슈미트 분해

선형대수학에서 슈미트 분해(원조자 Erhard Schmidt의 이름을 따서 명명)는 두 개의 내부 제품 공간의 텐서 생산물에서 벡터를 표현하는 특별한 방법을 말한다.양자정보이론에는 예를 들어 얽히고설킨 특성화, 국가정화, 가소성 등에 수많은 응용이 있다.

정리

$H_{1}$ $H_{1}$ ${\$ }와 $H_{1}$ $H_{2}$ 2 ${\$ }}을 각각 $H_{2}$ 치수 n과 m의 힐버트 공간으로 한다.Assume $n\geq m$ . For any vector $w$ in the tensor product $H_{1}\otimes H_{2}$ , there exist orthonormal sets $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}$ and ${\di$ $splaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}}$ such that ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$ , where the scalars $\alpha _{i}$ are real, non-negative, and unique up to re-ordering.

증명

슈미트 분해는 본질적으로 다른 맥락에서 단수 값 분해의 재작성이다.Fix orthonormal bases $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}$ and $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}$ . We can identify an elementary tensor $e_{i}\otimes f_{j}$ with the matrix $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}$ $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}$ $f_{j}^{\mathsf {T}}$ ${\$ $displaystyle$ e_{ $i}f_{j}^{\mathsf$ { $T$ }}}, $여기서$ f j {\displaystyle f_ $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}$ $}^{\mathsf{T}}}}}$ 는 $f_{j}^{\mathsf {T}}$ f $f_{j}$ ${\$ 의 전치입니다 $f_{j}$ 텐서 제품의 일반 요소

w=\sum _{1\leq i\leq n,1\\leq j\leq m}\cHB_{i}\otimes f_{j}}}

그런 다음 n × m 행렬로 볼 수 있다.

\;M_{w}=(\beta _{ij}).

단수 값 분해에 의해, 다음과 같은 n × n 단일 단위 U, m × 단일 단위 V 및 양의 세미데핀산 대각선 m × m 행렬 σ이 존재한다.

M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}}

쓰기 $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ = $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ [ $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ U $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ ${\$ U $={\begin{bmatrix}$ $U_{1}$ ${1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ 여기서 $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ $U_{1}$ 1 ${\$ }은 $U_{1}$ (는) n × m입니다.

\;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}

Let $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ be the m column vectors of $U_{1}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ the column vectors of ${\overline {V}}$ , and ${\displaystyle \alpha _{1},\l$ $점,\alpha _{m}$ σ의 대각선 $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ 원소.이전 표현은 다음과 같다.

M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}v_{k}^{\mathsf{T},

그러면

w=\sum _{k=1}^{m}\filename _{k}\otimes v_{k}}

그게 그 주장을 증명하는 거지

일부 관측치

슈미트 부패의 일부 성질은 육체적 관심의 대상이다.

감소된 상태의 스펙트럼

텐서 제품의 벡터 w를 고려한다.

H_{1}\otimes H_{2

슈미트 분해의 형태로

w=\sum _{i=1}^{m}\cHB _{i}\otimes v_{i}.

순위 1 행렬 ρ = w*를 형성한다.그러면 시스템 A나 B 중 하나에 관해서 ρ의 부분적인 추적은 0이 아닌 대각선 원소가 α인_i 대각선 행렬이다. 다시 말해 슈미트 분해는 어느 서브시스템에서 ρ의 감소된 상태가 동일한 스펙트럼을 가지고 있음을 보여준다.

슈미트 계급과 얽힘

w의 슈미트 분해에서 엄격히 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}$ 의 $\alpha _{i}$ α i {\ $displaystyle$ \ $alpha$ _{ $i}$ 는 슈미트 계수다.다중성으로 계산된 $w$ $w$ 의 슈미트 계수 개수를 슈미트 순위 또는 슈미트 수라고 한다.

w가 상품으로 표현될 수 있는 경우

u\displaystyle u\otimes v}

그리고 w는 분리 가능한 상태라고 불린다.그렇지 않으면 w는 얽힌 상태라고 한다.슈미트 분해에서 w가 슈미트 등급이 1보다 엄격히 높은 경우에만 w가 얽혀 있음을 알 수 있다.따라서 순수한 상태를 분할하는 두 개의 서브시스템은 감소된 상태가 혼합된 상태일 경우에만 뒤얽힌다.

