제곱합성함수

수학에서 정사각형 통합함수는 2차 통합함수 ${\displaystyle {또는\mathrm{}}^{}}$ L $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$함수라고도 하며,^[1] 절대값 제곱의 적분이 유한한 실제 또는 복합값의 측정함수다. 따라서 실선의 사각 통합성$({\displaystyle }$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\$디스플레이 $스타일(-\inflat ,+\inflat )}$은 다음과 같이 정의된다$$.

$또한{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}{\displaystyle }$[ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$과 같은 경계된 간격에 대한 이차적 통합성에 대해서도 말할 수 있다$.$^[2]

등가의 정의는 함수 자체의 제곱(절대값보다)이 르베그 통합 가능하다고 하는 것이다. 이것이 참이 되려면 실제 부분의 양과 음의 부분의 통합은 상상의 부분뿐만 아니라 둘 다 유한해야 한다.

정사각형 통합함수의 벡터 공간(Lebesgue 측정에 관한 것)은 ${\displaystyle \mathrm{p}}$= 2 ${\displaystyle p=2}$로 L 공간을^p 형성한다$.$ L^p 공간 중에서 정사각형 통합함수의 등급은 내부 제품과 호환되는 데 있어 독특하여 각도, 직교성 등의 개념을 정의할 수 있다. 이 내부 제품과 함께, 모든^p L 공간이 각각의 p-규범에 따라 완성되기 때문에 사각 통합 기능이 힐버트 공간을 형성한다.

종종 이 용어는 특정 함수를 지칭하는 것이 아니라 거의 모든 곳에서 동일한 함수의 동등성 등급을 지칭하기 위해 사용된다.

특성.

정사각형 통합 기능("기능"이 실제로 거의 모든 곳에서 동일한 기능의 동등 등급을 의미한다는 의미에서 언급됨)은 다음이 제공하는 내부 제품으로 내부 제품 공간을 형성한다.

${\displaystyle \langle f,g\angle =\int _{A}{\overline {f(x)}g(x)\,\mathrm {d}x}x}$

어디에

• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$은(는) 정사각형 통합 함수,
• ${\displaystyle \stackrel{}{f}}$( $){\$은(는) $f{\displaystyle }$( x $){\displaystyle f(x)}$의 복잡한 결합이다$.$
• ${\displaystyle A}$은(는) 통합되는 집합이다$$. 첫 번째 정의에서(위의 서문에 제시된) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은$($는) ( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+$$)이고$,$ 두 번째 $정의$에서 A ${\displaystystyle A}$은${\displaystyle (}$는$)$이고, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyty$ [$a$$,b]$이다$.$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ $^({\$a$^{2}=a\cdot {\overline{a$이므로 사각형 통합성은 다음과 같다.

$\displaystyle \langle f,f\angle <\fty .\,}$

위에서 정의한 내제품에 의해 유도된 측정기준에 따라 사각형 통합함수가 완전한 측정지표 공간을 형성한다는 것을 알 수 있다. 완전한 미터법 공간은 Cauchy 공간이라고도 하는데, 그러한 미터법 공간의 시퀀스가 Cauchy인 경우에만 수렴되기 때문이다. 규범에 의해 유도된 미터법 아래 완전한 공간은 바나흐 공간이다. 따라서 사각형 통합함수의 공간은 표준에 의해 유도된 미터법 아래 바나흐 공간이며, 이 공간은 내제품에 의해 유도된다. 우리가 내부 제품의 추가적인 특성을 가지고 있기 때문에, 이 공간은 내부 제품에 의해 유도된 미터법 하에서 완성되기 때문에, 특히 힐버트 공간이다.

This inner product space is conventionally denoted by ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ and many times abbreviated as ${\displaystyle L_{2}}$. Note that ${\displaystyle L_{2}}$ denotes the set of square integrable functions, but no selection of 미터법, 표준 또는 내부 제품은 이 표기법으로 지정된다. 세트와 특정 내제품 ${\displaystyle ⟨,{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 내제품 공간을 명시한다$$.

정사각형 통합 함수의 공간은 $p$^p = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2}$인 L 공간이다$.$

예

• ${\displaystyle \frac{}{}}$($,$1)에 정의된 $$1 x {\$displaystyle$ {1$}{x^{n}}}}}$은(는) 2{\$displaystyle$ n$<{\frac$ {$1}{$1}:{2$}}:$ $n{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$에 대해 L에² 없음$.$^[1]

• [0,1]에 정의된 경계 함수. 이러한 함수는 또한 모든 p 값에 대해 L에^p 있다.^[3]
• ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$${\displaystyle }$[${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [1,\inflit )}$에 정의됨$.$^[3]

비예시

• ${\displaystyle \frac{}{}}$[0,1]에 정의된 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ {\$displaystyle {\frac {1}{x$ 여기서 0의 값은 임의 값이다. 더욱이$,{\displaystyle }$ 이 함수는 [${\displaystyle 1}$,$){\displaystyle [1,\infit )}$의 p의 어떤 값에도 대해 L에^p 있지 않다$.$^[3]

참고 항목

• 엘^p 스페이스

참조