폰 노이만 엔트로피

양자통계역학에서 존 폰 노이만의 이름을 딴 폰 노이만 엔트로피는 고전적인 기브스 엔트로피 개념을 양자역학 분야로 확장한 것이다. 밀도 행렬 $ρ$ 에 의해 기술된 양자-기계 시스템의 경우, 폰 노이만 엔트로피는^[1]

S=-\operatorname {tr}(\rho \ln \rho )

여기서 $\operatorname {tr}$ ${\displaystyle \protname {tr}은($ 는) 추적을 나타내고 ln은 (자연) 행렬 로그를 나타낸다 $\operatorname {tr}$ . 만일 $ρ$ 이 고유 벡터 $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ , $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ , $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ , $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ … ${\displaystyle 1\rangele$ , $2\rangele$ , $3\rangele ,\dots }$ 의 $|1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ 용어로 쓰여진다면.

\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\왼쪽 j\right\angle \left\langle j\right,}

폰 노이만 엔트로피는 단지^[1]

S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.

이 형태에서 S는 정보 이론 샤논 엔트로피로 볼 수 있다.^[1]

폰 노이만 엔트로피는 양자정보이론의 틀에서 서로 다른 형태(조건 엔트로피, 상대 엔트로피 등)로 사용되어 얽힘의 엔트로피를 특성화하기도 한다.^[2]

배경

John von Neumann은 그의 1932년 작품인 Mathemical Foundation of Quantum Mechanics에서 양자역학을 위한 엄격한 수학 체계를 확립했다.^[3] 그 속에서 그는 파동기능붕괴라는 통상적인 개념을 되돌릴 수 없는 과정( 이른바 폰 노이만 또는 투영적인 측정)으로 기술하는 측정 이론을 제시했다.

밀도 행렬은 폰 노이만과 레브 란다우에 의해 다른 동기를 부여하여 도입되었다. 란다우에게 영감을 준 동기는 복합 양자 시스템의 서브시스템을 상태 벡터로 기술하는 것이 불가능했기 때문이다.^[4] 반면 폰 노이만은 양자 통계 역학과 양자 측정 이론을 모두 발전시키기 위해 밀도 행렬을 도입했다.

따라서 밀도 행렬 형식주의는 고전적 통계 역학의 도구를 양자 영역까지 확장시켰다. 고전적인 틀에서, 시스템의 확률 분포와 파티션 함수는 우리가 가능한 모든 열역학적 양을 계산할 수 있게 해준다. 폰 노이만은 복잡한 힐버트 공간에서 양자 상태와 연산자의 맥락에서 같은 역할을 하기 위해 밀도 행렬을 도입했다. 통계 밀도 매트릭스 연산자의 지식은 개념적으로 유사하지만 수학적으로 다른 방법으로 모든 평균 양자 실체를 계산할 수 있게 해준다.

우리가 양자수 n₁, n₂, ..., n의_N 집합에 파라메트릭적으로 의존하는 파동함수 ψ의 집합이 있다고 가정해 보자. 우리가 가지고 있는 자연변수는 기본 집합의 특정 파동함수가 시스템의 실제 파동함수에 참여하는 진폭이다. 이 진폭의 제곱을 p(n₁, n₂, ..., n_N)로 표시하자. 이 수량 p를 위상공간에서 고전적 밀도함수로 바꾸는 것이 목표다. 우리는 p가 고전적 한계에서 밀도함수로 넘어가는지, 그리고 에고다이컬 특성을 가지고 있는지 검증해야 한다. p(n₁, n₂, ..., n_N)가 운동 상수인지 확인한 후 p(n₁, n₂, ..., n_N) 확률에 대한 에고딕적 가정은 p가 에너지의 함수만을 만든다.

이 절차 후, p(n₁, n₂, ..., n_N)가 사용된 표현에 대해 불변하는 형식을 추구할 때, 마침내 밀도 행렬 형식주의에 도달한다. 작성된 형식에서는 양자수 n₁, n₂, ..., n에_N 대해 대각선인 수량에 대한 정확한 기대치만 산출한다.

