고정 위상 근사

수학에서 정지 위상 근사치는 $k{\displaystyle }$ →$$analysis {\$displaystyle k\to \infit }$로 한계에 적용하는 점증적 분석의 기본 원리다$.$

이 방법은 19세기에서 유래한 것으로, 조지 가브리엘 스톡스와 켈빈 경 때문이다.^[1] 라플레이스의 방식과 가장 가파른 내리막길과 밀접한 관계가 있지만 라플레이스의 기여는 다른 것들보다 앞선다.

기본 사항

고정 위상 방법의 주요 개념은 위상이 급변하는 사인파괴의 해소에 의존한다. 만약 많은 사인파들이 같은 국면을 가지고 있고 그것들이 함께 첨가된다면, 그것들은 건설적으로 추가될 것이다. 그러나 이러한 동일한 사인파들이 주파수가 변화함에 따라 빠르게 변화하는 페이즈를 갖는다면, 그것들은 서로 다른 시간에 건설적인 덧셈과 파괴적인 덧셈 사이에서 변화하면서 일관성 없이 추가될 것이다.

공식

$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$을(를) 허용하면 g ${\displaystyle g}$이(가) 압축적으로 지지되거나 지수적으로 붕괴되고 모든 임계 지점이 비감소(즉, 비감소)된다는 가정 하에 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystysty f}($$즉, \displaystystystyte$)의 임계 지점 집합을 의미한다$$.$$$$${\displaystyle \det(\mathrm {Hess})(f(x_{0}))$$\neq 0}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{0}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ ${\displaystyle x_{0}\in \Sigma }$)에$$ $\$neq 0} k → $style {\displaystyle$ k\to$\infty$ $\}:$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})} \det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0}))) ^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})}$

Here ${\displaystyle \mathrm {Hess} (f)}$ denotes the Hessian of ${\displaystyle f}$, and ${\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}$ denotes the signature of the Hessian, i.e. the number of positive eigenvalues minus the number of negative eigenvalues.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$의 경우 다음과 같이 감소한다$.$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k f''(x_{0}) }}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}$

이 경우, $f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$에 대한 가정은 소멸되지 않는 모든 임계점으로 감소한다$$.

이것은 Wick-rotted 버전의 급강하 방법의 공식일 뿐이다.

예

함수를 고려하다

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }$.

이 함수의 위상 용어인 ${\displaystyle \varphi }$= k ${\displaystyle (\Omega }$) x -${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi =k(\omega)x-\omega t}$은$($는) 다음과 같은 경우 정지되어 있다.

${\dfrac {d}{d\omega}}{\mathopen{}}\왼쪽(k(\omega)x-\omega t\오른쪽){\mathclose{}=0}$

또는 동등하게

${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{\Omega }}$ ) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$= t ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$ {$dk(\omega )}{d\omega }{d\big }{\omega=\0}={0}={\frac}{$x$\}\}\}\}\}\}.$

이 방정식에 대한 솔루션은 $일부{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ t$$ ${\displaystyle t}$에 대해 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$${$0$}$을 ${\displaystyle \mathrm{테일러}}$ ${\displaystyle {}_{}}$로 확장하고$$ (Ω -${\displaystyle }$Ω${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}^{}}$)보다 높은 순서의 조건을 무시하면 2 ${\displaystystylease$ \$pi$}을 생성한다${\displaystyle {}^{}}$$\displaystyle (\omega -\omega _{0}}^{2$

${\displaystyle \phi =\좌측[k(\omega _{0}}x-x-\omega _{0})+{\frac {1}{1}{1}{1}xk"(\omega _{0})(\omega -\omega_{0})^{2}+\cdots }}}}$

여기서 $k{\displaystyle {}^{″}}$ ${\$ k$'}$은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 두 번째 파생상품을 의미한다$.$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 상대적으로$$ 크면 작은 차이$({\displaystyle \Omega }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(\omega -\omega _{0}})$도 적분 내에 급격한 진동을 일으켜 취소로 이어진다$$. 그러므로 우리는 테일러 확장에 대한 한계를 넘어서 통합의 한계를 확장할 수 있다. 우리가 공식을 사용한다면

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{ c }}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}$.

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left F(\omega _{0})\right \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\om$$ega$ -$\omega _{0}^{2}}\,d\omega$ $\}.$

이것은 와 통합된다.

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left F(\omega _{0})\right }{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left k''(\omega _{0})\right }}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$.

감소 단계

관련된 원리에 대한 첫 번째 주요 일반적 진술은 I(k)의 점증적 행동은 f의 임계점에만 의존한다는 것이다. g의 선택에 의해 적분이 f가 임계점을 갖지 않는 공간의 영역에 국부화되면, 결과 적분은 무한대로 진동의 주파수가 취해질 때 0이 되는 경향이 있다. Riemann-Lebesgue 보조정리 예를 참조하십시오.

