행렬규범칙

수학에서 행렬 규범은 요소(벡터)가 행렬(주어진 치수의 행렬)인 벡터 공간에서 벡터 규범이다.null

예선

Given a field ${\displaystyle K}$ of either real or complex numbers, let ${\displaystyle K^{m\times n}}$ be the K-vector space of matrices with ${\displaystyle m}$ rows and ${\displaystyle n}$ columns and entries in the field ${\displaystyle K}$. A matrix norm is a norm on ${\displ$$aystyle K^{m\time n}$

이 기사는 항상 그러한 규범들을 이중 수직 막대(예: $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle$\$A\$})로 쓸 것이다.$$따라서 매트릭스 노먼은 다음 속성을 충족해야 ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }\backslash {\displaystyle {cdot}^{}}$ $\$ :K^{m$\times$ n}\mathb ${R}$의 함수인${\displaystyle \Vert }$ $math$ bb : Km ^[1][2]×$.$ {\displaystyle \$cdot$\$:{m\times$ n$}\$t}\$to$\mathb {R$}}$이다.

모든 스칼라 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in K}$ 및$$ 행렬 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$

• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$\$A\ \geq$ 0$}($양수 값)
• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ⟺}$ ${\displaystyle A}$= 0 ${\displaystyle {m,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$확정)
• ${\displaystyle \alpha A}$ ${\displaystyle \Vert }$ =${\displaystyle \alpha }$ ‖ ${$ {\$displaystyle \ \alpha A\$= $\alpha \A\}($절대 동종)
• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A}$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \le }$ ‖ + + ${\displaystyle +}$ +${\displaystyle }$+ + { ${\displaystyle \{}${ { {$$\$displaystyle \ A+B\$ \$leq \$ A\ +\ B$\$}($$하위첨 또는 삼각형 불평등 충족)

매트릭스와 재배열 벡터를 구별하는 유일한 특징은 곱셈이다.매트릭스 규범은 다음과 같은 하위 곱셈인 경우에 특히 유용하다.^[1][2][3]

• $\displaystyle \ AB\ \leq \ A\ \ B\ }$^{[주 1]}

K에^n×n 대한 모든 규범은 하위-복제성을 갖도록 재조정될 수 있다. 일부 책에서는 matrix norm이라는 용어가 하위-복제 규범을 위해 사용된다.^[4]null

벡터 규범에 의해 유도된 매트릭스 규범

${\displaystyle {Kn}^{}}$$$ ${\$에 벡터 노먼${\displaystyle }${${\$$alpha$ $\}},$ ${\displaystyle {Km}^{}}$ ${\$ K$^{\$$displaysty$ $K^{\}}}$에 벡터 노먼트가 주어졌다고 ${\displaystyle {가정}_{}}$합시다$.$$임의$의 m ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ $m$$\times$ n$}$ 행렬$$ A는 표준 기준과 관련하여$$ ${\displaystyle {Kn}^{}}$ ${\$ K$^{$$n}$에서 ${\displaystyle {Km}^{}}$ ${\$$m\timesn$}까지의 선형 연산자를 유도하고, 하나는 ${\displaystyle {Km}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$m\$timesn}$의 공간에$$ 해당하는 유도 규범위를 정의한다.모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\properties n}$ 행렬은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ A\ _{\alpha ,\beta }&=\sup\{\ Ax\ _{\beta }:x\in K^{n}{\text{ with }}\ x\ _{\alpha }=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\ Ax\ _{\beta }}{\ x\ _{\alpha }}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}.\end{정렬}}}$

여기서 ${\displaystyle supp}$ $[\displaystyle \sup }$은(는) 우월함을 의미한다.이 표준은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 유도한 매핑이 벡터를 얼마나 늘릴 수 있는지$$ 측정한다.벡터 규범 ${\displaystyle \Vert {}_{\alpha }}$ α α$\\$ $\$ $\cdot \{\$alpha }}},${\displaystyle {}_{}}$used${\displaystyle {}_{}\Vert }$ ${\displaystyle {\alpha ,}_{}}$$$${\displaystyle {\beta }_{}}$$\$$displaystyle \cdot \{\alpha \beta }}}$ 이외의 표기법은 표준 연산자에 사용할 수 있다$$.null

p-norms에 의해 유도된 규범

벡터에 대한 p-표준(1㎛ p p ∞ ∞)을 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {Km}^{}}$ ${\$ 두 공간 모두에 사용할 경우 해당 연산자 표준은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \ A\ _{p}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Ax\ _{p}}.}$

이러한 유도된 규범들은 아래에 처리된 행렬에 대한 "진입형" p-규범 및 섀튼 p-규범과는 다르며, 일반적으로 also ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$. ${\displaystyle$\$A\ _{p}$에 의해 표시되기도 한다.$}$

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle p=1,2,\infit ,}$의 특수한 경우 유도 행렬 규범은 다음과 같이 계산하거나 추정할 수 있다.

