는 정상 또는 상단 베이스로 C와 D의 각도를 정상각이라고 한다.

병렬 측정을 고려할 때 사케리 사변측정감시법을 사용할 경우의 이점은 상호 배타적 옵션을 매우 명확한 용어로 배치한다는 것이다.

정상 각도는 직각인가, 둔각인가, 급성각인가?

밝혀진 바에 따르면:

• 정상 각도가 직각일 때, 이 사각형의 존재는 유클리드 5번째 추정에 의해 설명되는 진술과 동일하다.
• 정상 각도가 급할 때, 이 사각형은 쌍곡 기하학으로 이어진다.
• 정상 각도가 둔탁할 때, 정사각형은 타원형 또는 구형 기하학으로 이어진다. (또한^[2] 일부 다른 수정을 가하는 형태도 있다.)

그러나 사케리 자신은 둔탁한 경우와 급성적인 경우 모두 모순되는 것으로 보일 수 있다고 생각했다. 그는 둔감한 사건이 모순적이라는 것을 보여주었지만, 급성 사건을 제대로 다루지 못했다.^[3]

역사

사케리 사변측정감시(Sacchri 4ramethyam)는 11세기 말 유클리드 목사의 난관에 대한 설명 제1권(Book I of the I of the Position of the Physulate of the Phillimities of the Phillimities of the Phillimities of the Philities)^[1]에서 처음으로 오마르 카이얌(1048-11 유클리드 전후에 관한 많은 해설가들과 달리(물론 사케리 포함) 카예암은 그와 같은 병행적 체념을 증명하려 하지 않고 '철학자의 원리'(아리스토틀)에서 공식화한 동등한 체념에서 도출하려고 하고 있었다.

두 개의 수렴 직선이 교차하고 두 개의 수렴 직선이 그들이 수렴하는 방향으로 갈라지는 것은 불가능하다.^[4]

그 후 카이얌은 사크리 4각형의 정상 각도가 취할 수 있는 옳고 둔하고 예리한 세 가지 경우를 고려했고, 그에 대한 여러 가지 이론들을 입증한 후, 그는 (정확히) 자신의 추정에 근거하여 둔탁하고 예리한 유클리드(유클리드)의 추론을 도출했다.

지오다노 비탈레는 그의 저서 유클리드 레스티투오(1680, 1686년)에서 하이야암에 대해 진격하여 베이스 AB와 정상 CD에 3점이 등거리면 AB와 CD가 등거리 어디에나 있다는 것을 증명하기 위해 4각형을 사용했다.

사케리 자신은 그의 길고 궁극적으로 결점이 있는 4각형의 주위와 그것의 세 가지 경우에 대한 그의 모든 증거에 기초하여, 그것의 특성에 대한 많은 이론들을 증명했다.

쌍곡 기하학의 사커리 사변측정감시

ABCD는 AB를 베이스로 하고 CD는 정상으로, CA와 DB는 베이스에 수직인 동일한 면으로 하는 Saccheri 4각형이 되도록 하자. 다음 특성은 쌍곡 기하학의 모든 사케리 사각형에서 유효하다.^[5]

• 정상 각도(C와 D의 각도)는 동일하고 급하다.
• 정상의 길이가 기지보다 길다.
• 다음과 같은 경우 2개의 사케리 사변측정감시선이 일치한다.
  • 기본 세그먼트와 정상 각도가 일치한다.
  • 정상 부분과 정상 각도는 일치한다.
• 기지의 중간점과 정상회담의 중간점에 합류하는 라인 세그먼트:
  • 기지와 정상과 수직이고
  • 4각형의 유일한 대칭선이고
  • 베이스와 서밋을 연결하는 가장 짧은 구간이다.
  • 측면의 중간점을 연결하는 선에 수직이다.
  • 사케리 사변형을 두 개의 램버트 사변측정감시선으로 나눈다.
• 측면의 중간점을 연결하는 선 세그먼트는 어느 한 측면에 수직이 아니다.

방정식

일정한 곡률의 쌍곡면${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$에서$,$ Saccheri 4각형의$$ $정상{\displaystyle }$ s$${\$displaystyle$s}은$$(는) $l{\displaystyle }${\$displaystyle$l}과$$(는) $공식$을 사용하여$$다리 l {\$displaystyle b}$에서 계산할 수 있다.

${\displaystyle \cosh s=(\cosh b-1)\cosh ^{2}l+1=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l}$^[6]

${\displaystyle \sinh \frac {s}{2}}\오른쪽)=\cosh \왼쪽(l\오른쪽)\sinh \left\frac {b}{2}}\오른쪽)}$^[7]

푸앵카레 디스크 모델의 틸링

쌍곡면의 푸앵카레 디스크 모델의 기울기는 사크리 사분변측정감시(Saccheri Quadramety)를 기본 영역으로 가지고 있다. 직각 2개 외에도, 이 사변측정감시들은 급정각의 정상 각도를 가지고 있다. 틸팅은 *n22 대칭(orbifold 표기법)을 나타내며 다음을 포함한다.

*332 대칭

*∞∞22 대칭

참고 항목

• 램버트 사각형

메모들

참조

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• M. J. 그린버그, 유클리드 및 비유클리드 기하학: 개발 및 역사, 제4판 W. H. 프리먼, 2008.
• 조지 E. 마틴, 기하학의 기초와 비유클리드 평면, 스프링거-베를라크, 1975