포화 집합

수학에서, 특히 집합 이론과 위상의 하위 영역에서, C$$${\displaystyle$ $C}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$의$$$도메인{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ $X$$}$의 부분 집합인$$ 경우$$ $f{\displaystyle }$${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$에 대해 $집합{\displaystyle }$ C ${\displaysty$}이 포화되었다고 한다$$.$e f}$ sends two points ${\displaystyle c\in C}$ and ${\displaystyle x\in X}$ to the same value then ${\displaystyle x}$ belongs to ${\displaystyle C}$ (that is, if ${\displaystyle f(x)=f(c)}$ then ${\displaystyle x\in C}$).좀더 간결하게 $말하지만{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$= f - ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle f}$( )$$. {\$displaystyle$ $C$$}$이(${\displaystyle 가}$) 포화상태라면 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ C$=f^{-1}(f(C))$라고 한다$$.$}$

위상에서 위상 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$의 부분 집합은 $X{\displaystyle }$ .${\displaystyle X.}$의 열린 하위 집합의 교차점과 같을 경우 포화된다. T 공간에서는₁ 모든 집합이 포화된다.

정의

예선

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$을(를) 지도로 한다$$.$S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S,}$이(가) 설정된 $경우$ f ${\displaystyle$ f$} 아래$에서 해당 이미지를 다음과 같이 정의하십시오$$.

$그리고{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 따라 사전 이미지 또는 역 이미지를 다음과$$ 같이 정의하십시오.

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle y\in Y}$이(가)$$y {\$displaystyle y}$에 대한 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 섬유는 사전 이미지로 정의된다$$.

$f$ ${\displaystyle f}$의$$코드체인 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 단일 점의 모든 사전 이미지를 f ${\displaystyle$ f$} 섬유$라고 한다$.$

포화 세트

세트 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화$$ 상태로 불리며, $C$ ${\displaystyle C}$이$($가) f ${\displaystyle$ $f{\displaystyle }$$}$의 도메인 X ${\displaysty X}$의 하위 집합이고$$$$ 다음 동등한 조건 중 하나가 충족되면 f ${\displaystystyf}$에 대해 포화되었다고 한다.^[1]

1. ${\displaystyle C=f^{-1}(f(C)).}$
2. $C{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle C=f^{-1}(S$)와 같은$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 있다$.$$}$
   • Any such set ${\displaystyle S}$ necessarily contains ${\displaystyle f(C)}$ as a subset and moreover, it will also necessarily satisfy the equality ${\displaystyle f(C)=S\cap \operatorname {Im} f,}$ where ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ denotes the image of $$${\displaystyle f.$$}$
3. $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c\in C}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="c\backslash in\; C"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/447d3982c94c23d6b6d01c90da81a6125aa26567"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.614ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="126">}}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$\in X}$이(${\displaystyle 가}$) ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f(x)=f(c),}$을(가) 충족하면 $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$. ${\displaystystyle$ x$\in C.$
4. If ${\displaystyle y\in Y}$ is such that the fiber ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ intersects ${\displaystyle C}$ (that is, if ${\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing }$), then this entire fiber is necessarily a subset of ${\displaystyle C}$ (that is, ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle (}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C}$ $$)
5. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $y{\displaystyle \in }$ , ${\displaystyle$ $y\in$ $Y}$에 대해 $교차점{\displaystyle }$ C ${\displaystyle \cap {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle C\cap f^{-1}(y)$은 빈 집합 $\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varnothy}$ $또는$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}y}$) $.\displaysty}(y$)과 동일하다$.$$}$

예

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 어떤 함수가 되게$$ 한다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 설정된 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 아래의$$ 사전 $이미지{\displaystyle }$ C ${\displaystyle :=}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}S}$) ${\displaystyle C:=f^{-1(S)}$은 $반드시{\displaystyle }$ f ${\displaystyf}$ -포화된$$ 집합이다$$.특히 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 모든 섬유는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화$$ 집합이다$$.

특성.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ $및$ T ${\displaystyle T}$을(를) 임의의 집합으로$$ 하고 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 임의의 함수로 한다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 또는$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화$$ 상태인 경우

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ -포화$$ 상태인 경우

여기서 특히, $설정$된 S$.${\$displaystyle S.}$에 어떠한 요구사항이나 조건도 배치되지 않았음을 유의한다.

참고 항목

• 세트 ID 및 관계 목록 - 세트 조합에 대한 동일성

참조

• G. Gierz; K. H. Hofmann; K. Keimel; J. D. Lawson; M. Mislove & D. S. Scott (2003). "Continuous Lattices and Domains". Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.
• Monk, James Donald (1969). Introduction to Set Theory (PDF). International series in pure and applied mathematics. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042715-0. OCLC 1102.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.