${\displaystyle \ A\ _{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m} a_{ij},}$

이 값은 행렬의 최대 절대 열 합입니다.

${\displaystyle \ \{\infit }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n} a_{ij} ,}$

이것은 행렬의 최대 절대 행 합이다.null

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2}($벡터의 경우 유클리드 규범 또는 $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$표준$$)의 특수한 경우 유도 행렬 규범은 스펙트럼 규범이다. (두 값은 무한 치수에서 일치하지 않는다. 자세한 내용은 스펙트럼 반경을 참조한다.)The spectral norm of a matrix ${\displaystyle A}$ is the largest singular value of ${\displaystyle A}$ (i.e., the square root of the largest eigenvalue of the matrix ${\displaystyle A^{*}A}$, where ${\displaystyle A^{*}}$ denotes the conjugate transpose of ${\displaystyle A}$):^[5]

${\displaystyle \ A\ _{2}={\sqrt {\lambda _{\max }\왼쪽(A^{*}A\right)}}}}=\sigma _{\max }(A).}$

여기서 ${\displaystyle {\sigma max}_{}}$(${\displaystyle A}$) ${\$$displaystyle$ $\sigma _{\max }(A$$)}$은 행렬 $A$의 가장 큰 단수 값을 나타낸다$$$.$ 또한,

${\displaystyle \ A^{*}A\ _{2}=\ AA^{*}\ _{2}=\ A\ _{2}^{2}}$

since ${\displaystyle \ A^{*}A\ _{2}=\sigma _{\max }(A^{*}A)=\sigma _{\max }(A)^{2}=\ A\ _{2}^{2}}$ and similarly ${\displaystyle \ AA^{*}\ _{2}=\ A\ _{2}^{2}}$ by singular value decomposition (SVD).또 다른 중요한 불평등이 있다.

${\displaystyle \ A\ _{2}=\sigma _{\max }(A)\leq \ A\ _{\rm {F}}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n} a_{ij} ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{k=1}^{\min(m,n)}\sigma _{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},}$

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ ${\$\$A\ _{\rm {F}}$은(는) 프로베니우스 표준이다.동일성은 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 1등급 행렬이거나 0등급 행렬인 경우에만 유지된다.이러한 불평등은 행렬의 추적이 그 고유값의 합과 같다는 사실에서 파생될 수 있다.null

${\displaystyle \mathrm{p}}$= 2 ${\displaystyle p=2}$일 때, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는${\displaystyle }$${\displaystyle sup}$ A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$\ $A\ _{$2}}을$$ supp ${\displaystyle \{{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle A}$y : ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y\text{k}{}^{}}$ K n = ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle x{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${$ y${\displaystyle {}_{}}$\ 2${\displaystyle {}_{}}$= 1 {\$displaystystystyle \sop\{{x^}}$에 대해 동등한 정의를 갖는다.$T}Ay:x,y\in$ K$^{n}{\text{{}}{{2}=\y\}}}}{{2}=1$ Cauchy-Schwarz 불평등을 이용하여 위의 정의와 동등함을 나타낼 수 있다.null

예를 들어,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\end{bmatrix},}$

우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle \ A\ _{1}=\max({-3} +2+0;5+6+2;7+4+8)=\max(5,13,19)=19,}$

${\displaystyle \ A\ _{\infit }=\max({-3} +5+7;2+6+4;0+2+8)=\max(15,12,10)=15.}$

특성.

어떤 연산자 규범도 그들을 유도하는 벡터 규범과 일치하며, 다음을 제공한다.

