정사각형 행렬

순서 4의 정사각형 행렬.

(

스타일

a_{ii

})

a_{ii}

는 정사각형 매트릭스의 주요 대각선을 형성합니다.예를 들어, 위의 4×4 행렬의 주 대각선에는 a = 9, a₂₂ = 11, a₃₃₄₄ = 4, a = 10의 원소가₁₁ 포함됩니다.

수학에서 정사각형 행렬은 행과 열의 수가 같은 행렬입니다.n-by-n 행렬은 n $(\displaystyle$ n $n$ $n$ 의 정사각형 행렬로 알려져 있습니다. 같은 차수의 2개의 정사각형 행렬을 더하고 곱할 수 있습니다.

정사각형 행렬은 종종 전단 또는 회전과 같은 단순한 선형 변환을 나타내기 위해 사용됩니다. $R$ 를 들어 R{\ $displaystyle$ R $}$ 이 $R$ 회전(회전행렬)을 나타내는 정사각형 $\mathbf {v}$ 이고 $\mathbf {v}$ v {\ $displaystyle \mathbf$ ${v$ $}$ 가 $\mathbf {v}$ 공간에서의 점의 위치를 나타내는 열 벡터라면 $R\mathbf {v}$ $R\mathbf {v}$ v {\ $displaystyle$ R\ $mathbf$ {v $}$ 는 $R\mathbf {v}$ 해당 점의 위치를 나타내는 다른 열 벡터를 생성한다.오토테이션v $\mathbf {v}$ {\ $displaystyle \mathbf {v}}$ 가 $\mathbf {v}$ 행 벡터인 $\mathbf {v}$ , 동일한 변환을 $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ {\ $displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T$ 를 $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ 하여 얻을 수 있습니다. $R^{\mathsf {T}}$ 서 $R^{\mathsf {T}}$ T $R^{\mathsf {T}}$ {\ $displaystyle$ R $^{\$ $mathsf {T$ $R$ 는 $R^{\mathsf {T}}$ $R$ 의 전치입니다.

주 대각선

$($ 1, …, n)는 정사각형 행렬의 주요 대각선을 이룬다.행렬의 왼쪽 상단 모서리에서 오른쪽 하단 모서리까지 이어지는 가상의 선 위에 있습니다.예를 들어, 위의 4×4 행렬의 주 대각선에는 a = 9, a₂₂ = 11, a₃₃₄₄ = 4, a = 10의 원소가₁₁ 포함됩니다.

오른쪽 위에서 왼쪽 아래 구석에 이르는 정사각형 행렬의 대각선을 반대각선 또는 반대각선이라고 합니다.

특별한 종류

이름.	n = 3인 예제
대각행렬	${bmatrix}a_{11}&0\0&a_{22}&0\0&a_{33)\end{bmatrix}$
하부 삼각 행렬	${bmatrix}a_{11}&0\a_{21}&a_{22}&0\a_{31)&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
상부 삼각 행렬	${bmatrix}a_{11}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{33)\end{bmatrix}$

대각 행렬 또는 삼각 행렬

메인 대각선 밖의 모든 엔트리가 0일 경우 A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 대각선 매트릭스라고 불립니다.주 대각선 위(또는 아래)의 모든 항목만 0인 경우 $,$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 를 $A$ 상부(또는 하부) 삼각 행렬이라고 합니다.

아이덴티티 매트릭스

$n$ 의 $n$ 아이덴티티 $I_{n}$ $(\$ $displaystyle$ $I_{n})$ 은 $I_{n}$ n $n\times n$ × $n\times n$ (\ $displaystyle$ n $\times$ n) $n\times n$ 로 $n\times n$ , 메인 대각선의 모든 요소는 1이고 다른 요소는 0입니다.

(\displaystyle I_{1}=bmatrix}1\end{bmatrix},\I_{2}=bgin{bmatrix}1&0\\\end{bmatrix},\ldots,\I_{n}=bgin{bmatrix}1&0\cdots&0\cdots&0&0\cdots\cdots\cdots\cdots&0&0&0&0&0&0&0&0&0&gts}

$이$ 행렬은 $차수$ n의 정사각형 행렬이며 특별한 종류의 대각 행렬이기도 합니다.이 행렬을 곱하면 행렬이 변경되지 않기 때문에 이를 항등행렬이라고 합니다.