대각선이 아닌 측정 시스템의 기대값은 양자 진폭의 단계를 포함한다. 양자 숫자 n₁, n₂, ..., n을_N 단일 지수 i 또는 j로 인코딩한다고 가정합시다. 그러면 우리의 파동 기능은 그 형태를 가지고 있다.

\왼쪽 \psi \right\rangele =\sum _{i}a_{i}\왼쪽 \psi _{i}\right\rangele .

이러한 파동 함수에서 대각선이 아닌 연산자 B의 기대값.

\left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*a_\langle i\right\right\langle .

따라서 $\left|a_{i}\right|^{2}$ $\left|a_{i}\right|^{2}$ $\left|a_{i}\right|^{2}$ ${\$ }}개의 $\left|a_{i}\right|^{2}$ 수량을 위해 예약된 역할은 시스템 S의 밀도 매트릭스에 의해 인계된다 $\left|a_{i}\right|^{2}$ .

\left\langle j\오른쪽 \rho \left i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}}.

따라서 〈B〉는 읽는다.

\left\langle B\right\angle =\operatorname {tr}(\rho B).

상기 용어의 불변성은 행렬 이론으로 설명된다. 밀도 연산자 $^{\$ 과 ${\hat {\rho }}$ 연산자 B ${\hat {B}}$ ${\$ 연산자 간 힐버트 스칼라 제품)의 산출물의 추적을 매트릭스로 기술하여 양자 연산자의 기대값을 얻는 수학적 프레임워크를 기술하였다. 여기 행렬 형식주의는 유한양자 시스템에도 적용되지만, 대개는 시스템 상태를 순수한 상태로 설명할 수 없는 경우가 대부분이지만, 위의 ${\hat {\rho }}$ 의 통계 ${\hat {\rho }}$ 연산자 $^{\$ 에 해당한다. 수학적으로 ^ ${\hat {\rho }}$ ${\$ 은(는) 단위 추적을 갖는 양의 semidefinite 에르미타인 행렬이다 ${\hat {\rho }}$ .

정의

밀도 행렬 ρ을 감안하여 폰 노이만은 엔트로피를^[5]^[6] 다음과 같이 정의하였다.

S(\rho )=-\operatorname {tr}(\rho \ln \rho ),

깁스 엔트로피(인자 $k$ 까지_B)와 섀넌 엔트로피를 양자 케이스까지 적절히 확장한 것이다. To compute S(ρ) it is convenient (see logarithm of a matrix) to compute the eigendecomposition of $~\rho =\sum _{j}\eta _{j}\left j\right\rangle \left\langle j\right$ . The von Neumann entropy is then given by

S(\rho )=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.

순수한 상태의 경우 밀도 행렬은 id = ρ이므로² 그것에 대한 엔트로피 S(ρ)는 사라진다. 따라서 시스템이 유한한 경우(마인티 차원 행렬 표현) 엔트로피 S(()는 시스템의 순수 상태 이탈을 정량화한다. 즉, 주어진 유한계통을 기술하는 국가의 혼합 정도를 규정한다. 측정은 양자 시스템을 비간섭적이고 표면적으로 고전적인 것으로 분해한다 $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ 예를 들어, 순수 상태 $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ = ( $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ + $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ ) $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ / $\Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2}}$ ${\$

\rho ={1 \over 2}{\\pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}

측정 결과 혼합물의 경우 $S=\ln 2\approx 0.69$ $S=\ln 2\approx 0.69$ = $S=\ln 2\approx 0.69$ $S=\ln 2\approx 0.69$ $S=\ln 2\approx 0.69$ $S=\ln 2\approx 0.69$ $S=\ln 2\approx 0.69$ ${\displaystyle S=\ln 2\$ 약 $0.69}$ 증가

\rho ={1 \over 2}{\\pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

양자 간섭 정보가 삭제됨에 따라

특성.