$\displaystyle \Ax\ _{\beta }\leq \ A\ _{\alpha ,\beta }\x\{\alpha }}}$

Suppose ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha ,\beta }}$; ${\displaystyle \ \cdot \ _{\beta ,\gamma }}$; and ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha ,\gamma }}$ are operator norms induced by the respective pairs of vector norms ${\displaystyle (\ \cdot \ _{$$\alpha },\ \cdot \ _{\beta })}$; ${\displaystyle (\ \cdot \ _{\beta },\ \cdot \ _{\gamma })}$; and ${\displaystyle (\ \cdot \ _{\alpha },\ \cdot \ _{\gamma })}$.그러면.

$\displaystyle \AB\ _{\alpha ,\gamma }\leq \ A\ \{\beta ,\gamma }\B\{\alpha ,\beta };}$

이것은 에서 따온 것이다.

${\displaystyle \ ABx\ _{\gamma }\leq \A\ \{\\beta }\bx\{\beta \\\\b\\\\\\\\\\\nalpha }}$

, 그리고

${\displaystyle \sup _{\x\{\alpha }=1}\ABx\ _{\gamma }\{\alpha ,\gamma }}}$

제곱 행렬

Suppose ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha ,\alpha }}$ is an operator norm on the space of square matrices ${\displaystyle K^{n\times n}}$ induced by vector norms ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha }}$ and ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha }}$. Then, the operator norm is a하위 촉매 행렬 정규:

$\displaystyle \ AB\ _{\alpha ,\alpha }\leq \ A\ _{\alpha ,\alpha }\{\alpha ,\alpha }}}$

게다가, 그러한 규범은 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle (}$A${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\alpha }^{}{}_{}{}^{}}$) 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\$ A$^{r}\ _\\alpha ,\alpha }^{1/r}\geq \rho$ ($A)\quad }($1)

모든 양의 정수 r에 대하여, 여기서 ρ(A)는 A의 스펙트럼 반지름이다.대칭 또는 은둔자 A의 경우, 이 경우 2 표준은 정확히 A의 스펙트럼 반지름이기 때문에 (1)에 동일성이 있다.임의 행렬의 경우, 우리는 어떤 표준에 대해서도 동일하지 않을 수 있다; counterrexample은 다음과 같다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix},}$

스펙트럼 반경이 사라지는 거지어떤 경우든 매트릭스 표준에 대해 스펙트럼 반경 공식은 다음과 같다.

$\displaystyle \lim _{r\to \ft }\A^{r}\{1/r}=\rho (A)}$

일관되고 호환되는 규범

A matrix norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on ${\displaystyle K^{m\times n}}$ is called consistent with a vector norm ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha }}$ on ${\displaystyle K^{n}}$ and a vector norm ${\displaystyle \ \cdot \ _{\beta }}$ on ${\displaystyl$$e$ K$^{m$ 다음과 같은 경우:

$\displaystyle \Ax\ _{\beta }\leq \ A\ \ x\ _{\alpha }}}$

for all ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ and all ${\displaystyle x\in K^{n}}$. In the special case of m = n and ${\displaystyle \alpha =\beta }$, ${\displaystyle \ \cdot \ }$ is also called compatible with ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha }}$.

모든 유도 규범은 정의에 의해 일관된다.Also, any sub-multiplicative matrix norm on ${\displaystyle K^{n\times n}}$ induces a compatible vector norm on ${\displaystyle K^{n}}$ by defining ${\displaystyle \ v\ :=\ \left(v,v,...v\right)\ }$.

"진입" 행렬 표준

이러한 규범들은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$ 행렬을$$ ${\displaystyle \mathrm{크기}}$ m ${\displaystyle \cdot }$ n$${\$displaystyle m\cdot n$의 벡터로 취급하며 익숙한 벡터 규범 중 하나를 사용한다.예를 들어 벡터에 대한 p-표준(p ≥ 1)을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \ \{p,p}=\mathrm {vec}(A)\ _{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n} a_{p}\right)^{1/p}}}}}}}}}{1/p}$

이는 유도 p-규범(위 참조)과 섀튼 p-규범(아래 참조)과는 다른 규범이지만 표기법은 같다.null

특수한 경우 p = 2는 프로베니우스 규범이며, p = ∞은 최대 규범을 산출한다.null

L과_2,1p,q L 규범

$($ ${\displaystyle {}_{}}$ , … , ${\displaystyle n_{}}$) {\$displaystyle$ ($a_{1},\ldots ,a_{n}}}$을(를) 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 열이 되도록$$ 하십시오$.$$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1$}$표준은$$^[6] 행렬의 열에 있는 유클리드 규범의 합이다.

