스펙트럼 농도 문제

T=1000 및 2WT=6에 대한 세 개의 선도적인 슬레피안 시퀀스.각 고차 순서는 여분의 영 교차가 있다는 점에 유의하십시오.

푸리에 분석에서 스펙트럼 농도 문제는 이산 푸리에 변환이 스펙트럼 농도로 측정한 대로 주어진 주파수 간격에서 최대 국부화된 특정 길이의 시간 시퀀스를 찾는 것을 말한다.

스펙트럼 농도

$w_{t}$ $w_{t}$ {\ $displaystyle w_{$ $t=1,2,3,4,...,T$ t $t=1,2,3,4,...,T$ = $t=1,2,3,4,...,T$ , $t=1,2,3,4,...,T$ , 3, $t=1,2,3,4,...,T$ , $t=1,2,3,4,...,T$ . $t=1,2,3,4,...,T$ , $t=1,2,3,4,...,T$ $t=1,2,3,4,...,T$ 의 이산시간 푸리에 변환(DTFT) U(f)은 다음과 같이 정의된다 $t=1,2,3,4,...,T$ .

U(f)=\sum _{t=1}^{T}w_{t}e^{-2\pi ift}.

다음에서는 샘플링 간격을 Δt = 1로 하고, 따라서 주파수 간격을 f ∈ [--,½]로 한다.U(f)는 주기 1의 주기 함수다.

For a given frequency W such that 0<W<½, the spectral concentration $\lambda (T,W)$ of U(f) on the interval [-W,W] is defined as the ratio of power of U(f) contained in the frequency band [-W,W] to the power of U(f) contained in the entire frequency band [-½,½].그것은

\lambda (T,W)={\frac {\int _{-W}^{W}{\ U(f)\{}^{{1/2}\,df}{\int _{1/2}^{1/2}{1/2}}}}}}}

U(f)가 0을 격리시켰기 때문에 $0<\lambda (T,W)<1$ < $0<\lambda (T,W)<1$ ( $0<\lambda (T,W)<1$ , W ) $0<\lambda (T,W)<1$ > $0<\lambda (T,W)<1$ ${\displaystyle$ 0 $<\lambda (T,W)<1}([$ 1] 참조). $0<\lambda (T,W)<1$ 따라서 스펙트럼 농도는 엄격히 1 미만이며, DTFT를 밴드 [-W,W $]$ 로 제한하고 이 밴드 외부로 사라지게 할 수 있는 $w_{t}$ $w_{t}$ 염기서열은 $w_{t}$ 하지 않는다 $.$

문제성명

주어진 T와 W에 대한 $\lbrace w_{t}\rbrace$ 모든 시퀀스 $\lbrace w_{t}\rbrace$ { $\lbrace w_{t}\rbrace$ $\lbrace w_{t}\rbrace$ $\lbrace w_{t}\rbrace$ $\lbrace w_{t}\rbrace$ 중에서 스펙트럼 농도가 최대인 시퀀스가 있는가?즉, 주파수 대역 밖에 있는 sidelobe 에너지가 최소인 순서가 있는가?

답은 그렇다; 그러한 시퀀스가 실제로 존재하고 $\lambda (T,W)$ ( $\lambda (T,W)$ , W $){\displaystyle \lambda (T,W)}$ 를 최적화하면 찾을 수 있다 $\lambda (T,W)$ 따라서 전력을 최대화한다.

\int _{-W}^{W}{\ U(f)\ }^{2}\,df

말하자면 총권력이 고정되어 있다는 제약을 받는다.

\int _{-1/2}^{1/2}{\ U(f)\}^{2}\,df=1,

$w_{t}$ 시퀀스 $w_{t}$ t ${\$ 에 의해 충족되는 다음 방정식으로 이어진다 $w_{t}$

\sum _{t'=1}^{T}{\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi(t-t')}{w_{t'}=\lambda w_{t}.

이것은 대칭행렬에 대한 고유값 방정식이다.

M_{t,t}={\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi(t-t')}}.

이 행렬이 양-확정성이므로 이 행렬의 모든 고유값은 0과 1 사이에 있음을 알 수 있다.위 방정식의 최대 고유값은 가능한 가장 큰 스펙트럼 농도에 해당하며, 해당 고유 벡터는 $w_{t}$ ${\$ 와 함께 요구되는 최적 시퀀스다 $w_{t}$ 이 시퀀스를^th 0-순서의 슬레피안 시퀀스(이탈 프로이트 스피로이드 시퀀스 또는 DPSS라고도 함)라고 하는데, 이는 사이드로브를 최대로 억제하는 독특한 테이퍼다.

1에 가까운 행렬 M의 지배적 고유값의 수는 N=2에 해당하는 것으로 나타났다.WT는 섀넌 번호로 불렸다.고유값 $\lambda$ $\lambda$ 이(가) 감소 순서에 따라 배열된 $\lambda$ 경우(예: $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ 1 $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ > $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ 2 $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ > $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ 3 $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ . $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ . > $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}$ N ${\$ $>\lambda$ $\lambda _{n+1}$ ${{N})$ $\lambda _{n+1}$ , ven + 1 ${\$ 에 해당하는 고유 벡터를 n-order^th Slevian sequence (DPSS) (0≤n≤N-1)라고 한다 $\lambda _{n+1}$ .또한 이^th n-order 테이퍼는 최고의 sidelobe 억제를 제공하며 이전 주문의 슬레피안 시퀀스( $(0,1,2,3....,n-1)$ $(0,1,2,3....,n-1)$ , $(0,1,2,3....,n-1)$ , $(0,1,2,3....,n-1)$ $(0,1,2,3....,n-1)$ - 1 $(0,1,2,3....,n-1)$ ) ${\displaystyle(0,1,2,3....,n-1)}$ 에 직교한다 $(0,1,2,3....,n-1)$ 이러한 낮은 순서의 슬레피안 시퀀스는 멀티테이터 방법에 의한 스펙트럼 추정의 기초를 형성한다.

시계열에 국한되지 않고, 스펙트럼 농도 문제를 재구성하여 구면 고조파를 이용하여 구체 표면에 적용할 수 있으며, 지구물리학 및 우주론에 응용할 수 있다.

참고 항목

참조

파르타 미트라와 헤만트 보킬.관찰된 브레인 다이내믹스, 미국 옥스포드 대학 출판부(2007), 책 링크
도널드. B.퍼시벌과 앤드류.T. 월든.물리적 적용을 위한 스펙트럼 분석: 영국 케임브리지 대학 출판부의 멀티테퍼 및 일반 단바리테이트 기술(2002)
파르타 미트라와 B.Pesaran, "동적 뇌 영상 데이터 분석"생물물리학 저널 76권, 691-708, arxiv.org/abs/q-bio/0309028
F. J. 시몬스, M. A. 위코렉, F.A. 달렌.구에 대한 주걱정 농도.SIAM 검토, 2006, doi:10.1137/S0036144504445765

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