AI_n = IA_m = 임의의 m-by-n

매트릭스

A의 경우 A(\

displaystyle

A

A

역행렬 및 역행렬

정사각형 $행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 다음과 $같은$ 행렬 B(\ $displaystyle$ B $)$ 가 $B$ 존재하는 경우 반전 또는 비단수라고 불립니다.

AB=BA=I_{n}.

^[1]^[2]

$B(\displaystyle$ B $)$ 가 $B$ 존재하는 $경우$ , A $(\displaystyle$ A $A$ 의 역행렬로 불리며 A $A^{-1}$ - 1 $(\$ A $^{-1$ 이라고 $A^{-1}$ .

대칭행렬 또는 대칭행렬

$A^{\mathsf {T}}=A$ 전치(transpose)와 같은 정사각형 $행렬$ A $(\displaystyle$ A $=$ A $^{\mathsf {$ T}}= $A$ 는 $A$ 대칭 행렬이다. $A^{\mathsf {T}}=-A$ A $A^{\mathsf {T}}=-A$ $=$ - $A^{\mathsf {T}}=-A$ {\ $displaystyle$ A $^{\mathsf {$ T}}=- $A$ 이면 $,$ A {\ $displaystyle$ A $}$ 를 $A$ 스큐 행렬이라고 합니다.

복소수 정사각형 $행렬$ A $A^{*}$ $displaystyle$ A $A$ 의 경우, 종종 $A^{*}$ 적절한 유사점은 켤레 $전치$ A(\ $displaystyle$ A $A^{*}$ 이며 $,$ 이는 A $displaystyle$ A $A$ 의 복소수 정사각형 $행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 전치이다 $.$ $A^{*}=A}$ 를 $A^{*}=A$ 에르미트 행렬이라고 한다. $A^{*}=-A$ A $=$ - $A^{*}=-A$ ${\displaystyle$ A^{*}=- $A$ 인 경우 $,$ $A$ {\ $displaystyle$ A $}$ 는 $A$ 스큐-Hermitian 행렬이라고 합니다.

스펙트럼 정리에 의해, 실대칭(또는 복소수 에르미트) 행렬은 직교(또는 유니터리) 고유 베이스를 가진다.즉, 모든 벡터는 고유 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있다.두 경우 모두 모든 고유값이 ^[3]실수입니다.

확정행렬

양의 유한	부정
$(\displaystyle {bmatrix}1/4&0\\0&1\end {bmatrix})$	$(\displaystyle {bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end {bmatrix})$
Q(x,y) = 1²/4 x + y²	Q(x,y) = 1²/4 x - 1/4² y
Q(x, y) = 1과 같은 점 (타원).	Q(x, y) = 1과 같은 점 (하이퍼볼라).

대칭 n×n 행렬은 0이 아닌 모든 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ x $x\in \mathbb {R} ^{n}$ δ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ x\ $in \mathbb {R}$ ^{ $n}$ 에 $x \in \mathbb{R}^n$ 대해 다음과 같이 주어지는 관련 2차 형식인 경우 양의 정의(각각각 음의 정의, 부정)라고 불린다.

Q(x) = x^TAx

는 양의 값만 받습니다(각각 음의 값만, ^[4]음의 값과 양의 값 모두).2차 형식이 음이 아닌 값(각각 비양만)만을 취하면 대칭행렬은 양-반 유한(각각 음-반 유한)이라고 불립니다. 따라서 행렬은 양-반 유한도 음-반 유한도 아닐 때 정확하게 무한합니다.

대칭 행렬은 모든 고유값이 ^[5]양수인 경우에만 양의 정의 행렬입니다.오른쪽 표는 2×2 행렬에 대한 두 가지 가능성을 보여줍니다.

대신 두 개의 다른 벡터를 입력으로 허용하면 A와 관련된 쌍선형 형식이 생성됩니다.

B_A(x, y) = xAy^T.^[6]

직교 행렬

직교 행렬은 열과 행이 직교 단위 벡터(즉, 직교 정규 벡터)인 실제 항목이 있는 정사각형 행렬입니다.마찬가지로 행렬 A의 전치가 역행렬과 같으면 행렬 A는 직교입니다.

