멀티테퍼

신호 처리에서 멀티테이터 방법은 데이비드 J가 개발한 기술이다^[1]. Thomson은 X를 데이터로 유한 연속 실현하는 고정된 에고다이컬 유한분산 랜덤 프로세스 X의 전력 스펙트럼_X S를 추정한다.그것은 스펙트럼 밀도 추정에 대한 여러 가지 접근법 중 하나이다.

동기

멀티테이터 방법은 비모수 푸리에 분석의 일부 한계를 극복한다.신호에서 스펙트럼 정보를 추출하기 위해 푸리에 변환을 적용할 때, 우리는 각 푸리에 계수가 해당 요소 주파수의 진폭과 상대 위상을 신뢰할 수 있는 표현이라고 가정한다.그러나 이러한 가정은 일반적으로 경험적 데이터에 유효하지 않다.예를 들어, 하나의 재판은 단지 하나의 시끄러운 관심 과정의 실현을 나타낸다.중심 경향의 측정치를 추정할 때 통계에서 비교 가능한 상황이 발생한다. 즉, 개인이나 매우 작은 표본을 사용하여 모집단의 품질을 추정하는 것은 좋지 않은 관행이다.마찬가지로 공정의 단일 표본이 반드시 스펙트럼 특성에 대한 신뢰할 수 있는 추정치를 제공하는 것은 아니다.더욱이 신호의 원시 푸리에 변환에서 얻은 순진한 전력 스펙트럼 밀도는 실제 스펙트럼 함량에 대한 편향된 추정치다.

이러한 문제는 각 재판에 테이퍼를 적용한 후 동일한 사건의 많은 실현을 평균화함으로써 극복되는 경우가 많다.그러나 이 방법은 작은 데이터 집합에서는 신뢰할 수 없으며 시험마다 다른 신호 구성요소를 감쇠하지 않을 때는 바람직하지 않다.더욱이 많은 시행을 이용할 수 있는 경우에도 일반적으로 (백색 잡음을 제외하고) 비표현적 주기도문은 편향되며 편향은 기록된 실현 횟수가 아니라 각 실현의 길이에 따라 달라진다.단일 테이퍼를 적용하면 편향은 감소하지만 신호의 기록된 각 세그먼트의 시작과 끝에서 활동 감쇠로 인한 추정기 분산 증가 비용은 감소한다.다중접속법은 동일한 표본으로부터 여러 개의 독립적인 추정치를 얻음으로써 이러한 문제를 부분적으로 방지한다.각 데이터 테이퍼는 신호에 원소 단위로 곱하여 각 구성 요소 주파수에서 전력을 추정하는 윈도우 평가판을 제공한다.각 테이퍼는 다른 모든 테이퍼와 쌍방향으로 직교하기 때문에 윈도우 기능은 서로 상관관계가 없다.최종 스펙트럼은 모든 테이퍼 스펙트럼에 걸쳐 평균을 구함으로써 개별 테이퍼를 적용함으로써 발생하는 신호의 부분 감쇠로 인해 손실된 정보의 일부를 복구한다.이 방법은 단일 테이퍼 방식으로 가능한 것 이상으로 추정기 분산을 감소시키기 때문에 소수의 시행을 이용할 수 있을 때 특히 유용하다.더욱이 많은 시행을 이용할 수 있는 경우에도 다중 시행자 접근방식은 단일 시행자 사례에서 가능한 것보다 편향과 분산 사이의 절충에 대해 더 엄격한 통제를 허용하기 때문에 유용하다.Thomson은 Slepian 또는 이산 프로이트 스피로이드 시퀀스를 테이퍼로 선택했다. 왜냐하면 이 벡터는 상호 직교하며 바람직한 스펙트럼 농도 특성을 가지고 있기 때문이다(Slepian 시퀀스에 대한 섹션 참조).실제로 가중 평균은 종종 높은 순서의 지표에서 증가된 에너지 손실을 보상하기 위해 사용된다.^[2]

방법

p-차원 영점 평균 정지 확률적 공정 고려

${\displaystyle \mathbf {X}(t)={\lbrack X(1,t), X(2,t),\dots,X(p,t)\rbrack }^{T}$

