Galois 확장 시 주요 이상 분열

수학에서 숫자장 K의 갈루아 확장 L의 갈루아 그룹 G와 정수 O의_K 링의 프라임 이상 P가 O의_L 프라임 이상 산물로서 고려하는 방식 사이의 상호작용이 대수적 숫자 이론의 가장 풍부한 부분 중 하나를 제공한다.갈루아 확장에서 주요한 이상들이 분열된 것은 힐베르트의 이론이라고 부르면서 데이비드 힐베르트의 탓으로 돌리기도 한다.Riemann 표면의 래미티드 커버에 대한 기하학적 아날로그가 있으며, 이는 G의 두 가지 부분군이 아닌 한 가지 종류의 부분군만 고려하면 된다는 점에서 더 간단하다.이것은 힐버트 이전에 확실히 익숙했다.

정의들

L/K를 수장의 유한한 확장으로 하고, O와_K O를_L 각각 K와 L의 정수의 해당 링으로 하며, 이 링은 해당 분야에서 정수 Z의 적분으로 정의된다.

${\displaystyle {\display{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &\downarrow \\k&\hookrightarrow &l\end{array}}}}$

마지막으로, 잔존_K O/p가 밭이 되도록_K O에서 p를 0이 아닌 프라임 이상 또는 동등하게 최대 이상이 되게 한다.

1차원 고리의 기본 이론에서 보면 독특한 분해의 존재를 따른다.

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}}}}$

p에 의해 O에서_L 생성되는 이상적인 pO의_L 곱셈 e와_j 구별되는_j 최대 이상 P의 산물로.

필드 F = O_K/p는 모든 j에 대해 자연스럽게_j F = O/P에_Lj 내장되며, 이 잔류장 확장의 도_j f = [O_L/P_j : O_K/p]를 p에 대한 P의_j 관성도라고 한다.

다중성 e는_j p에 대한 p의_j 래미화 지수라고 불린다.일부 j에 대해 1보다 크면 필드 확장자 L/K를 p(또는 p가 L에 램핑되거나 L에 램핑된다고 함)라고 한다.그렇지 않으면 p에서 L/K를 미라믹스라고 한다.만약 이것이 그렇다면 중국 나머지 정리에 의한 O_L/pO는_L 필드 F의_j 산물이다.L/K 확장자는 상대적 차별을 나누는 프리타임으로 정확히 표시되므로, 거의 대부분의 프라임 이상에서 연장은 래밍되지 않는다.

이상규범의 승수성은 함축하고 있다.

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

f_j = e = 모든_j j에 대해 1(따라서 g = [L : K])이면 p는 L에서 완전히 갈라진다고 하고, g = 1과₁ f = 1(따라서₁ e = [L : K])이면, p는 L에서 완전히 충돌한다고 말한다.마지막으로, g = 1과₁ e = 1(그리고₁ f = [L : K])이면, 우리는 p가 L에서 불활성이라고 말한다.

갈루아 사태

다음에서 확장 L/K는 갈루아 연장으로 가정한다.그런 다음 $Galois{\displaystyle }$ 그룹${\displaystyle }$G = ${\displaystyle \mathrm{Gal}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle L}$ /${\displaystyle K}$ )$${\$displaystyle G=\operatorname {Gal}(L/K)}$이_j(가) P에서 전이적으로 작용한다.즉, L에서 p의 주요 이상인자는 L에서 K에 걸쳐 있는 L의 자동화에 따라 하나의 궤도를 형성한다.이것과 고유한 요인화 정리로부터 f = f_j, e = e는_j j와 독립적이다; 갈루아가 아닌 확장에 대해서는 확실히 필요하지 않다.그때의 기본적인 관계는 읽는다.

${\$$^{e}}$.

그리고

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

위의 관계는 [L : K]/ef가 O에서_L p의 주요 인자의 수 g와 같다는 것을 보여준다.궤도-안정제 공식에 따르면 이 숫자는 또한 모든 j에 대해 G/D와_Pj 동일하며, 여기서 P의_j 분해 그룹인 D는_Pj 주어진 P를_j 자신에게 보내는 G의 원소의 하위 그룹이다.기본적인 갈루아 이론에 의해 L/K의 정도와 G의 순서가 같기 때문에, 분해 그룹_Pj D의 순서는 j마다 ef라는 것을 따른다.

이 분해군에는 P의_j 관성군이라 불리는 부분군 I가_Pj 들어 있는데, F에서_j 신분 자동화를 유도하는 L/K의 자동화로 구성되어 있다.다른 말로 감소 지도 DPj의, IPj은 커널 →은 데뷔 ⁡(Fj/F){\displaystyle D_{P_{j}}}\operatorname{갈락토오스}(F_{j}/F)\to. 그런데 이것은 지도 위로의. 있고, 갈락토오스(Fj/F){\displaystyle \operatorname{갈}(F_{j}/F)⁡ 다음}을 보여 준다면 DPj/IPj고에게 순서에 동형이다.관성그룹_Pj I is e.

