스칼라-벡터-텐서 분해

우주 섭동 이론에서 스칼라-벡터-텐서 분해는 프리드만-레마슈트레-로버트슨-워커 메트릭의 가장 일반적인 선형화된 섭동을 공간 회전에 따른 변형에 따라 구성요소로 분해하는 것이다.1946년 E. M. 리프시츠에 의해 처음 발견되었다.헬름홀츠의 정리(헬름홀츠 분해 참조)에 따른다.일반적인 미터법 섭동은 10도의 자유도를 가진다.분해에 따르면 프리드만-레마슈트레-로버트슨-워커 메트릭의 가장 일반적인 선형화된 섭동에 대한 진화 방정식을 네 개의 스칼라, 두 개의 분리가 없는 공간 벡터 필드(즉, 1에서 3까지 이어지는 공간 지수를 가진)와 두 배의 분리가 있는 미량, 대칭 공간 텐서 필드로 분해할 수 있다.단일 종방향 구성 요소벡터장과 텐서장은 각각 두 개의 독립적인 구성요소를 가지고 있기 때문에, 이 분해는 일반적인 미터법 섭동의 모든 10도 자유도를 암호화한다.게이지 불변도를 사용하여 이러한 구성 요소 중 4개(스칼라 2개 및 벡터 필드)를 0으로 설정할 수 있다.

동요된 미터법 $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ $μ$ μ μ $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ = $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ + $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ μ μ $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ μ μ $μ$ = g_ ${\mu \nu }=g_{\mu \nu$ }+ $h_$ ${\mu \nu$ $}}}}}}}}$ 이 $g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$ ( $h_{\mu \nu }$ ) 섭동인 $h_{\mu \nu }$ 경우 분해는 다음과 같다.

h_{00}=-2\pair

h_{0i}=w_{i}}

h_{ij}=2(\phi g_{ij})+S_{ij}}

여기서 라틴어 지수 i와 j는 공간 요소(1, …, 3)에 걸쳐 나타난다.텐서 필드

S_{ij}

S_{ij}

S_{ij}

{\

은(는) 배경 메트릭 g

g_{ij}

g_{ij}

j

g_{ij}

{\

displaystyle g_{ij}

의 공간 부분 아래에서 추적되지 않는다

S_{ij}

(

g_{ij}

g^{ij}S_{ij}=0

: g

g^{ij}S_{ij}=0

g^{ij}S_{ij}=0

=

g^{ij}S_{ij}=0

{\displaysty

g

^{ij}).

S_{ij}=0}

g^{ij}S_{ij}=0

.공간 벡터

w_{i}

w_{i}

{\

와

w_{i}

텐서 S

S_{ij}

j

{\

는 추가 분해를 거친다

S_{ij}

.벡터가 쓰여 있다.

w_{i}=w^{}{}{}_{i}+w^{\perp }{}{}_{i}}}

where

\nabla \times \mathbf {w} ^{  }=\mathbf {0}

and

\nabla \cdot \mathbf {w} ^{\perp }=0

(

\nabla _{i}

is the covariant derivative defined with respect to the spatial metric

g_{ij}

).이 표기법은 푸리에 공간에서는 벡터 점이 각각 파동 벡터 방향에 평행하고 수직임을 나타내기 때문에 사용된다.병렬 구성 요소는 스칼라의 그라데이션으로 표현될 수 있으며

w^{||}{}_{i}=\nabla _{i}A

=

w^{||}{}_{i}=\nabla _{i}A

{\displaystyle w^{{}{}_{i}=\nabla _{i}A

따라서

\mathbf {w}

{\

은(는) 스칼라와 비분산성 2-성분 벡터의 조합으로 쓸 수 있다

\mathbf {w}

.

마지막으로, 추적 불가능한 텐서 필드 S $S_{ij}$ j ${\$ 에 대해 유사한 분해 작업을 수행할 수 있다 $S_{ij}$ ^[1]그것은 쓸 수 있다.

S_{ij}=S^{{}{}_{ij}+S_{ij}^{\perp }+S^{T}{}_{ij}}

어디에

S^{}{}_{ij}=(\nabla _{i}\nabla _{j}-{3}g_{ij}\nabla ^{2})B

, 여기서

B

B

은

B

스칼라(파생물의 조합은

S

{\displaystyle

S

}

이(가) 트레이스가 없는 상태로

S

설정됨) 및

S^{\perp }{}_{ij}=\nabla _{i}}{i}S^{}}{j}+\nabla _{j}S^{\perp{}}}}}}}{i}}}

, 여기서

S^{\perp }{}_{i}

S^{\perp }{}_{i}

S^{\perp }{}_{i}

{\

은(는) 발산 없는 공간 벡터다

S^{\perp }{}_{i}

.이로써 중력파의 두 편극화에 해당하는

S^{T}{}_{ij}

T

S^{T}{}_{ij}

S^{T}{}_{ij}

{\

S

^{T}{}_{ij}}

의 두 개의 독립적 성분만 남게 된다.(중력자가 질량이 없기 때문에 두 편광은 광자와 마찬가지로 전파 방향과 직교한다.)

이 제형의 장점은 스칼라, 벡터, 텐서 진화 방정식이 분리된다는 것이다.대표이론에서 이는 공간 회전의 집단 아래에서 분해되는 섭동에 해당한다.두 개의 스칼라 구성 요소와 하나의 벡터 구성 요소는 게이지 변환에 의해 추가로 제거될 수 있다.그러나 벡터 구성요소는 생성될 수 있는 알려진 물리적 프로세스가 거의 없기 때문에 일반적으로 무시된다.위와 같이 텐서 성분은 중력파에 해당한다.텐서 $S^{T}{}_{ij}$ T $S^{T}{}_{ij}$ $S^{T}{}_{ij}$ ${\$ 는 게이지 $S^{T}{}_{ij}$ 불변형이며, 최소 좌표 변환에서는 변경되지 않는다.

참고 항목

헬름홀츠 분해

메모들

^ J. M. Stewart (1990). "Perturbations of the Friedmann-Robertson-Walker cosmological models". Classical and Quantum Gravity. 7 (7): 1169–1180. Bibcode:1990CQGra...7.1169S. doi:10.1088/0264-9381/7/7/013.

참조

E. Bertschinger (2001). "Cosmological perturbation theory and structure formation". arXiv:astro-ph/0101009. Bibcode:2001astro.ph..1009B. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)
E. M. Lifshitz (1946). "On the gravitational stability of the expanding universe". J. Phys. USSR. 10: 116.
E. Poisson, C. M. Will (2014). Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press. p. 257.

[1] J. M. Stewart (1990). "Perturbations of the Friedmann-Robertson-Walker cosmological models". Classical and Quantum Gravity. 7 (7): 1169–1180. Bibcode:1990CQGra...7.1169S. doi:10.1088/0264-9381/7/7/013.

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