통계안정성

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가장 놀라운 물리적 현상 중 하나인 통계적 안정성의 현상은 이 크기가 클 경우 표본 크기에 대한 통계(즉, 표본의 함수)의 의존성이 약하다는 것이다. 이 효과는 예를 들어 질량 사건 및 평균의 상대 주파수(유해 확률)에 대해 대표적이다. 이 현상은 널리 퍼져 있어서 근본적인 자연현상으로 볼 수 있다.

통계적 안정성 현상의 물리적 성질은 질량 사건을 관찰함으로써 드러난다.

현재 이 현상을 설명하는 두 가지 이론이 알려져 있다. 이들은 발달의 오랜 역사를 지닌 고전적 확률론, 그리고 최근 수십년 사이에 만들어진 초랜덤 현상론이다.

역사

통계적 안정현상에 가장 먼저 관심을 모은 것은 1662년 옷장 상인 J. 그라우트(1620~1674)이다. Information about research on statistical stability is fragmentary for the period from the end of the seventeenth century to the end of the nineteenth century, e.g., by Jacob Bernoulli (1654–1705), Simeon Denis Poisson (1781–1840), Irenee-Jules Bienayme (1796–1878), Antoine Augustin Cournot (1801–1877), Adolphe Quetelet (1796–1874), John Venn (1834–10) ^[2][3]등

통계적 안정성에 대한 체계적 연구는 19세기 말에 시작되었다. 1879년 독일의 통계학자 빌헬름 렉시스(1837–1914)는 상대적 주파수의 통계적 안정성의 개념을 분산과 연계시키기 위한 첫 시도를 했다. 세기의 전환기와 20세기 초에는 칼 피어슨(1857–1936), 알렉산드로비치 추프로프(1874–1926), 라디슬라우스 보르츠키에비치(1868–1931), 안드레이 마르코프(1856–1922), 리처드 폰 미제스(1883–1953) 등이 통계 안정성을 연구하였다.

실험연구의 새로운 단계는 20세기 후반에 시작되었다. 새로운 적용 과제와 고전적 확률 이론의 틀 안에서 만족스럽게 설명되고 기술될 수 없는 많은 현상들의 검출로 인해 추가적인 연구가 필요하게 되었다. 특히 새로운 업무는 물리적 수량에 대한 초정밀 측정과 대규모 관측 간격에 걸친 개발의 초정밀 예측이다. 예를 들어, 상대적으로 새로운 현상은 예측 불가능한 측정 진행률(구동)^[4][5] 오류와 함께 깜박임 노이즈로,^[6] 모든 곳에서 감지되며 데이터를 평균화하여 억제할 수 없다.

사건 발생 빈도의 통계적 안정성

많은 저명한 과학자들이 통계적 안정성 현상에 대한 실험적 연구를 주도했다. It is known, for example, that coin-tossing experiments were studied by P.S. de Laplace (1749–1827), Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707–1788), Karl Pearson, Nobel Prize Laureate Richard Feynman (1918–1988), Augustus de Morgan (1806–1871), William Stanley Jevons (1835–1882), Vsevolod Ivanovich Romanovsky (1879–1954), William Feller (1906–1970년), 기타 등등. 그들에게는 사소한 일부터 사소한 일로 보이지는 않았다. 표 1은 그들의 실험 결과의 일부를 보여준다.^[7][8][9] 표 2는 각 런이 1,000번의 토스로 구성되는 동일한 실험의 10번의 런에서 설명된 결과를 보여준다. 표는 많은 수의 토스의 경우, 머리나 꼬리의 상대적 주파수가 0.5에 가깝다는 것을 보여준다.

다른 실제 물리적 사건에 대한 실험 연구는 많은 수의 실험에서 상대적인 사건 빈도가 안정화됨을 보여준다; 그것은 통계적 안정성의 현상의 근본적 성격을 보여준다.

통계 안정성

통계적 안정성의 현상은 질량 사건의 상대적 빈도의 안정성뿐만 아니라 공정 평균이나 그 표본 평균의 안정성에서도 나타난다. 통계적 안정성의 현상은 특히 확률적, 결정적, 실제 물리적 프로세스의 다른 유형의 변동을 평균화하는 경우에 나타난다.

예 1. 그림 1a와 그림 1c에서는 전력 스펙트럼 밀도가 균일한 소음(백색 소음)과 결정 기간 프로세스가 제시된다. 그림 1b와 그림 1d에는 평균 간격에 대한 평균의 의존성이 표시된다. 그림 1b와 그림 1d에서 볼 수 있듯이, 평균 구간이 증가하면 표본 평균의 변동이 감소하고 평균값이 점차 안정된다.

예제 2. 그림 2a와 그림 2b는 평균이 천천히 변화하는 동안 도시의 주 전압은 어떻게 빠르게 변동하는지 보여준다. 평균 간격이 0에서 1시간으로 증가하면 평균 전압은 안정된다(그림 2 b).

통계적 안정성의 현상은 다른 통계, 특히 샘플 모멘트에서도 관찰된다.

통계적 안정성의 속성

출현

상대 주파수의 통계적 안정성은 질량(복수) 사건의 속성이다. 이 속성은 단일 사건에 내재된 것이 아니라 그 수집에 내재되어 있다. 마찬가지로 통계의 통계적 안정성은 표본 집합에 고유한 속성이다. 따라서 상대적 빈도의 통계적 안정성이나 통계의 통계적 안정성은 긴급한 속성으로 간주할 수 있다.