프로베니우스 원소의 이론은 더 나아가 유한장 확장_j F/F의 갈루아 그룹에서 프로베니우스 자동형성에 해당하는 주어진 j에 대한 D_Pj/I의_Pj 요소를 규명한다.미문제의 경우 D의_Pj 순서는 f이고 나는 하찮은_Pj 것이다.또한 프로베니우스 원소는 이 경우에_Pj D의 원소(따라서 G의 원소)가 된다.

기하학적 아날로그에서, 대수학적으로 닫힌 영역에 대한 복잡한 다지관이나 대수 기하학의 경우, 분해 그룹과 관성 그룹의 개념이 일치한다.거기서, 갈루아 래미티드 커버가 주어지면, 미세하게 많은 점들을 제외한 모든 점들이 동일한 수의 사전 이미지를 가지고 있다.

갈루아가 아닌 확장의 소수 분할은 처음에 분할 영역, 즉 다소 큰 갈루아 확장을 사용하여 연구할 수 있다.예를 들어, 입방체 장은 보통 그것들을 포함하는 6도 필드에 의해 '규제'된다.

예제 - 가우스 정수

이 절에서는 필드 확장 Q(i)/Q에서 주요 이상을 분할하는 방법을 설명한다.즉, 우리는 K = Q, L = Q(i)를 취하므로 O는_K 단순히 Z이고, O_L = Z[i]는 가우스 정수의 링이다.비록 이 사례가 대표성과 거리가 멀지만, 결국 Z[i]는 독특한 요소화를 가지고 있고, 독특한 요소화를 가진 2차적 분야가 많지 않다. 그것은 이론의 많은 특징들을 보여준다.

Q(i)/Q의 갈루아 집단을 위한 G, G의 복합적 결합 자동화를 위한 σ을 작성하면 3가지 사례를 고려해야 한다.

prime p = 2

Z의 prime 2는 Z[i]로 나타낸다.

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

따라서 여기서의 라미화 지수는 e = 2이다.잔류장은

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}$

두 개의 원소를 가진 유한한 영역이다.분해군은 2 이상의 Z[i] 프라임이 하나만 있으므로 G의 모든 것과 같아야 한다.관성군도 G의 전부인데, 그 이후부터이다.

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod{1}+i}$

for any integers a and b, as ${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$ .

사실, Z[i]에서 충돌하는 유일한 프라임은 모든 프라임이 Z[i]의 차별성을 나누어야 하기 때문에 2는 Z[i]에서 충돌하는 유일한 프라임이다.

프라임 페이지 1모드 4

어떤 prime p ≡ 1 mod 4는 Z[i]에서 두 개의 뚜렷한 prime 이상으로 갈라진다; 이것은 두 개의 제곱합에 대한 페르마의 정리를 보여주는 것이다.예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

이 경우 분해 그룹은 둘 다 사소한 그룹 {1}이다. 실제로 자동형성 σ은 두 프리타임(2 + 3i)과 (2 - 3i)을 전환하므로 어느 프라임의 분해 그룹에 있을 수 없다.분해 그룹의 하위 그룹인 관성 그룹도 사소한 그룹이다.두 개의 잔여장이 있는데, 각 프라임마다 하나씩 있고,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

둘 다 13개의 원소를 가진 유한한 장에 이형성인 것이다.프로베니우스 원소는 사소한 자동형성이다. 이것은 다음을 의미한다.

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod{2}}\pm 3i}$

모든 정수 a와 b에 대해.

프라임 페이지 3모드 4

어떤 prime p ≡ 3 mod 4는 Z[i]에서 불활성 상태로 유지된다. 즉, 분리되지 않는다.예를 들어 (7)은 Z[i]에서 전성기를 유지하고 있다.이런 상황에서 분해군은 G의 전부인데, 다시 한 번 주요 요인이 하나뿐이기 때문이다.단, 이 상황은 p = 2 사례와 다른데, 현재 σ은 잔류장에 대해 사소한 작용을 하지 않기 때문이다.

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\,}$

7² = 49의 원소를 가진 유한장이다.예를 들어 1 + i와 σ(1 + i) = 1 - i의 차이는 2i로, 확실히 7로 나누어지지 않는다.따라서 관성 그룹은 사소한 그룹 {1}이다.하위 필드 Z/7Z 위에 있는 이 잔류 필드의 갈루아 그룹은 순서 2를 가지며, 프로베니우스 요소의 이미지에 의해 생성된다.프로베니우스는 다름아닌 σ; 이것은 라는 뜻이다.

