축척 공간 공리

이미지 처리와 컴퓨터 비전에서는 스케일 공간 프레임워크를 사용하여 이미지를 점진적으로 평활화된 이미지의 패밀리로 나타낼 수 있다.이 프레임워크는 매우 일반적이며 다양한 규모의 공간 표현이 존재한다.특정 유형의 척도 공간 표현을 선택하는 일반적인 접근방식은 원하는 척도 공간 표현의 기본 특성을 기술하고 종종 선택한 척도 공간 공리의 집합을 설정하여 실제 적용에서 표현을 유용하게 만드는 것이다.일단 설정되면 공리는 가능한 척도 공간 표현을 소수의 자유 매개변수만으로 더 작은 세분류로 좁힌다.

아래에서 설명하는 일련의 표준 스케일 공간 공리는 이미지 처리와 컴퓨터 시력에 사용되는 가장 일반적인 유형의 스케일 공간인 선형 가우스 스케일 공간으로 이어진다.

선형 축척 공간 표현에 대한 축척 공간 공리

The linear scale space representation ${\displaystyle L(x,y,t)=(T_{t}f)(x,y)=g(x,y,t)*f(x,y)}$ of signal ${\displaystyle f(x,y)}$ obtained by smoothing with the Gaussian kernel ${\displaystyle g(x,y,t)}$ satisfies a number of prop멀티스케일 표현의 특별한 형태를 만드는 '스케일 스페이스 공리':

직선성

${\displaystyle T_{t}(af+bh)=aT_{t}f+bT_{t}h}$

여기서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ $및{\displaystyle }$ h$$ ${\displaystyle h}$은(는) 신호인$$ 반면, ${\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}$은(는) 상수,

불침번을 바꾸다.

${\displaystyle T_{t}S_{(\Delta x,\Delta _{y}){f=S_{(\Delta x,\Delta _{y})}}T_{T}f}$

where ${\displaystyle S_{(\Delta x,\Delta _{y})}}$ denotes the shift (translation) operator ${\displaystyle (S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f)(x,y)=f(x-\Delta x,y-\Delta y)}$

반집단 구조

${\displaystyle g(x,y,t_{1}}*g(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{1}+t_{2})}$

관련 계단식 평활 특성

${\displaystyle L(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{2}-t_{1}*L(x,y,t_{1})$

최소 $생성기{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 존재

${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)=(AL)(x,y,t)}$

국부적 극단(교차 제로)을 한 차원에서는 생성하지 않는다.

국소 극단값이 여러 차원에 걸쳐 비반복됨

${\displaystyle {}_{}}$max ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle x{\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ 0 ${\displaystyle \partial$ $_$${t}$${\displaystyle L_{}}$$(x,y,$${\displaystyle t}$$)\leq$ 0$}$ 공간 maxima 및$$$$ $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}(x,}$ ${\displaystyle y,}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ge }$ $(\displaysty \partial \{t(x,y,t)\geq 0},$

회전 대칭

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= h${\displaystyle }$( x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle y}$ 2${\displaystyle {}^{}}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(x,y,t)=h(x^{2}+y^{2},t)}$ 일부$$ $함수{\displaystyle }$ h ${\displaysty h$

비늘 불침투

${\displaystyle{x}}(\omega_{x},\omega_{y}t)={\hat{h}({\frac {\omega_{x}}},{\frac {\omega _{x}}{\varphi(t)})}}}}}}}$

일부 함수 ${\displaystyle \varphi }$ 및 $h$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대해 $g$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ {g$}}$은(는$)$ g {\$displaysty g}$의 푸리에 변환을 나타낸다$$$.$

긍정의

${\displaystyle g}$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g(x,y,t)\geq$ 0$\},$

정상화

${\displaystyle {\int }_{}^{}}$ x${\displaystyle {}_{}^{}}$= -${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$= -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ g${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, t${\displaystyle }$) d ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \int _{x=-\infit }^{\infit }^{y=-\infit$ }^{y=-\$infit }g(x,y,t$$dx\,dy=$1}.

사실, 그것은 가우스 커널은 독특한 선택 이scale-space 공리의 하위 집합의 몇몇의 다른 조합을 받: 많은으로 만족합니다shift-invariant 선형 연산자, 학자의 반군 스케일링에[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11]은 공리의 대부분(직선성, shift-invariance, semigroup)해당한다 보여질 수 있다.가족 적분 변환과 while 1차원 신호에 대한 "국소극의 비창조"^[4] 또는 고차원 신호에 대한 "국소극의 비강화"^[4][7][10]는 스케일-스페이스를 평활화(형식, 포물선 부분 미분방정식)에 관련시키는 중요한 공리로서 가우스식(Gaussian)에 대해 선택한다.

The Gaussian kernel is also separable in Cartesian coordinates, i.e. ${\displaystyle g(x,y,t)=g(x,t)\,g(y,t)}$. Separability is, however, not counted as a scale-space axiom, since it is a coordinate dependent property related to issues of implementation.또한 회전 대칭과 조합된 분리성의 요구사항은 스무딩 커널을 가우스 커널로 고정시킨다.

가우스 척도 공간 이론은 보다 일반적인 아핀과 주피오-임시 척도 공간에 대한 일반화가 존재한다.^[10][11]원래 스케일 공간 이론이 다루도록 설계한 스케일 오버 스케일 외에도, 이 일반화된 스케일 공간 이론은 시야 변동에 의한 영상 변형, 국소 부착 변환에 의한 근사치, 세계 물체 간의 상대적 움직임과 관찰을 포함한 다른 유형의 가변성으로 구성된다.어, 지역 갈릴레이의 변혁으로 대략 추정한다.이 이론에서 회전 대칭은 필요한 축척 공간 공리로 부과되지 않고 대신 아핀 및/또는 갈릴레이 공분산의 요건으로 대체된다.일반화된 축척 공간 이론은 수용적 현장 프로파일에 대한 예측을 생물학적 시야에서 셀 기록에 의해 측정된 수용적 현장 프로파일과 양호한 질적 합의로 이끈다.^[12][13][14]

컴퓨터 비전, 이미지 처리 및 신호 처리 문헌에는 저울 공간 설명과 동일한 요구사항을 이용하지 않거나 요구하는 다양한 다른 커널을 사용하는 다른 많은 다중 스케일 접근법이 있다. 관련 다중 스케일 접근법에 대한 기사를 참조하십시오.또한 분리 영역으로 확장 공간 속성을 전달하는 이산 공간 개념에 대한 연구가 있었다. 예와 참조는 스케일 공간 구현 기사를 참조하십시오.

참고 항목

• 축척 공간
• 공간 확장 구현

참조