시나리오 최적화

시나리오 접근법 또는 시나리오 최적화 접근방식은 제약조건의 표본을 바탕으로 강력한 최적화 및 운에 제약된 최적화 문제에 대한 해결책을 얻기 위한 기법이다. 그것은 또한 모델링과 의사결정에서 귀납적 추론과 관련이 있다. 이 기술은 휴리스틱한 접근법으로 수십 년 동안 존재해왔으며 최근에는 체계적인 이론적 토대가 주어지고 있다.

최적화에서 강건성 특성은 문제의 불확실한 요소에 의해 매개변수가 되는 제약조건으로 해석된다. 시나리오 방법에서는 시나리오라고 불리는 제약조건의 무작위 샘플(휴리스틱 접근법)만을 보고 해결책을 얻는데,^[1][2][3] 깊이 근거한 이론은 해당 솔루션이 다른 제약조건과 어떻게 "확실히" 관련되는지 사용자에게 알려준다. 이 이론은 강력하고 운에 제약되는 최적화에 무작위화의 사용을 정당화한다.

데이터 기반 최적화

때때로 시나리오는 모델에서 무작위 추출로 얻는다. 그러나 시나리오는 관측(데이터 기반 과학)으로 얻어진 불확실한 제약조건의 예들이다. 이 후자의 경우, 시나리오를 생성하기 위해 불확실성의 모델은 필요하지 않다. 더욱이 가장 주목할 만한 것은 모든 시나리오 최적화 결과가 무분포 상태여서 불확실성의 모델을 이용할 수 없는 경우에도 적용할 수 있기 때문에 이 경우 시나리오 최적화는 전면적인 이론과 동반된다는 점이다.

이론적 결과

볼록한 제약조건(예: LMI, 선형 행렬 불평등)에 대해서는, 새로운 제약조건이 충족되지 않을 확률을 베타 분포가 지배하는 분포를 따르는 것을 보여주는 깊은 이론적 분석이 확립되었다. 이 결과는 모든 종류의 볼록한 문제들에 대해 정확하기 때문에 빠듯하다.^[3] 보다 일반적으로 다양한 경험적 수준은 여백분포가 베타분포인 디리클레 분포를 따르는 것으로 나타났다.^[4] $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$정규화를$$ 사용한 시나리오 접근법도 고려되었으며,^[5] 계산 복잡성이 감소된 편리한 알고리즘도 이용할 수 있다.^[6] 보다 복잡하고 비컨벡스적인 셋업으로의 확장은 여전히 능동적인 조사의 대상이다.

시나리오 접근법에 따라, 위험 수익 트레이드오프를 추구하는 것도 가능하다.^[7][8] 더욱이 이러한 접근방식을 제어에 적용하기 위해 완전한 방법을 사용할 수 있다.^[9] 첫 번째 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 제약$$ 조건을 샘플링한 다음 사용자가 연속적으로 일부 제약 조건을 제거하기 시작한다. 이것은 탐욕스러운 알고리즘에 따라서도 다른 방법으로 행해질 수 있다. 제약조건을 하나 더 제거한 후 최적 솔루션을 업데이트하고 그에 상응하는 최적값을 결정한다. 이 절차가 진행됨에 따라 사용자는 경험적 "값의 곡선", 즉 증가된 제약조건의 제거 후 달성된 값을 나타내는 곡선을 구성한다. 시나리오 이론은 다양한 해결책이 얼마나 강력한지에 대한 정확한 평가를 제공한다.

이 이론의 주목할 만한 발전은 최근의 관망-판사 접근법에 의해 확립되었다.^[10] 하나는 (참고된 기사에서 정확히 정의한) 해결의 복잡성을 평가하고 그 가치로부터 해결의 견고성에 대한 정확한 평가를 형성한다. 이러한 결과는 복잡성과 위험성의 개념들 사이의 깊은 근거의 연관성을 밝혀냈다. "반복적인 시나리오 설계"라는 명칭의 관련 접근법은 시나리오 설계 단계(시료 수 감소)와 후속 솔루션의 실현 가능성에 대한 무작위 확인을 반복적으로 교차시킴으로써 솔루션의 샘플 복잡성을 줄이는 것을 목표로 한다.^[11]

예

투자 수익률을 나타내는 함수$$ $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle R_{\delta }(x)}$을(를) 고려하십시오. 이는 투자 기간 말에 경험할 투자 선택의$$$$ 벡터($vector{\displaystyle }$) x ${\displaysty$ x$}$및 시장 상태$\Delta {\displaystyle }$ {\$displaysty$ \$delta }$에 따라 달라진다.

시장 상황에 대한 확률적 모델을 제시하면, 가능한 상태의 $N$ ${\displaystyle$ N}을$($를) ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$불확실성의 무작위화)로 간주한다. 또는 시나리오 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i${\$를 관찰 기록에서 얻을 수 있다$$.

시나리오 최적화 프로그램 해결을 위해 착수했다.

${\displaystyle \max _{x}\min _{i=1,\dots,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

이는 최악의 경우 최상의 수익을 얻기 위해 포트폴리오 벡터 x를 선택하는 것과 일치한다.^[12][13]

(1)을 해결한 후 그에 상응하는 최적 수익률 $∗{\$$displaystyle$ r$^{\$$st$}과 함께 최적의 투자전략 $∗{\$$displaystyle r^{\$st$\}\}\}\}$을 달성하는 반면$$, $R{\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$displaystystyle$ $R^{\st$$}}}$은 $가능$한 시장상태만 보고 얻을 수 있었다$$. 시나리오 이론 te솔루션이 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \var렙실론},$즉 R ${\$ R$^{\ast }$까지 강력할 경우 다른 시장 상태에 대한$$ 확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 1-\bar렙실론 }$을(를)로 달성할 수 있을 것으로$$ 본다.

양적 금융에서 최악의 경우 지나치게 보수적일 수 있다. 한 가지 대안은 비관론을 줄이기 위해 일부 희한한 상황을 버리는 것이다.^[7] 더욱이 시나리오 최적화는 CVaR – 위험 조건부 가치 등 다른 위험 측정에 적용될 수 있으므로 사용의 유연성을 더할 수 있다.^[14]

응용 프로그램 필드

적용 분야로는 예측, 시스템 이론, 회귀 분석(특히 중간 예측 모델), 보험수리적 과학, 최적 제어, 금융 수학, 기계 학습, 의사결정, 공급망, 관리 등이 있다.

참조