${\displaystyle \ \{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\a_{j}\{2}=\sum _{j=1}^{n}\좌(\sum _{i=1}^{m} _{ij} ^{2}^{{1}}}}}^{{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

각 데이터 포인트(열)에 대한 오차가 제곱되지 않기 때문에 ${\displaystyle {\mathrm{오류}}_{}}$ 함수로 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$1$}$규격이$$ 더 견고하다.강력한 데이터 분석과 희소성 코딩에 사용된다.null

p, q ≥ 1, ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$,1$} 표준$은 $다음$과 같이 L ${\displaystyle p_{}}$ ,${\displaystyle q_{}}$ ${\$ 표준으로$$ 일반화할 수 있다.

${\displaystyle \A\ _{p,q}=\좌(\sum _{j=1}^{n}}\좌(\sum _{i=1}^{m} a_{ij} ^{p}\오른쪽)^{\frac {q}^{p}{1}.}$

프로베니우스 규범

$p{\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle q_{}}$ = 2 L p ,${\displaystyle q_{}}$ ${\$ 표준에$$ 대해 p = q = 2일 때, 힐베니우스 표준 또는 힐베르트-슈미트 표준이라고 불리는데, 힐베르트-슈미트 표준은 (확률적으로 무한 차원) 힐버트 공간의 연산자의 맥락에서 더 자주 사용된다.이 규범은 다음과 같은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

$\\displaystyle \ A\ _{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n} a_{ij}^{2}}={\sqrt {\\properatorname} \left(A^{*}A\right)}}}={\sqrt{\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}}\sigma _{i}^{2}(A)},}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 단수 값이다$.$ 트레이스 함수는 제곱 행렬의 대각선 항목의 합계를 반환한다는 점을 기억하십시오.null

프로베니우스 규범${\displaystyle {(Probenius}^{}}$ norm)은 유클리드 규범을 $K{\displaystyle {}^{}}$ n × n {\displaystyle $K^{n\times n}}$까지 확장한 것으로, 모든$$ 행렬의 공간에 있는 프로베니우스 내제품에서 유래한다.null

프로베니우스 규범은 하위 곱셈형이며 수치 선형대수에 매우 유용하다.프로베니우스 표준의 하위 다중성은 카우치-슈바르츠 불평등을 이용하여 증명할 수 있다.null

프로베니우스 규범은 유도된 규범보다 계산하기가 더 쉬운 경우가 많으며, 회전(및 일반적으로 단일적 운영)하에서도 불변하는 유용한 성질을 가지고 있다.즉, $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$\ A\$_{\text{$$F}}=\AU\ _{\text{$$F}}=\UA\ _{\text{$모든 단일 매트릭스 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 대한 $F$$\}\}\}\}.$ 이 속성은 추적의 주기적 특성${\displaystyle (\mathrm{추적}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$) = ${\displaystyle \mathrm{추적}}$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle Z}$ X ${\displaystyle Y}$)$${\$displaysty \operatorname {trace}(XYZ)=\operatorname {trace}(ZXXY)})}:$

${\displaystyle \ AU\ _{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left(AU)^{*}AU\right)=\tracename {trace} \left(U^{*}A^{*}}}}}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\tracename {trace} \left(A^{*A\right)=\A\{\text}F}}^{2},}$

그리고 유사하게:

${\displaystyle \ UA\ _{\text}F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\tracename {trace} \left(A^{*}U^{*}}}}}}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\A\ _{\text}F}}^{2},}$

$여기$서 U ${\displaystyle U}$의 단일성($$$즉{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ U${\displaystyle }$= U ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle I\mathbf{}}$ ${\$을 사용했다.$$null

그것은 또한 만족한다.

${\displaystyle \ A^{*}A\ _{\text{F}}=\ AA^{*}\ _{\text{F}\leq \ A\ _{\text{F}}^{2}}:$

, 그리고

${\displaystyle \ A+B\ _{\text{F}}^{2}=\ A\ _{\text{F}}^{2}+\ B\ _{\text{F}}^{2}}+2\langle A,B\angle _{\text{F}},}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$$F}}}$은 프로베니우스 이너 제품이다.null

최대 표준

max norm은 p = q = ∞:를 갖는 원소의 norm이다.

