안정군

모형 이론에서 안정 그룹은 안정 이론의 의미에서 안정되는 집단이다.유한한 몰리 등급의 그룹에 의해 중요한 등급의 예시가 제공된다(아래 참조).

예

• 유한 몰리 등급의 그룹은 공식 x = x가 모델 G에 대해 유한 몰리 등급을 갖는 추상 그룹 G이다.유한 몰리 계급의 집단의 이론은 Ω-stable이므로 유한 몰리 계급의 집단은 안정된 집단이라는 정의에서 따온 것이다.유한 몰리 계급의 집단은 유한한 차원 물체처럼 특정한 방식으로 행동한다.유한 몰리 계급의 그룹과 유한 집단의 두드러진 유사성은 활발한 연구의 대상이다.
• 모든 유한 집단은 몰리 계급이 유한하며, 사실상 0위다.
• 대수학적으로 폐쇄된 분야 위에 있는 대수학 그룹은 대수학 집합으로서의 그들의 차원과 같은 유한한 몰리 등급을 가지고 있다.
• 셀라(2006)는 자유 그룹, 그리고 더 일반적으로 토션 없는 쌍곡선 그룹이 안정적이라는 것을 보여주었다.두 개 이상의 발전기에 있는 자유 그룹은 슈퍼스타일이 아니다.

체린-질버 추측

그레고리 체린(1979년)과 보리스 질버(1977년)로 인한 체린-질버 추측(대수성 추측이라고도 함)은 무한(Ω-stable) 단순 집단이 대수적으로 닫힌 분야보다 단순한 대수군임을 시사한다.그 추측은 질버의 삼분법적 추측에서 따랐을 것이다.체린은 Ω이 가능한 모든 단순 집단에 대해 이 문제를 제기했지만, 유한한 몰리 계급 집단의 경우조차 어려워 보였다고 말했다.

이러한 추측을 향한 진전은 보로빅의 유한한 단순 집단의 분류에 사용되는 방법 이전 프로그램을 따랐다.한 가지 가능한 원인으로는 나쁜 그룹이 있다. 유한한 몰리의 불용성 연결 그룹은 정의 가능한 적절한 하위 그룹이 영점인 모든 하위 그룹의 순위를 매긴다. (그룹 자체 외에 유한 지수의 정의 가능한 하위 그룹이 없는 경우 연결 그룹이라고 한다.)

이러한 추측에 대한 많은 특별한 사례가 입증되었다. 예를 들면 다음과 같다.

• 몰리 1등과 연결된 모든 그룹은 아벨리안이다.
• Cherlin은 연결된 2위 그룹이 해결 가능하다는 것을 증명했다.
• Cherlin은 Morley 3위의 단순한 그룹이 G가 해석하는 일부 대수적으로 폐쇄된 필드 K에 대해 PSL₂(K)에 대해 나쁜 그룹이거나 이형성이라는 것을 증명했다.
• 참치 알티넬, 알렉산드르 5세보로빅, 그리고 그레고리 체린(2008)은 유한 몰리 등급의 무한 집단이 특성 2의 대수적으로 폐쇄된 분야보다 대수적 집단이거나 유한한 2계급을 갖는다는 것을 보여주었다.

참조

• Altinel, Tuna; Borovik, Alexandre; Cherlin, Gregory (1997), "Groups of mixed type", J. Algebra, 192 (2): 524–571, doi:10.1006/jabr.1996.6950, MR 1452677
• Altinel, Tuna; Borovik, Alexandre V.; Cherlin, Gregory (2008), Simple groups of finite Morley rank, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 145, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/145, ISBN 978-0-8218-4305-5, MR 2400564
• Borovik, A. V. (1998), "Tame groups of odd and even type", in Carter, R. W.; Saxl, J. (eds.), Algebraic Groups and their Representations, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol. 517, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 341–366
• Borovik, A. V.; Nesin, Ali (1994), Groups of Finite Morley Rank, Oxford Logic Guides, vol. 26, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853445-0, MR 1321141
• Burdges, Jeffrey (2007), "The Bender method in groups of finite Morley rank" (PDF), J. Algebra, 312 (1): 33–55, doi:10.1016/j.jalgebra.2005.10.009, MR 2320445
• Cherlin, G. (1979), "Groups of small Morley rank", Ann. Math. Logic, 17 (1–2): 1–28, doi:10.1016/0003-4843(79)90019-6
• Macpherson, Dugald (2010), "Review of "Simple groups of finite Morley rank" by T. Altinel, A. V. Borovik and G. Cherlin", Bulletin of the American Mathematical Society, 47 (4): 729–734, doi:10.1090/S0273-0979-10-01287-5
• Pillay, Anand (2001) [1994], "Group of finite Morley rank", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Poizat, Bruno (2001), Stable groups, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 87, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xiv+129, doi:10.1090/surv/087, ISBN 0-8218-2685-9, MR 1827833 (1987년 프랑스 원본에서 번역됨)
• Scanlon, Thomas (2002), "Review of "Stable groups"", Bull. Amer. Math. Soc., 39 (4): 573–579, doi:10.1090/S0273-0979-02-00953-9
• Sela, Zlil (2006), Diophantine Geometry over Groups VIII: Stability, arXiv:math/0609096, Bibcode:2006math......9096S
• Wagner, Frank Olaf (1997), Stable groups, Cambridge University Press, ISBN 0-521-59839-7
• Zil'ber, B. I. (1977), "Группы и кольца, теория которых категорична (Groups and rings whose theory is categorical)", Fundam. Math., 95: 173–188, MR 0441720