폰 노이만 엔트로피의 일부 특성:

$S (ρ)$ 는 $ρ$ 이 순수한 상태를 나타내는 경우에만 0이다.
$S (S$ )는 최대값이며 최대 혼합 상태의 경우 $ln$ $N$ 과 같으며, $N$ 은 힐버트 공간의 차원이다.
$S (S$ )는 $U$ 와 함께 $ρ$ 의 기초, $즉$ $S (S)$ = $S †$ (U)의 변화 하에서 불변한다.
$S (ρ)$ 는 오목한 것으로서, 즉, $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$ $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$ = $\Sigma _{i}\lambda _{i}=1$ ${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1$ 와 밀도 연산자 $ρ$ 의_i 집합으로 볼 때, 우리는 다음과 같이 한다.

S{{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).

$S (수치)$ 가 바운드를 만족함

S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\leq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.

여기서

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

가_i 직교 지원을 받는 경우, 그리고 이전과 같이

ρ은 i

밀도 연산자,

λ

은_i 합에 합한 양의 숫자의 집합이다( (

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

i =

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

{\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=

1

\Sigma _{i}\lambda _{i}=1

$S (S$ )는 독립 시스템을 위한 첨가물이다. 독립 시스템 A와 B를 기술하는 두 가지 밀도 행렬을 고려하면_A $,$ $우리는 B$

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

(

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

)

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

=

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

(

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

)

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

+ S

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

(

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})

)

{\displaystyle

S

(\rho _{A}\otimes \rho _{B}=S(\rho _{A})+S(\rho _{B

$S (S$ )는 다음 세 가지 시스템 A, B 및 C에 대해 강력한 하위첨가성을 갖는다.

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

이는 S

(sv)

가 하위 가독성이라는 것을 자동으로 의미한다.

S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A}+S(\rho _{C})

아래에서는 하위적응성의 개념에 대해 논의한 후, 강력한 하위적응성으로 일반화한다.

하위additivity

만일 $ρ A,$ $ρ$ 이_B 일반주 $ρ$ 의_AB 감소된 밀도 행렬이라면, then은 다음과 같다.

\rho _{A}-S(\rho _{B})\right \leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A}+S(\rho _{B})

이 오른손 불평등은 부갑성으로 알려져 있다. 이 두 불평등은 때때로 삼각 불평등이라고 알려져 있다. 그것들은 1970년에 아라키 후지히로와 엘리엇 H. 리브에 의해 증명되었다.^[7] 섀넌 이론에서 복합체계의 엔트로피는 그 어떤 부분의 엔트로피보다 결코 낮을 수 없는 반면, 양자 이론에서 $이것$ 은 S $(()$ = $0,$ $S(ρ AB A)$ = $S ($ ρ) = S( $ρ B)$ > $0일$ 가능성이 있다.

직관적으로 이것은 다음과 같이 이해할 수 있다. 양자역학에서, 관절계통의 엔트로피는 그 요소들이 얽힐 수 있기 때문에 그 요소들의 엔트로피의 합보다 적을 수 있다. 예를 들어, 명시적으로 볼 수 있듯이, 두 개의 회전축의 벨 상태는,

\displaystyle \rewn \right\rangele =\왼쪽 \uparrow \downarrow \right\rangele +\\왼쪽 \downarrow \uparrow \rigle ,}

엔트로피가 0인 순수한 상태지만, 각 스핀은 감소된 밀도 매트릭스에서 개별적으로 고려할 때 최대 엔트로피를 가진다.^[8] 한 스핀의 엔트로피는 다른 스핀의 엔트로피와 상관되어 "취소"될 수 있다. 왼손 불평등은 엔트로피가 같은 양의 엔트로피로만 취소할 수 있다는 말로 대략 해석할 수 있다.

시스템 $A$ 와 시스템 $B$ 의 엔트로피 양이 다르면 크기가 작을수록 부분적으로만 엔트로피를 취소할 수 있으며, 일부 엔트로피는 남겨두어야 한다. 마찬가지로 오른손 불평등도 복합체계의 엔트로피가 그 구성요소와 상관관계가 없을 때 극대화된다고 해석할 수 있는데, 이 경우 전체 엔트로피는 하위 엔트로피의 합에 불과하다. 이는 힐버트 공간 대신 위그너 함수의 ★-logarithm에서 - $minus$ f ith $logf ★$ $dx$ $dp$ 의 기대값을 상쇄 시프트까지 뺀 위상 공간 공식에서 더 직관적일 수 있다.^[6] 이 정규화 오프셋 시프트까지 엔트로피는 고전적 한계에 의해 전공화된다.