${\displaystyle \ A\ _{\max }=\max _{ij} a_{ij} .}$

이 규범은 하위 복제가 아니다.null

일부 문헌(통신 복잡성 등)에서 $max{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$} -norm이라고도$$ 하는 최대 표준의 대체 정의는 다음과 같은 인수 규범을 가리킨다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}\ U\ _{2,\ft }\V\ _{2,\ft }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\ U_{i,:}\{2}\{{2}\{j,:}\ _{2}}:$

섀튼 규범

섀튼 p-표준은 행렬의 단수값 벡터에 p-표준을 적용할 때 발생한다.^[2]$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 단수 값이 σ으로_i 표시되는 경우$$, Schatten p-norm은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \A\{p}=\좌(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}}}\sigma _{i}^{p}(A)\오른쪽)^{\frac {1}{p}}.}$

이러한 규범들은 유도된 p-표준과 다시 표기법을 공유하지만 서로 다르다.null

모든 섀튼 규범들은 하위 증배법이다.또한 이들은 단위적으로 불변하므로 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$ $A{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle A}$ 및 $모든$ 단일 행렬 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및$$ V ${\displaystyle V}$에 대해${\displaystyle }$for ${\displaystyle A}$ =$‖ UAV\ }$을(를) 의미한다$.$

가장 친숙한 경우는 p = 1, 2, ∞이다.사례 p = 2는 앞에서 소개한 프로베니우스 규범을 산출한다.사례 p = ∞은 벡터 2-규범에 의해 유도된 연산자 규범인 스펙트럼 규범을 산출한다(위 참조).마지막으로 p = 1은 다음과 같이 정의된 핵 규범(추적 규범 또는 Ky Pan 'n'-norm이라고도^[7] 함)을 산출한다.

${\displaystyle \ A\ _{*}=\operatorname {trace} \left({\sqrt {A^{*}A}\right)=\sum _{i=1}^{i=1}{min\n\}}\sigma _{i}(A),}}$

여기서 $A{\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\ast }^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$은 양의 ${\displaystyle \mathrm{세미데마인}}$ 행렬 B {\$displaystyle B}$을(를) 나타내며$$${\displaystyle {,}^{}}$ B = A = A {\$displaystyle BB=$${\displaystyle {}^{}}$ 된다.$A^{*}A$ 좀더 정확히 말하면 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ A ${\displaystyle$ A$^{*}A}$가 양의 세미데마인 행렬이므로 그 제곱근은 잘 정의되어 있다.${\displaystyle \mathrm{핵규범}}$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ {$$ {\$displaystyle$ \$A\$ $_{*}}$은 순위 ${\displaystyle \text{함수}}$ 순위$(A$)의 볼록한 봉투여서$$ $낮은$ 순위 행렬을 검색하기 위해 수학 최적화에 자주 사용된다$.$null

단조 규범

rowner 순서와 관련하여 단조롭다면 matrix norm ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \cdot$\$}$을(를) monotone이라고 한다.따라서 행렬 표준은 다음과 같은 경우 증가하고 있다.

$[\displaystyle A\preccurlieq B\Rightarrow \ A\ \leq \B\ .}$

프로베니우스 규범과 스펙트럼 규범은 단조로운 규범의 예다.^[8]null

커트 규범

매트릭스 규범에 대한 또 다른 영감의 원천은 매트릭스를 가중되고 지시된 그래프의 인접 매트릭스로 고려하는 것에서 발생한다.^[9]소위 "컷 노먼(cut norm)"은 관련 그래프가 초당적으로 얼마나 가까운지를 측정한다.

${\displaystyle \ A\ _{\Box }=\max _{S\subseteq[n],T\subseteq [m]}{\왼쪽 \sum _{s\in S,t\in T}{A_{t,s}}}\오른쪽 }}}}$

여기서 ∈ K^m×n.^[9][10][11] 등가 정의(상수 인자까지)는 조건 2 S >n & 2 T >m; S=T; 또는 StT=^[10]m을 부과한다.

