디리클레 함수

수학에서 디리클레 함수는^[1][2] 합리적 숫자 Q 집합의 지표$$ 함수 1 또는_Q 1 ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$1$} _{\mathb{Q} }}}}}$이다. 즉, x가 합리적 숫자인_Q 경우에는_Q 1(x) = 1이고, x가 합리적 숫자가 아닌 경우에는 1(x) = 0이다.

수학자 피터 구스타프 르주네 디리클레의 이름을 따서 지은 것이다.^[3]그것은 많은 상황에 대한 counterrexample을 제공하는 병리학적 기능의 예다.

위상학적 특성

• 디리클레 함수는 어디에서도 연속되지 않는다.
  증명

  • y가 합리적이면 f(y) = 1. 함수가 y에서 연속적이지 않음을 나타내려면 아무리 작은 Δ를 선택해도 f(z)가 f(y) = 1의 Δ 내에 f(z)가 없을 정도로 y의 Δ 내에 점 z가 있는 such을 찾아야 한다.사실 1/2은 그런 ε이다.비합리적인 숫자는 실체에서 밀도가 높기 때문에 우리가 어떤 Δ를 선택하든 우리는 항상 y의 Δ 내에서 비합리적인 z를 찾을 수 있고 f(z) = 0은 적어도 1에서 1/2 떨어져 있다.
  • y가 비이성적이면 f(y) = 0. 다시 ε = 1/2을 취할 수 있고, 이번에는 reals에 합리적인 숫자가 밀집되어 있기 때문에 z를 y에 필요한 만큼 합리적인 숫자로 선택할 수 있다.다시 f(z) = 1은 f(y) = 0에서 1/2 이상 떨어져 있다.
  합리적인 숫자의 집합과 불합리한 숫자의 집합에 대한 그것의 제한은 상수이고 따라서 연속적이다.디리클레 함수는 블럼베르크 정리의 원형적인 예다.
• 디리클레 함수는 다음과 같이 일련의 연속함수의 이중 점괘 한계로 구성할 수 있다.
  $${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R},\quad \mathbf {1} _{\mathb {Q}=\lim={k\to\inflt }\lim(\cos(k!\pi x)\오른쪽)^{2j}$$

  
  정수 j와 k의 경우이것은 디리클레 함수가 바이어 등급 2함수임을 보여준다.Baire 클래스 1 함수는 미거 세트에서만 불연속적일 수 있기 때문에 Baire 클래스 1 함수가 될 수 없다.^[4]

주기성

임의의 실수 x와 임의의 양의 이성적 숫자 T에 대해, 1_Q(x + T) = 1_Q(x)이다.따라서 디리클레 함수는 일정하지 않지만 기간 집합인 합리적인 숫자의 집합이 R의 밀집된 부분집합인 실제 주기 함수의 예다.

통합 속성

• Dirichlet 함수는 R의 어떤 부분에서도 Riemann 통합할 수 없는 반면, 그것의 불연속 지점의 집합이 무시할 수 없기 때문에 경계된다(레베그 측도의 경우).
• 디리클레 함수는 리만 적분의 맥락에서 모노톤 수렴 정리가 사실이 아님을 보여주는 counterrex샘플을 제공한다.
  증명

  0과 1 사이의 합리적 숫자에 대한 열거를 사용하여, 함수 f_n(모든 음이 아닌 정수 n에 대해)를 합리적인 숫자의 이 순서의 첫 번째 n항 집합의 지표 함수로 정의한다.기능 f의_n 증가 순서는 (비음수, Riemann-integrated with a laining integrated) 포인트와 함께 Rieman-integrated가 아닌 Diriclet 함수는 Diriclet 함수는 Rieman-integrable이 아니다.

• 디리클레 함수는 R에서 르베그 통합이 가능하며, (레베그 측도의 경우) 무시할 수 있는 합리적인 숫자의 집합을 제외하고 0이기 때문에 R에 대한 그것의 적분은 0이다.

참조