숫자 부호 문제

응용 수학에서 숫자 부호 문제는 많은 수의 변수의 고진동 함수의 적분을 수치적으로 평가하는 문제다.수치적 방법은 적분자에 대한 양과 음의 기여가 거의 취소되기 때문에 실패한다.각각의 차이를 유용한 정확도로 얻기 위해서는 매우 높은 정밀도로 통합되어야 한다.

간판 문제는 여러 입자 체계의 물리학에서 풀리지 않은 주요한 문제들 중 하나이다.그것은 종종 강하게 상호작용하는 페르미온의 수가 많은 양자역학 시스템의 성질을 계산하거나 강하게 상호작용하는 페르미온의 0이 아닌 밀도를 포함하는 필드 이론에서 발생한다.

개요

물리학에서 수화 문제는 일반적으로 (전적으로는 아니지만) 강하게 상호작용하는 페르미온의 많은 수가 있는 양자역학 시스템의 성질을 계산하거나 강하게 상호작용하는 페르미온의 0이 아닌 밀도를 포함하는 필드 이론에서 마주친다.입자들이 강하게 상호작용하기 때문에 섭동 이론은 적용할 수 없으며, 강제적인 숫자 방법을 사용할 수밖에 없다.입자는 페르미온이기 때문에 두 페르미온이 상호 교환될 때 파동함수의 변화가 나타난다(파동함수의 반대칭성 때문에 Pauli 원리를 참조).따라서 시스템의 어떤 대칭에서 발생하는 취소 사항이 없는 한, 모든 다중 입자 상태에 대한 양자-기계적 합은 발진성이 높은 함수에 대한 적분을 포함하므로, 특히 높은 차원에서는 수치적으로 평가하기 어렵다.적분의 치수는 입자의 수에 의해 주어지기 때문에 열역학적 한계에서는 사인 문제가 심각해진다.간판 문제의 현장 이론적 발현에 대해서는 아래에서 논의한다.

간판 문제는 많은 입자 시스템의 물리학에 있어서 해결되지 않은 주요 문제들 중 하나로서, 많은 분야에서 진보를 방해한다.

• 응축 물질 물리학 — Hubbard 모델과 같이 강하게 상관된 전자들의 밀도가 높은 시스템의 수치적 용액을 방지한다.^[1]
• 핵물리학 — 핵물질의 성질에 대한 초기 계산을 방지하여 핵 및 중성자 별에 대한 우리의 이해를 제한한다.
• 양자장 이론 — 격자 QCD를^[2] 사용하여 쿼크 물질의 위상과 특성을 예측하는 것을 방지한다.^[3](격자장 이론에서는 문제를 복합 작용 문제라고도 한다.)^[4]

현장 이론의 기호 문제

multi-particle 시스템으로 현장 이론 접근법[를]In, 페르미온으므로fermion 화학 퍼텐셜 μ{\displaystyle \mu}의 가치다. 어느{Z\displaystyle}모든 고전 음악 부문 구성 지수 함수 ⁡에 따라 가중치가 주어지{\displaystyle \exp(-S)}wher(S−)에 합산하여 파티션 함수 Z을 평가한다 통제를 받고 있다.e${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(는) 구성의 작업이다.페르미온 필드 위의 합은 분석적으로 수행할 수 있으며$,$ 하나는 보소닉 $필드$ $위$에 합이 남아 있다$($원래 이론의 일부였을 수도 있고, 페르미온 작용을 2차적으로 만들기 위해 허바드-스트라토노비치 변환에 의해 생성되었을 수도 있음).$$

$[\displaystyle Z=\int D\sigma \;\rho [\sigma ]}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D\sigma }$은(는) 보소닉 필드의 모든$$ 구성 $\sigma {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \sigma (x)}$에 대한 합계에 대한 측정을 나타내며$$, 가중치는 다음과 같다.

$[\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ])}$

여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 보소닉 장의 작용이고, $M{\displaystyle (\mu }$ ,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle M(\mu ,\sigma$)은 페르미온들이 보손에 어떻게 결합되었는지를 암호화하는 매트릭스다$$.따라서 관측 가능한 $A{\displaystyle }$ [${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ A$[\sigma ]}$의 기대값은 $\rho {\displaystyle }$[${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \rho[\sigma ]}$에 의해 가중된 모든 구성에 대한 평균이다$$.

$\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \;A[\sigma ]\;\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \;\rho [\sigma ]}.}$

$\rho {\displaystyle }$[ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \rho[\sigma ]}$이 양수인$$ 경우 확률 측정으로 해석할 수 있으며$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \langle _{\rho }}}$은(는) 몬테카를로 중요도 샘플링과 같은 표준 기법을 사용하여 필드 구성을 수치적으로 수행하여 계산할 수 있다$$.

기호 문제는 ${\displaystyle \rho }$[ ${\displaystyle ]}$ ] ${\displaystyle \rho [\sigma ]}$이(가) 양성이 아닐$$ 때 발생한다.이는 일반적으로 페르미온 화학전위$\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu$}}이(가$$) 0이 아닐 때, 즉 페르미온의 배경 밀도가 0이 아닐 때 페르미온 이론에서 발생한다.If ${\displaystyle \mu \neq 0}$ there is no particle-antiparticle symmetry, and ${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$, and hence the weight ${\displaystyle \rho (\sigma )}$, is in general a complex number, so Monte Carlo importance sampling cannot be used to evaluate the integral.