컷-노멀은 유도 연산자 규범 ‖·‖_∞→1과 등가인데, 그 자체가 그로텐디크 규범이라고 하는 또 다른 규범과 등가한다.^[11]null

그로텐디크 규범을 정의하려면 먼저 선형 연산자 K¹→K는¹ 스칼라에 불과하므로 어떤 K→K에서도^kk 선형 연산자로 확장된다는 점에 주목한다.더욱이, K와^nm K에 대한 어떤 기초 선택도 주어진다면, 모든 선형 연산자ⁿ K→K는^m 각 행렬 원소를 스칼라 곱셈을 통해 K의^k 원소에 허용함으로써 선형 연산자(K^k)→(ⁿK^k)로 확장된다.^m그로텐디크 표준은 확장 연산자의 표준이다. 기호는 다음과 같다.^[11]

${\displaystyle \ A\ _{G,k}=\sup {\text{{}u_{j}\in K^{k};\ u_{j}\\n_{j}\\\{j}\{\sum _{j\in [n]{m_{j}\cdot v_{j}}}}}}}}}A_{l,j}}}}$

그로텐디크 표준은 기초(일반적으로 표준 기준으로 간주)와 k의 선택에 따라 달라진다.null

규범의 등가성

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ \cdot \$cdot$\{\$alpha }$ 및$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Vert }$ $β$ {\${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ \$cdot \$ \{\$beta$의 두 가지 매트릭스 규범에 대해 다음과 같은 내용을 제공한다.

$\displaystyle r\A\ _{\alpha }\leq \A\{\beta }\leq s\ _{\alpha }}}$

일부 양수 r과 s의 경우, $모든{\displaystyle }$ 행렬 A${\displaystyle }$for K ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$ K$^{m\times n}$에 대해$,$ $즉{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Km}^{}}$× ${\displaystyle n^{}}${\$displaystyle$K^{$m\times n}$에 대한 모든 규범은 $동일$하며, ${\displaystyle {\mathrm{Km}}^{}}$× ${\$에 동일한 위상을 유도한다.벡터 공간 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$ K$^{m\times n}$은(는) 유한 치수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$을(를) 가지기 때문에 이것은 사실이다$.$

Moreover, for every vector norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$, there exists a unique positive real number ${\displaystyle k}$ such that ${\displaystyle l\ \cdot \ }$ is a sub-multiplicative matrix norm for every ${\displaystyle l\geq k}$.

A sub-multiplicative matrix norm ${\displaystyle \ \cdot \ _{\alpha }}$ is said to be minimal, if there exists no other sub-multiplicative matrix norm ${\displaystyle \ \cdot \ _{\beta }}$ satisfying ${\displaystyle \ \cdot \ _{\beta }<\ \cdot \ _{\alpha }}$.

정규 등가성 예제

$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$\$A\ _{p}}$을(를) 다시 한$$ 번 유도된 p-norm에 의해 유도된 규범을 가리킨다(위의 유도된 규범 섹션 참조).null

순위 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 $매트릭스{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ n ${\$ n$\}\}$에 대해 다음과 같은 불평등이 유지된다.^[12][13]

• ${\displaystyle \ A\ _{2}\leq \A\{F}\leq {\sqr}\A\{2}}:$
• ${\displaystyle \A\ _{F}\leq \A\{{*}\leq {\sqrt{r}\A\{F}}$
• ${\displaystyle \A\ _{\max }\leq \A\{2}\leq {\sqrt {mn}\{\max }}}}$
• ${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{n}}\A\{\\\\n1}\{\n1}\{\npty \A\{\npty \}}}}$
• ${\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{m}\A\{1}\{1}\{1}\leq\A\{1}.}$

매트릭스 규범들 사이의 또 다른 유용한 불평등은

${\displaystyle \ A\ _{2}\leq {\sqrt {\\\{1}\A\ _{\inflt}}}}$

핼더 부등식의 특별한 경우지null

참고 항목

• 이중규범
• 로그규범

메모들

참조

참고 문헌 목록

• 제임스 W. 뎀멜, SIAM, 1997년에 출판된 제1.7절.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear 대수학(SIAM, 2000년)이 발간했다.[1]
• 존 와트로, 양자정보 이론, 2.3 운영자 규범, 강의 노트, 워털루 대학교, 2011.
• 켄달 앳킨슨, 수치해석에 대한 소개, 1989년 존 와일리 & 선스 사에 의해 출판되었다.