강한 하위애독성

폰 노이만 엔트로피도 강하게 아첨한다. 힐베르트 공간 A, B, C,

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

이것은 더욱 어려운 정리인데, 1959년^[9]^[10] J. 키퍼에 의해 먼저 증명되었고 1973년 엘리엇 H. 리브와 메리 베스 러스카이에 의해 독립적으로 증명되었으며,^[11] 1973년 증명된 엘리엇 H. 리브의^[12] 매트릭스 불평등을 이용하였다. 위의 삼각형 불평등의 좌뇌를 확립하는 증명기법을 사용함으로써 강한 아첨성 불평등이 다음의 불평등에 해당한다는 것을 보여줄 수 있다.

S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

ρ $AB$ 등이 밀도 행렬 $ρ$ 의_ABC 감소된 밀도 행렬인 경우. 만약 우리가 이 불평등의 왼쪽에 보통의 하위 가중을 적용하고, A, B, C의 모든 순열을 고려한다면, 우리는 $ρ$ 에_ABC 대한 삼각 불평등을 얻는다: 세 개의 숫자 $S (ρ AB$ ), $S(ρ BC$ ), S $(ρ AC)$ 각각은 다른 두 개의 합보다 작거나 같다.

참고 항목

참조

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^ Von Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-59207-5.; Von Neumann, John (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02893-4.
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^ 엘리엇 H. 리브, 콘벡스 트레이스 함수 및 위그너-야나세-다이슨 추측, 수학의 진보 67, 267–288 (1973)

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[4] Landau, L. (1927). "Das Daempfungsproblem in der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik. 45 (5–6): 430–464. Bibcode:1927ZPhy...45..430L. doi:10.1007/BF01343064. S2CID 125732617.

[5] 양자 상태의 기하학: 잉게마르 벵츠손, 카롤 ż츠코프스키, p301의 양자 얽힘 소개

[Zachos-6] Zachos, C. K. (2007). "A classical bound on quantum entropy". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 40 (21): F407–F412. arXiv:hep-th/0609148. Bibcode:2007JPhA...40..407Z. doi:10.1088/1751-8113/40/21/F02. S2CID 1619604.

[7] 아라키 후지히로와 엘리엇 H. 리브, 엔트로피 불평등, 수학 물리학에서의 커뮤니케이션, 제18권, 160–170 (1970년)

[8] Zurek, W. H. (2003). "Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical". Reviews of Modern Physics. 75 (3): 715–775. arXiv:quant-ph/0105127. Bibcode:2003RvMP...75..715Z. doi:10.1103/RevModPhys.75.715. S2CID 14759237.

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[ruskai2013-10] Ruskai, Mary Beth. "Evolution of a Fundemental Theorem on Quantum Entropy". youtube.com. World Scientific. Archived from the original on 2021-12-21. Retrieved 20 August 2020. Invited talk at the Conference in Honour of the 90th Birthday of Freeman Dyson, Institute of Advanced Studies, Nanyang Technological University, Singapore, 26–29 August 2013. The note on Kiefer (1959) is at the 26:40 mark.

[11] 엘리엇 H. 리브와 메리 베스 러스카이, 양자-기계 엔트로피의 강한 부첨성의 증명, 제14권, 1938–1941 (1973)

[12] 엘리엇 H. 리브, 콘벡스 트레이스 함수 및 위그너-야나세-다이슨 추측, 수학의 진보 67, 267–288 (1973)

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v t 통계역학
이론	최대 엔트로피의 원리 에고다이즘
통계 열역학	앙상블 칸막이 함수 국가 방정식 열역학적 전위: U H F G 맥스웰 관계
모델	강자성 모델 이싱 팟츠 하이젠베르크 과대포장 힘장이 있는 입자 고갈력 레너드 존스의 잠재력
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