폰 노이만 엔트로피

위의 코멘트의 결과는, 순수한 상태의 경우, 감소된 상태의 폰 노이만 엔트로피는 확실히 정의된 관여의 척도라는 것이다.두 가지 감소된 상태의 폰 노이만 엔트로피는 - ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ i ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ 2 ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ log ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ ) ${\$ 이며 ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ 만약 ρ이 제품 상태( 얽히지 않은 경우 0이다.

슈미트-랭크 벡터

슈미트 등급은 초당적 시스템, 즉 양자 상태에 대해 정의된다.

$\psi \rangele \in H_{A}\time H_{B}}$

슈미트 랭크의 개념은 세 개 이상의 서브시스템으로 구성된 양자시스템까지 확장될 수 있다.^[1]

3자 양자 시스템 고려:

$\psi \angle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}}$

$H_{A},H_{B}$ $H_{A},H_{B}$ $H_{A},H_{B}$ $H_{A},H_{B}$ ${\$ 또는 $H_{A},H_{B}$ H $H_{C}$ ${\$ 에 대한 부분 추적을 수행함으로써 이를 초당적 시스템으로 줄이는 세 가지 방법이 있다.

${\begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=Tr_{A}( \psi \rangle \langle \psi )\\{\hat {\rho }}_{B}=Tr_{B}( \psi \rangle \langle \psi )\\{\hat {\rho }}_{C}=Tr_{C}( \psi \rangle \langle \psi )\end{cases}}$

획득한 각 시스템은 초당적 시스템이며 따라서 각각 r $r_{A},r_{B}$ r $,$ $r_{A},r_{B}$ {\ $displaystyle r_{A},r_{B},$ $r_{C}$ $r_{C}$ ${\$ 1자리 숫자로 특징지어질 수 있다 $r_{C}$ 이 숫자들은 각각 A, B 또는 C가 폐기될 때 초당적 시스템에서 " 얽힘의 양"을 수 있다.이러한 reasos에 대해 3자 시스템은 벡터, 즉 슈미트-랭크 벡터로 설명할 수 있다.

${\displaystyle {\vec{r}}=(r_{A},r_{B},r_{C}}})$

멀티파타이트 시스템

슈미트-랭크 벡터의 개념도 마찬가지로 텐서 사용을 통해 3개 이상의 서브시스템으로 구성된 시스템으로 확장될 수 있다.

예

Take the tripartite quantum state $\psi _{4,2,2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (} 0,0,0\rangle + 1,0,1\rangle + 2,1,0\rangle + 3,1,1\rangle {\big )}$

이러한 종류의 시스템은 qudit의 값을 그것의 스핀이 아닌 광자의 궤도 각도 운동량(OAM)으로 부호화함으로써 가능해진다. 왜냐하면 후자는 두 개의 값만 취할 수 있기 때문이다.

이 양자 상태에 대한 슈미트-랭크 $(4,2,2)$ 벡터는 ( $(4,2,2)$ $(4,2,2)$ , 2 $){\displaystyle (4,2,2)}$ 입니다 $(4,2,2)$

참고 항목

참조

^ Huber, Marcus; de Vicente, Julio I. (January 14, 2013). "Structure of Multidimensional Entanglement in Multipartite Systems". Physical Review Letters. 110 (3): 030501. doi:10.1103/PhysRevLett.110.030501. ISSN 0031-9007.
^ Krenn, Mario; Malik, Mehul; Fickler, Robert; Lapkiewicz, Radek; Zeilinger, Anton (March 4, 2016). "Automated Search for new Quantum Experiments". Physical Review Letters. 116 (9): 090405. doi:10.1103/PhysRevLett.116.090405. ISSN 0031-9007.

추가 읽기

Pathak, Anirban (2013). Elements of Quantum Computation and Quantum Communication. London: Taylor & Francis. pp. 92–98. ISBN 978-1-4665-1791-2.

[1] Huber, Marcus; de Vicente, Julio I. (January 14, 2013). "Structure of Multidimensional Entanglement in Multipartite Systems". Physical Review Letters. 110 (3): 030501. doi:10.1103/PhysRevLett.110.030501. ISSN 0031-9007.

[2] Krenn, Mario; Malik, Mehul; Fickler, Robert; Lapkiewicz, Radek; Zeilinger, Anton (March 4, 2016). "Automated Search for new Quantum Experiments". Physical Review Letters. 116 (9): 090405. doi:10.1103/PhysRevLett.116.090405. ISSN 0031-9007.

[1]

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