스펙트럼 형상해석

스펙트럼 형상 분석은 기하학적 형상을 비교 분석하기 위해 라플라스-벨트라미 연산자의 스펙트럼(유전값 및/또는 고유 기능)에 의존한다.라플라스-벨트라미 연산자의 스펙트럼은 등각계 하에서는 불변하므로, 인간, 동물, 식물 등과 같은 구부러질 수 있는 물체, 즉 비강체 형상의 분석이나 검색에 매우 적합하다.

라플라스

라플라스-벨트라미 연산자는 열 방정식과 파동 방정식과 같은 많은 중요한 미분 방정식에 관여한다.리만 다지관에서는 다음과 같은 실제 값 함수 f의 구배 차이가 있는 것으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad}f.}$

그것의 스펙트럼 구성요소는 헬름홀츠 방정식(또는 라플라시안 고유값 문제)을 풀어서 계산할 수 있다.

${\displaystyle \Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.}$

해결책은 고유 특성 $ctions{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$모드) 및 해당하는 고유값 ${\displaystyle i_{}}$ i$${\$displaystyle \lambda _{i}$이며$,$ 이는 양의 실수의 분산 순서를 나타낸다.닫힌 도메인 또는 Neumann 경계 조건을 사용할 때 첫 번째 고유값은 0이다.일부 형상에서는 스펙트럼을 분석적으로 계산할 수 있다(예: 직사각형, 평탄한 토러스, 실린더, 디스크 또는 구체).예를 들어 구체의 경우 고유특성은 구형 고조파다.

고유값과 고유특성의 가장 중요한 특성은 이등계 불변성 물질이라는 것이다.즉 형상이 늘어나지 않으면(예: 3차원으로 구부러진 종이 한 장) 스펙트럼 값은 변하지 않는다.동물, 식물, 인간과 같이 구부릴 수 있는 물체는 관절에서 최소한의 스트레칭만으로 다른 신체 자세로 움직일 수 있다.결과 형상을 근등도라고 하며 스펙트럼 형상 분석을 사용하여 비교할 수 있다.

디스커트화

기하학적 모양은 종종 2D 곡면, 2D 표면 메쉬(대개 삼각형 메쉬) 또는 3D 고체 물체(예: 복셀 또는 4차원 메쉬 사용)로 표현된다.헬름홀츠 방정식은 이 모든 경우에 대해 해결될 수 있다.사각형 또는 3D 기하학적 형태의 부피와 같은 경계가 존재할 경우 경계 조건을 지정해야 한다.

다양한 유형의 지오메트리 표현에 대해 여러 가지 라플라스 연산자의 분해가 존재한다(별도 라플라스 연산자 참조).이러한 연산자 중 다수는 기초적인 연속 연산자와 거의 유사하지 않다.

스펙트럼 형상 설명자

ShapeDNA 및 그 변종류

ShapeDNA는 최초의 스펙트럼 형태 설명자 중 하나이다.라플라스-벨트라미 연산자의 고유값의 정상화된 시작 시퀀스다.^[1][2]그것의 주요 장점은 단순 표현(숫자의 벡터)과 비교, 척도 불변성이며, 단순함에도 불구하고 비강체 형상의 형상 검색에 매우 좋은 성능이다.^[3]ShapeDNA의 경쟁사에는 지오데틱 거리 매트릭스(SD-GDM)와 R-BiHDM(Red BiHarmonic Distance Matrix)의 단수 값이 포함된다.^[5]그러나 고유값은 글로벌 설명자이므로 형상DNA 및 기타 글로벌 스펙트럼 설명자는 국부적 또는 부분적 형상 분석에 사용할 수 없다.

글로벌 포인트 시그니처(GPS)

지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 글로벌 포인트 서명은^[6] $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 계산된 라플라스-벨트라미 연산자의 스케일링된 고유 기능의 벡터($$즉, 형상의 스펙트럼 내장)이다$$.GPS는 부분적인 모양 매칭에 사용할 수 없다는 점에서 세계적인 특징이다.

열 커널 서명(HKS)

열 커널 서명은^[7] 열 커널의 고유 구성을 사용한다.

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\inful }\expenda _{i}t)\varphi _{i}\varphi _{i}(y).}$

표면의 각 점에 대해 열 커널 h ${\displaystyle t_{}x}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{t}(x,x)}$의 대각선은 특정 시간 값 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$에서 샘플링되며$$$$ 부분 일치 또는 대칭 검출에도 사용할 수 있는 로컬 서명을 산출한다.

WKS(Wave 커널 서명)

WKS는^[8] 열 방정식을 슈뢰딩거 파동 방정식으로 대체하면서 HKS와 유사한 아이디어를 따른다.

향상된 웨이브 커널 시그니처(IWKS)

IWKS는^[9] 고유값에 새로운 스케일링 함수를 도입하고 새로운 곡률 항을 집계하여 비강성 형상 검색을 위한 WKS를 개선한다.

스펙트럼 그래프 파장 시그니처(SGWS)

SGWS는 등축 불변성뿐만 아니라 컴팩트하고 계산하기 쉬운 로컬 설명자로 대역 통과 필터와 로우패스 필터의 장점을 모두 결합한 것이다.SGWS의 중요한 측면은 WKS와 HKS의 장점을 하나의 서명으로 결합하는 동시에 도형의 멀티솔루션 표현을 허용하는 능력이다.^[10]

스펙트럼 매칭

복잡한 모양과 연관된 그래프 라플라시아인의 스펙트럼 분해는 등각계에 불변하는 고유 기능(모드)을 제공한다.형상의 각 꼭지점은 스펙트럼 좌표라고 부르기도 하며 각 지점에서 고유모형 값의 조합으로 고유하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x){\text{정점 }x.}$

스펙트럼 매칭은 가장 유사한 스펙트럼 좌표를 가진 다른 모양에 정점을 연결하여 포인트 대응점을 설정하는 것으로 구성된다.초기 작업은 스테레오 진단을 위한 희박한 대응책에 초점을 맞췄다.계산 효율성은 예를 들어 피질 표면 사이의 완전한 메쉬에서 밀도 있는 대응 기능을 가능하게 한다.^[14]스펙트럼 일치는 복잡한 비강화 영상 등록에도 사용될 수 있으며, 영상 변형이 매우 큰 경우에는 특히 어렵다.^[15]스펙트럼 고유모델 값에 기초한 그러한 영상 등록 방법은 실제로 전역 형상 특성을 포착하고, 국소 형상 특성에 기초하는 기존의 비강체 영상 등록 방법(예: 영상 그라데이션)과 대조를 이룬다.

참조