A^{\textsf {T}}=A^{-1}

그것은 수반한다

A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,

여기서 I는 아이덴티티 매트릭스입니다.

직교 행렬 A는 반드시 반전 가능(역⁻¹ A = A), 단일^T 행렬(A⁻¹ = A*) 및 정규 행렬(A*A = AA*)입니다.직교 행렬의 행렬식은 +1 또는 -1입니다.특수 직교군 $\operatorname {SO} (n)$ δ ( $\operatorname {SO} (n)$ ) $\operatorname {SO} (n)$ \ $displaystyle \operatorname {SO}(n)$ 는 $\operatorname {SO} (n)$ 행렬식 +1을 갖는 n × n 직교 행렬로 구성된다.

직교 행렬의 복소 유사체는 단일 행렬이다.

정규 행렬

실수 또는 복소수 정사각형 $행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ $A^{*}A=AA^{*}$ $A^{*}A=AA^{*}$ $A^{*}A=AA^{*}$ $=$ {\ $displaystyle$ A $^{*}$ A $=$ $인$ 경우 정규 $A^{*}A=AA^{*}$ 이라고 합니다. $AA$ 실제 정사각형 행렬이 대칭, 스큐-대칭 또는 직교일 경우 정규 행렬입니다.복소수 정사각형 행렬이 에르미트 행렬, 스큐-헤르미트 행렬 또는 유니터리 행렬이면 정규 행렬입니다.정규 행렬은 방금 열거된 행렬의 유형을 포함하고 스펙트럼 정리가 ^[7]보유하는 가장 광범위한 행렬 클래스를 형성하기 때문에 주로 관심이 있습니다.

운용

추적하다

정사각형 행렬 A의 트레이스 tr(A)는 대각선 엔트리의 합계입니다.행렬 곱셈은 가환식이 아니지만 두 행렬의 곱의 궤적은 요인의 순서와 독립적입니다.

\displaystyle \operatorname {tr}(AB)=\operatorname {tr}(BA).}

이것은 행렬 곱셈의 정의에서 바로 나온 것입니다.

\operatorname {tr}(AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr}(BA).

또한 행렬의 흔적은 전치행렬의 흔적과 같다.

\operatorname {tr}(A)=\operatorname {tr}(A^{\mathrm {T} }).

행렬식

\mathbb {R} ^{2}

된 행렬에 의해 주어진 R

\mathbb {R} ^{2}

의

\mathbb {R} ^{2}

변환

(\style \mathbb

{R

}

^{2}).오른쪽의 녹색 평행사변형의 면적은 1이므로 이 행렬의 행렬식은 -1이지만, 지도는 벡터의 반시계 방향을 시계 반대 방향으로 전환하기 때문에 방향을 반전시킨다.

정사각형 $A$ 의 $A$ $\det(A)$ det $(A$ $|A|$ $A$ $Displaystyle$ A $)$ 는 $|A|$ 행렬의 특정 속성을 인코딩하는 숫자입니다.행렬식이 0이 아닌 경우에만 행렬을 반전할 수 있습니다.절대값은 단위 정사각형(또는 입방체) 이미지의 면적( $R$ 2 \displaystyle $\mathbb {R}$ ^{ $2$ 또는 볼륨( $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $\mathbb {R} ^{3}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $3$ 과 동일하며, 기호는 대응하는 선형 맵의 방향에 대응합니다.행렬식은 방향이 유지되는 경우에만 양의 값입니다.d.

2×2 행렬의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle\det{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}=ad-bc).}

3×3 행렬의 행렬식은 6개의 항(사루스의 법칙)을 포함한다.더 긴 라이프니츠 공식은 이 두 공식을 모든 ^[8]차원으로 일반화한다.

제곱행렬 곱의 행렬식은 행렬식의 ^[9]곱과 같습니다.