재가중 절차

비양성 가중치를 갖는 장 이론은 관측 가능한 무게에 비양성 부분(신호 또는 복합 위상)을 통합하여 양의 가중치를 가진 것으로 변환할 수 있다.예를 들어, 가중치 함수를 계량 및 위상으로 분해할 수 있다.

$\\displaystyle \rho [\buffa ]=p[\buffma ]\,\exp(i\theta [\buffma ])}$

여기서 $p{\displaystyle }$[ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyp$ p[\displaystyp $p[\displayma ]}$은(는) 실제

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\;p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}}$

원하는 기대값은 이제 분자와 분모가 모두 양의 가중 $함수$인 p [${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ p$[\sigma ]$를 사용하는 기대값인 비율이지만$,$ 위상 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$[${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \exp(i\ta [\sigma ])}$은 구성 공간에서 고진동수 함수가 된다$$.그래서 만약 한 사람이 몬테카를로 방법을 사용하여 분자와 분모를 평가한다면, 각각은 매우 적은 숫자로 평가하게 될 것이며, 정확한 값은 몬테카를로 샘플링 과정에 내재된 소음으로 인해 늪에 빠진다.부호 문제의 "나쁨"은 분모 exp${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle }$(i ${\displaystyle \theta }$ [${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ )${\displaystyle }$p${\displaystyle {}_p}$ ${\$ :$$1보다 훨씬 작으면 부호 문제가 심각하다.는 것을 보여줄 수 있다(예).^[5]

$\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T)}$

$여기$서 V ${\displaystyle V}$은(는) 시스템의 볼륨이고, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 온도, f ${\displaystyle f}$은(는) 에너지 밀도다.따라서 정확한 결과를 얻기 위해 필요한 몬테카를로 샘플링 포인트의 수는 시스템의 부피가 커질수록, 그리고 온도가 0으로 올라갈수록 기하급수적으로 증가한다.

가중치 함수를 계수와 위상으로 분해하는 것은 하나의 예에 불과하다(분모의 분산을 최소화하기 때문에 최적 선택으로 주장되어 왔다).일반적으로 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \rho [\la ]=p[\frac]{\rho[\rho]}{p[\fla ]}}}$

$여기$서 $p{\displaystyle }$ [${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ p$[\$$displaystyle$ p[\displaystyle$$$\$$mu =0}$ 이론의$$ 가중 함수${\displaystyle )}$는 임의의 양의 가중치 함수일$$ 수 있다.^[7]신호 문제의 불량성은 다음으로 측정된다.

${\displaystyle \left\langle {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\rigle _{p}\propto \expo \fV/T)}$

대량의 한계에서 다시 기하급수적으로 0이 된다.

표지판 문제를 줄이는 방법

수화 문제는 NP-hard로, 수화 문제의 완전하고 일반적인 해결책이 다항식 시간 내에 복잡도 등급 NP의 모든 문제를 해결할 것임을 암시한다.^[8](일반적으로 의심되는 바와 같이) NP 문제에 대한 다항식 시간 해결책이 없는 경우(P 대 NP 문제 참조), 수화 문제에 대한 일반적인 해결책은 없다.이는 통합의 진동이 숫자 오류를 줄이기 위해 악용될 수 있는 구조를 갖는 특정한 경우에 효과가 있는 해결책이 있을 가능성을 열어둔다.

충분히 높은 온도에서 또는 충분히 작은 부피에서 필드 이론과 같이 중간 부호 문제가 있는 시스템에서는 부호 문제가 너무 심각하지 않고 보다 세심하게 조정된 재가중, 가상의$\mu$에서 실제$$$$$\mu$까지의 분석적 연속성 등 다양한 방법으로 유용한 결과를 얻을 수 있다$.$$\mu$의$힘$으로$$Taylor의 확장$.$^[3][9]

신호 문제가 심각한 시스템 해결을 위한 다양한 제안이 있다.

• 메론-클러스터 알고리즘.이것들은 페르미온 세계선을 독립적으로 기여하는 클러스터로 분해함으로써 기하급수적인 속도를 달성한다.클러스터 알고리즘은 특정 이론에 대해 개발되었지만,^[5] 전자에 대한 허바드 모델이나 쿼크 이론인 QCD에 대해서는 개발되지 않았다.
• 확률적 양자화.구성에 대한 합계는 복잡한 Langevin 방정식에 의해 탐색된 상태의 평형 분포로 얻는다.지금까지 이 알고리즘은 신호 문제는 있지만 페르미온과 관련이 없는 테스트 모델에서 신호 문제를 회피하는 것으로 밝혀졌다.^[10]
• 고정 노드 방법.하나는 다중문자 파동함수의 노드(제로)의 위치를 고정하고, 몬테카를로 방법을 사용하여 그 제약조건에 따라 지상의 에너지의 추정치를 얻는다.^[11]
• Majorana 알고리즘.Majorana 페르미온 표현을 사용하여 Hubbard-Stratonovich 변환을 수행하면 페르미온의 다체 모델의 페르미온 사인 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있다.^[12][13]
• 다이어그램 몬테카를로 - 확률적이고 전략적으로 파인만 도표를^[14] 샘플링하는 것에 기초함

참고 항목

• 정지상 방법
• 발진 적분

각주

참조