두 번째 진술은 f가 모스함수일 때 f의 단수점이 비감소되고 격리되어 있을 때, 그 질문은 사례 n = 1로 축소될 수 있다는 것이다. 실제로, 그 다음, g를 선택해서 각각의 핵심 포인트 P를 단 하나의 케이스로 분할할 수 있다. 그 시점에서 P에서 헤시안 결정요인은 0이 아닌 가정으로 이루어지기 때문에 Morse 보조마사가 적용된다. 좌표 변경에 의해 f는 다음으로 교체될 수 있다.

${\displaystyle (x_{$$$$}^{2}+\cdots +x_{j$$}^{2}-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2$

j의 값은 P에서 f의 헤시안 행렬의 서명에 의해 주어진다. g에 관해서, 본질적인 경우는 g가 x의_i 범프 기능의 산물이라고 하는 것이다.지금 P가 원산지라고 일반성을 잃지 않고 [-1, 1] 간격으로 값 1이 있는 매끄러운 범프 함수 h를 취하여 재빨리 바깥쪽으로 0으로 조정한다. 가져가다

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{}}$( x ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i$

그러면 푸비니의 정리는 I(k)를 실제 라인에 걸쳐 있는 통합의 산물로 줄인다.

${\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

f(x) = ±x와² 함께. 마이너스 부호가 있는 경우는 플러스 부호가 있는 경우의 복잡한 결합이므로 기본적으로 하나의 필요한 점증적 추정치가 있다.

이러한 방법으로 Morse 함수의 진동 통합에 대한 점증상 약물들을 찾을 수 있다. 퇴보 케이스는 추가 기법이 필요하다(예: 에어리 기능 참조).

1차원 케이스

본질적인 설명은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}$.

사실 등고선 통합에 의해 방정식의 오른쪽에 있는 주항은${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{}}$]${\displaystyle }$] $[\displaystyle [-\inful ,\inful ]}$ 범위 이상으로 확장된 왼쪽의 적분 값임을 알 수 있다($$증거는 프레스넬 적분 참조). 그러므로 그것은 적분, 예를 들어${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle [1,\fty ]}$을(를) 추정하는 문제다$.$^[2]

이것은 f ${\displaystyle f}$이(가) 단일 비감소 임계점을 갖는$$ $모든$ 1차원 통합 $){\displaystyle I(k)$에 대한 모델이며 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$f}$은 두 번째 파생상품이 0보다$낮음.$ 실제로 모델 케이스는 두 번째 파생상품 2를 0으로 한다. 주문 k{k\displaystyle}을 사용하여 축소하기 위해에서, c{\displaystyle c}일정하다 kck에 의해{k\displaystyle}{ck\displaystyle}교체가}c{\displaystyle{\sqrt{c}에 의해){\displaystyle)}}스케일링과 같다. 그것은 f″(0)의 일반적인 가치가 0{\disp 따르는 것에 주목한다.($ystyle f'(0)>0$ 인자 $\pi {\displaystyle \sqrt{}}$/ ${\displaystyle \sqrt{k}}$ ${\$이(가) 된다$$.

${\displaystyle \sqrt{\frac{}{2}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}^{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{″}^{}}{}}}$( 0${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$) ${\$

( )< 0 ${\displaystyle f"(0)<0}$의 경우 앞에서 언급한 바와 같이 복잡한 결합 공식을 사용한다.

저차항

공식에서 알 수 있듯이, 정지 위상 근사치는 적분자의 점근거동에 대한 1차 근사값이다. 저차 항은 Feynman 다이어그램에 다양한 가중 요소를 더한 합으로 이해할 수 있으며, 잘 동작하는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 것이다$.$

참고 항목

• 양자장 이론의 공통 통합
• 라플레이스의 방법
• 가장 가파른 내리막길

메모들

참조

• 뉴욕 도버, N.와 핸델스만, R.(1975)의 점근성 팽창증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증가증
• 빅터 기일민과 슐로모 스턴버그(1990), 기하학적 무증상학 (1장 참조)
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• 아키, 케이이티;&리차드, 폴 G. (2002) "양적 지진학" (2차 개정), 255–256 페이지. 대학교 과학서적, ISBN 0-935702-96-2
• Wong, R. (2001) 점근법 통합론, 응용 수학 고전, 34권. 1989년 원본의 정정된 재인쇄. 공업 및 응용 수학 협회(SIAM), 필라델피아, PA. 16ii+543쪽, ISBN 0-89871-497-497-4.
• 디우도네, J. (1980), 칼쿨 인피니테시말, 헤르만, 파리

외부 링크

• "Stationary phase, method of the", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]