\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}

행의 배수를 다른 행에 추가하거나 열의 배수를 다른 열에 추가해도 행렬식은 변경되지 않습니다.두 행 또는 두 열을 바꾸면 행렬식에 -1을 ^[10]곱하여 행렬식에 영향을 줍니다.이러한 연산을 사용하여 모든 행렬을 더 낮은(또는 더 높은) 삼각 행렬로 변환할 수 있으며, 이러한 행렬의 경우 행렬식은 주 대각선 엔트리의 곱과 같습니다. 이것은 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 제공합니다.마지막으로, 라플라스 확장은 행렬식을 부행렬의 관점에서 표현한다. 즉, 작은 ^[11]행렬의 행렬식이다.이 확장은 라이프니츠 공식과 동등하다고 볼 수 있는 행렬식의 재귀적 정의에 사용될 수 있다. (1×1 행렬의 행렬식인 1×1 행렬의 행렬식 또는 심지어 0×0 행렬의 행렬식인 1을 예로 들 수 있다.행렬식은 두 개의 관련된 정사각형 행렬의 행렬식 나눗셈이 각 시스템의 ^[12]변수 값에 해당하는 크레이머 규칙을 사용하여 선형 시스템을 해결하기 위해 사용될 수 있습니다.

고유값 및 고유벡터

0이 아닌 $\mathbf {v}$ v {\ $displaystyle \mathbf {v}}$ 가 $\mathbf {v}$ 다음을 만족합니다.

A\mathbf {v} =\displayda \mathbf {v}

는 각각^[13]^[14]A의 고유값과 고유벡터(\ $displaystyle$ A $A$ 라고 불립니다.숫자 δ는 A - δI가_n 반전할 수 없는 경우에만 n×n 행렬 A의 고유값으로, 다음과 같다.

\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}

^[15]

행렬식 det(XI_n - A)의 평가에 의해 주어진 부정 X의 다항식_A p를 A의 특성 다항식이라고 한다.이것은 차수 n의 단일 다항식이다.따라서 다항식 p_A(항식) = 0은 최대 n개의 다른 해, 즉 ^[16]행렬의 고유값을 가집니다.A의 항목이 실제인 경우에도 이러한 항목은 복잡할 수 있습니다.케일리-해밀턴 정리에 따르면, p_A(A) = 0, 즉 행렬 자체를 특성 다항식으로 치환한 결과는 0 행렬을 생성한다.

「」를 참조해 주세요.

카르탄 행렬

메모들

^ 브라운 1991, 정의 I.2.28
^ 브라운 1991, 정의 I.5.13
^ 혼앤존슨 1985, 정리 2.5.6
^ Horn & Johnson 1985, 7장
^ 혼앤존슨 1985, 정리 7.2.1
^ Horn & Johnson 1985, 예 4.0.6, 페이지 169
^ Artin, Algebra, 제2판, Pearson, 2018, 섹션 8.6.
^ 브라운 1991, 정의 III.2.1
^ 브라운 1991, 정리 III.2.12
^ 브라운 1991, 콜라리 III.2.16
^ 미르스키 1990, 정리 1.4.1
^ 브라운 1991, 정리 III.3.18
^ 고유은 독일어와 네덜란드어로 "소유"를 의미합니다.
^ 브라운 1991, 정의 III.4.1
^ 브라운 1991, 정의 III.4.9
^ 브라운 1991, 콜라리 III.4.10

레퍼런스

Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

외부 링크

Wikimedia Commons의 정사각형 행렬 관련 매체

[1] 브라운 1991, 정의 I.2.28

[2] 브라운 1991, 정의 I.5.13

[3] 혼앤존슨 1985, 정리 2.5.6

[4] Horn & Johnson 1985, 7장

[5] 혼앤존슨 1985, 정리 7.2.1

[6] Horn & Johnson 1985, 예 4.0.6, 페이지 169

[7] Artin, Algebra, 제2판, Pearson, 2018, 섹션 8.6.

[8] 브라운 1991, 정의 III.2.1

[9] 브라운 1991, 정리 III.2.12

[10] 브라운 1991, 콜라리 III.2.16

[11] 미르스키 1990, 정리 1.4.1

[12] 브라운 1991, 정리 III.3.18

[13] 고유은 독일어와 네덜란드어로 "소유"를 의미합니다.

[14] 브라운 1991, 정의 III.4.1

[15] 브라운 1991, 정의 III.4.9

[16] 브라운 1991, 콜라리 III.4.10

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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[7]

[8]

[9]

[10]

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v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
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