$디스플레이 스타일(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod{7}}$

모든 정수 a와 b에 대해.

요약

프라임 인 Z	Z[i] 단위로 분할하는 방법	관성군	분해군
2	인덱스 2로 라미즈 처리	G	G
p ≡ 1모드 4	두 개의 고유한 요소로 분할	1	1
p ≡ 3 mod 4	비활성 상태 유지	1	G

인자화 계산

O의_K 주요 이상 P의 인자를_L O의 소수점까지 결정하려고 한다고 가정합시다.다음의 절차(Neukirch, 페이지 47)는 많은 경우에 이 문제를 해결한다.전략은 O에서_L 정수 θ을 선택하여 L이 K를 넘어 생성되도록 하는 것이다(이러한 θ은 원시 원소 정리에 의해 존재한다고 보장됨), 그리고 K에 대한 θ의 최소 다항식 H(X)를 검사하는 것이다. 이는_K O에 계수가 있는 단일 다항식이다.H(X) modulo P의 계수를 줄여서 F, (마인이트) 잔류장 O_K/P의 계수를 갖는 단항 다항식 h(X)를 구한다.h(X)가 다항 링 F[X]를 다음과 같이 인수한다고 가정하자.

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}^{e_{n},}$

여기서 h는_j F[X]의 구별되는 단일 불분명한 다항식이다.그런 다음 P가 상당히 많은 예외적인 소수 중 하나가 아닌 한(정확한 조건은 아래에 설명되어 있다) P의 인수에는 다음과 같은 형식이 있다.

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

여기서_j Q는 O의_L 뚜렷한 주요 이상이다.나아가 각 Q의_j 관성도는 해당 다항 h의_j 정도와 같으며 Q:에_j 대한 명시적 공식이 있다.

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L}}}$

여기서 h는_j 다항식 h를_j K[X]로 들어 올리는 것을 의미한다.

갈루아의 경우 관성도가 모두 같으며, 라미화 지수₁ e = ...= e는_n 모두 동일하다.

위의 결과가 반드시 유지되지 않는 예외적인 프리타임은 링 O_K[[]의 도체에 상대적으로 프라임이 되지 않는 프리타임이다.도체는 이상적인 것으로 정의된다.

${\displaystyle \{y\in O_{L}yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

정수의 전체 고리(최대 주문) O에서_L 순서_K O[θ]가 얼마나 멀리 떨어져 있는지 측정한다.

유의미한 유의사항은 상기 가설을 충족하는 이용 가능한 θ이 없을 정도로 L/K와 P의 예가 존재한다는 것이다(예: 참조).따라서 위에 주어진 알고리즘은 그러한 P를 고려하는 데 사용할 수 없으며, 에서 설명한 것과 같이 보다 정교한 접근법을 사용해야 한다.^[2]

예

가우스 정수의 경우를 다시 생각해 보자.우리는 θ을 최소 다항식 H(X) = X² + 1의 가상 단위 i로 받아들인다. Z[ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ $]$는 Q(${\displaystyle }$ ${\displaystyle i})$의 정수 전체 고리이므로 도체는 단위 이상적이므로 예외적인 프리임이 없다.$$

P = (2)의 경우 다항식 X² + 1 modulo 2를 고려하는 Z/(2)Z 필드에서 작업해야 한다.

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}.}$

따라서 관성도 1과 라미화 지수 2를 갖는 1차 인자는 단 하나뿐이며, 이 인자는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z}[i]}$

다음 경우는 프라임 p p 3 mod 4의 P = (p)에 관한 것이다.구체성을 위해 우리는 P = (7)를 택할 것이다.다항식² X + 1은 수정 불가능한 모듈로 7이다.따라서 관성도 2와 라미화 지수 1을 갖는 원인자는 단 하나뿐이며, 이 인자는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z}[i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z}[i]=7\mathbf {Z}[i]}$

마지막 경우는 프라임 p ) 1 mod 4의 P = (p)이다; 우리는 다시 P = (13)을 취할 것이다.이번에 우리는 그 요소들을 가지고 있다.

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5){\pmod {13}.}$

따라서 관성 정도와 라미화 지수 1을 모두 갖는 두 가지 주요 요인이 있다.그것들은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z}[i]+(i+5)\mathbf {Z}[i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z}$

그리고

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z}[i]+(i-5)\mathbf {Z}[i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z}[i]}$

참조

외부 링크

• "Splitting and ramification in number fields and Galois extensions". PlanetMath.
• William Stein, A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.