사우어브레이 방정식

자우어브레이 방정식은 1959년 독일 귄터 자우어브레이가 독일 베를린 공과대학에서 박사학위 논문을 연구하던 중 개발했다.압전 결정의 진동 주파수 변화와 그 위에 퇴적된 질량을 연관짓는 방법입니다.그는 이 결정을 발진기 회로의 주파수 결정 성분으로 사용하여 특성 주파수와 그 변화를 측정하는 방법을 동시에 개발했다.그의 방법은 주파수에서 질량으로 변환하기 위한 쿼츠 결정 마이크로 밸런스(QCM) 실험에서 주요 도구로 계속 사용되며 거의 모든 애플리케이션에서 유효합니다.

이 방정식은 퇴적된 질량을 마치 기초 ^[1][2]석영 두께의 확장인 것처럼 처리함으로써 도출됩니다.이 때문에 질량 대 주파수 상관(Sauerbrey의 방정식에 의해 결정됨)은 전극 기하학과는 거의 독립적입니다.이를 통해 보정 없이 대량 측정을 할 수 있어 비용과 시간 투자 관점에서 설정이 바람직합니다.

Sauerbrey 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \Delta f=-{\frac {2f_{0}^2}}{A{\sqrt {rho _{q}\mu _{q}}}\Delta m}}$

여기서:

${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$ – 기본 모드의 공진 주파수(Hz)

$f$\ $displaystyle$ \$Delta$ $$f }– 정규화된 주파수 변화(Hz)

$m(\displaystyle$\$Delta$ m) – 질량 변화(${\displaystyle \mathrm{g}}$)

$A(\displaystyle$ A$)$ – 압전 활성 결정 영역(전극 사이의 면적, cm²)

$q$ \$displaystyle$ \ $rho$_ {$$q } - 석영 ${\displaystyle {}_{}}$ ($$ q \$displaystyle$ \$rho _${q} $$= 2.648 g³/cm )

${\displaystyle {\mu }_{}}$q { $displaystyle$\ $mu$$$_ {$$$q$} =$$ 2.947¹¹ x 10 g · cm⁻¹ · s⁻² ) ${\displaystyle {}_{}}$ 컷 결정용 석영 전단 계수

정규화 주파수 ${\displaystyle \delta }$f {\$displaystyle \Delta$ f$}$는 해당 모드의 공칭 주파수 편이를 모드 번호로 나눈 값입니다(대부분의 소프트웨어는 기본적으로 정규화된 주파수 편이를 출력합니다).필름은 두께의 확장으로 취급되기 때문에 Sauerbrey의 방정식은 세 가지 조건이 충족되는 시스템에만 적용됩니다. 즉, 석출 질량은 강성이어야 하며 석출 질량은 균일하게 분포되어야 하며 $주파수$ 변화$$f /$$ \ $Delta$f / $f$} ^[3]< 0.05입니다.

주파수 변화가 5% 이상일 경우, 즉 ${\displaystyle \delta }$f /$$f \ $displaystyle$\$Delta$ f$/f$> 0.05를 사용하여 질량의 변화를 판단해야 합니다.^[2]Z-match 방식의 공식은 다음과 같습니다.^[2]

$디스플레이 스타일A}}\ = flac {N_{q}\rho _{q}{\pi Zf_{L}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {f_{U}-f_{L}}}{f_{f}}U}}}\right)\right]}$

식 2 – Z-match 방법

${\displaystyle f_{}}$ L$(\$}})$$ – 로딩된 결정의 주파수(Hz)

${\displaystyle f_{}}$ U$(\$ – 언로드된 결정의 빈도.공진 주파수(Hz)

$(\$ – AT컷 석영 결정 주파수 정수(1.668x10Hz¹³·O)

$m(\displaystyle$\$Delta$ m) – 질량 변화(${\displaystyle \mathrm{g}}$)

$A(\displaystyle$ A$)$ – 압전 활성 결정 영역(전극 사이의 면적, cm²)

$q$ \$displaystyle$ \ $rho$_ {$$q } - 석영 ${\displaystyle {}_{}}$ ($$ q \$displaystyle$ \$rho _${q} $$= 2.648 g³/cm )

$(\displaystyle$ Z$)$ – 필름 재료의 Z 계수 ${\displaystyle =\sqrt{}}$ (\$displaystyle$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}{}_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{q_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\rho }_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}{}_{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\mu }_{}}{}\frac{{}_{}}{}}}$f )$= rt$(\ $left$\$frac$_ { $rq }$ \ $mu$_ { rho $_$ { $f}$} \ $rho$ _ { $f}$} \ $right )$$}}}$

$§$ $f {\displaystyle$ \$rho _{$f}} – 필름 ${\displaystyle {\mathrm{밀도}}_{}}$ (변수: 단위는 g³/cm)

${\displaystyle {\mu }_{}}$q { $displaystyle$\ $mu$_ {$$${\displaystyle q_{}}$} - 석영 ${\displaystyle {}_{}}$ 계수 (μ q⁻¹ \ $displaystyle$\ $mu$_ {$q$} =$$ 2.947¹¹ x 10 g · cm · s⁻² )

${\displaystyle {\mu }_{}}$f \ $displaystyle$\ $mu$_ { $f$} – 필름의 전단 계수 (변수: 단위는 g·cm⁻¹·s⁻²)

제한 사항

Sauerbrey 방정식은 공기 중의 진동을 위해 개발되었으며 결정체에 부착된 단단한 질량에만 적용됩니다.액체에서 석영 결정 마이크로 밸런스 측정을 수행할 수 있으며, 이 경우 공진 주파수의 점도와 관련된 감소가 관찰됩니다.

$\displaystyle \Delta f={-\f_{0}^3/2}(\eta _{l}\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^1/2}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\$ l \ $displaystyle \rho _{$l$$}은 액체의 농도, ${\displaystyle l_{}}$l \ $displaystyle \eta$ _${l}$은 액체의 점도,$n{\displaystyle }$ \ $displaystyle$n은$$ 모드 ^[4]번호입니다.

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