여기서 T는 행렬의 위치를 나타낸다.예를 들어 신경생리학에서 p는 총 ${\displaystyle \mathrm{채널}}$ 수를 나타내며 따라서 $X{\displaystyle \mathbf{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$은(는) 해당 채널의 전기적 활성의 동시 측정을 나타낼 수 있다$$.관측치 사이의 샘플링 간격을 ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ t ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $\Delta t}$이$($가$)$ 되도록 하여 Nyquist 주파수가 f${\displaystyle {}_{}}$N = ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle }$( 2 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ ) ${\displaystyle f_{N}=1/(2\Delta$ t$)}$이 되도록 한다$.$

멀티테이터 스펙트럼 추정기는 서로 직교하는 여러 가지 다른 데이터 테이퍼를 사용한다.채널 l와 m 사이의 다중 사용자 교차 스펙트럼 추정기는 동일한 채널 쌍(l과 m) 사이의 K 직접 교차 스펙트럼 추정기의 평균이므로 형식을 취한다.

${\displaystyle {\s}^{lm}(f)={\frac {1}{1}{K}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}_{k}^{lm}(f).}$

여기서 $S{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle l_{}^{}}$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\hat {S}_{k}^{lm}($$f{\displaystyle \mathrm{}}$$)}($0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ {\$displaystyle 0\leq k\leq$ k$\})$은 채널 l와 m 사이의 k^th 직접 교차 스펙트럼 추정기로서 주어진다.

${\displaystyle {\hat {S}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{{1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}^{\lbrack J_{k}^{m}(f)}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle J_{k}^{l}^(f)=\sum _{t=1}h_{{n}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t}.}$

슬레피안 시퀀스

$\{{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t,}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lbrace h_{t,k}\rbrace }$ 순서는 k^th 직접 교차 스펙트럼 추정기 $S{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}f}$) ${\displaystyle {\s}{lm}^{lm}(f)$의 데이터 테이퍼로$$, 다음과$$ 같이 선택된다.

우리는 K 직교 데이터 테이퍼 세트를 선택해서 각각의 테이퍼들이 누설에 대한 좋은 보호를 제공한다.이러한 것들은 데이비드 슬레피안(문헌에서는 이산 프로이트 스피로이드 시퀀스 또는 줄여서 DPSS라고도 한다)의 뒤에 있는 슬레피안 시퀀스에 의해 매개변수 W와 명령 k = 0 ~ K - 1로 주어진다.^[3]최대 순서 K는 섀넌 번호 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ N ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2NW\Delta t}$보다 작도록 선택된다$.$수량 2W는 스펙트럼 농도 문제와 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle W\in (0,f_{N})}$에 대한 분해능 대역폭을 정의한다$.$l = m이면 l^th 채널의 자동 관측을 위한 멀티테이터 추정기가 나온다.최근에는 DPSS의 과완성 대안으로 변조된 DPSS에 기반한 사전이 제안되었다.^[4]

참고 항목: 창 기능:DPSS 또는 Slepian 창

다중접속법 적용

이 기법은 현재 Chronux의 스펙트럼 분석 툴킷에 사용되고 있다.신경과학 실험, 생물의학 공학 등에서 생성된 다채널, 다채널 데이터를 분석하기 위한 이 방법의 적용에 관한 광범위한 치료법은 여기에서 찾을 수 있다.시계열에 국한되지 않고, 지구물리학 및 우주론에서의^[6][7] 응용을 위해 구형^[5] 고조파로부터 구성된 슬레피안 함수를 이용하여 구체의 스펙트럼 추정을 위해 멀티테퍼 방법을 재구성할 수 있다.

참고 항목

• 치주문자

참조

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 13.4.3. Multitaper Methods and Slepian Functions", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

외부 링크

• [1] 적응형 가중치(GitHub에서 호스팅)를 포함한 다중 매체 방법을 위한 C++/Octave 라이브러리
• [2] SSA-MTM Toolkit 구현의 멀티테이터 방법에 대한 문서
• [3] 다변량 애플리케이션이 추가된 Fortran 90 라이브러리
• [4] 파이썬 모듈
• [5] R(프로그래밍 언어) 멀티테이터 패키지
• [6] Slepian 시퀀스를 생성하는 S-Plus 스크립트(dpss)