완벽한 통계적 안정성에 대한 가설

At first glance, it seems quite plausible that the sequence of relative frequencies ${\displaystyle p_{1}(A),p_{2}(A),\ldots }$ of any real event ${\displaystyle A}$ should tend to a certain value ${\displaystyle P(A)}$ (probability), and the sequence of the sample averages ${\displaystyle y_1,}$${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots }$의 실제$$ 프로세스 이산 샘플에는 제한 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m$ viz가 있어야 한다. ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$= ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \lim _{n\to \p_{n}=P(A$ lim ${\displaystyle \underset{}{n}}$ →$$ y${\displaystyle {}_{}}$= m {\$displaysty \lim _{n\ty_{n}=m$ . 이것은 완벽한 (이상적인) 통계 안정성의 가설이다. 확률 이론은 이 가설에 근거한다.^{[dubious – discuss]}

완벽한 통계적 안정성의 가설에 대한 비판

비록 일부 학자들 안드레이 Markov,[14]아나톨리 Skorokhod로(1930–2011)[15]에밀 보렐(1871–1956)[16]VNTutubalin[17]cm이고, 다른 사람들은 현실 세계 안에, 이 hypothesi 것을 알아챘다[11][12][13]과 같은 유명한 과학자들(심지어 안드레이 콜모고로프(1903–1987)수년 동안, 이상적인 통계적 안정성 가설을 의심이 들지 않았다.S어떤만 유효합니다. 예약

불완전한 통계적 안정성의 가설

The possibility of adequate description of relative frequencies of actual events and sample averages of actual discrete samples by the expressions ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=P(A)}$, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=m}$ is only a hypothesis. 그것은 어떤 실험과 논리적인 추론으로부터도 나오지 않는다. 모든 과정, 심지어 진동형이라도 완벽한 통계적 안정성의 속성을 가지고 있지 않다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.

예3. 그림 3a와 그림 3c에는 두 가지 결정 진동이 표시되며 그림 3b와 그림 3d는 평균에 따라 표시된다. 그림 3b와 그림 3d를 보면 두 경우 모두 평균에 한계가 없다. 즉, 두 공정 모두 통계적으로 불안정하다는 것이 명백하다.

넓은 관측 간격에 걸쳐 서로 다른 물리적 성질의 다양한 과정에 대한 실험 연구는 완벽한 통계적 안정성에 대한 가설이 확인되지 않는다는 것을 보여준다.' 현실 세계는 끊임없이 변화하고 있으며, 통계적 수준을 포함한 모든 수준에서 변화가 일어난다. 비교적 작은 관측 간격을 바탕으로 형성된 통계적 평가는 비교적 안정적이다. 그들의 안정성은 통계 데이터의 양이 증가할 때 통계 추정기의 변동 감소를 통해 나타난다. 이것은 완벽한 통계적 안정성에 대한 환상을 만들어낸다. 그러나 일정 임계량을 넘어서면 데이터의 양이 증가해도 변동 수준은 실질적으로 변하지 않고(때로는 심지어 증가하기도 한다) 있다. 통계적 안정성이 완벽하지 않다는 의미다.

예 4. 완벽하지 않은 통계적 안정성은 그림 4와 같이 2.5일 동안의 주 전압 변동을 나타낸다.^[18] 그림 2a의 변동은 그림 4a에 표시된 변동의 시작 부분을 보여준다. 그림 4b에서 볼 수 있듯이, 표본 평균은 매우 긴 평균 간격에서도 안정화되지 않는다.

통계적 안정성 현상에 대한 설명

힐버트의 여섯 번째 문제

19세기 말까지는 확률론을 물리적 규율이라고 여겼다. 제2차 국제 수학자대회(1900년)에서 데이비드 힐버트(1862~1943)는 '수학적 문제'^[19]라는 제목의 연설을 했다. 여기서 그는 연구가 과학의 발전을 현저하게 자극할 수 있는 23개의 가장 중요한 문제들로 간주되는 것을 공식화했다. 여섯 번째 문제는 물리학의 공리에 대한 수학적인 서술이었다. 힐버트는 이 문제와 관련된 발표 부분에서 기하학의 기초에 대한 연구와 병행하여 수학이 배타적 역할을 했던 물리과학의, 특히 확률 이론과 역학의 자명적 구성 문제에 접근할 수 있다고 언급했다.

많은 과학자들이 힐버트의 호소에 응답했다. 그 중에는 자연과학의 입장에서 문제를 고려했던 리처드 폰 미제스와 1929년 세트 이론과 측정 이론을 바탕으로 해결책을 제안한 안드레이 콜모고로프가 있었다. A가 제안한 자명한 접근법. N. Kolmogorov는 현재 확률 이론에서 선호되고 있다. 이 접근법은 심지어 표준의 등급까지 올라갔다.^[21]

확률 이론의 틀에서 통계적 안정성 현상에 대한 설명

콜모고로프의 확률 이론은 전형적인 수학적 학문이다. 그 속에서 주체는 추상적인 확률 공간이며 연구의 범위는 그 요소들 사이의 수학적인 관계다. 공식적으로 이 규율의 기초를 구성하는 사건의 상대적 빈도의 통계적 안정성의 물리적 현상은 그 때 어떤 역할도 하는 것으로 나타나지 않을 것이다. 이러한 현상은 완벽한 통계적 안정성의 가설을 수용하는 것과 같은 계산 가능한 부가성의 공리를 수용함으로써 이상화된 형태로 고려된다.

초랜덤 현상 이론의 틀에서 통계적 안정성 현상에 대한 설명

고전적인 수학 확률 이론과 대조적으로, 초랜덤 현상 이론은 물리 수학적 이론이다. 그 주체는 통계적 안정성의 현상이며, 연구범위는 통계적 안정성의 위반을 참작하여 이른바 초랜덤 모델(초랜덤 현상)에 의한 적절한 기술이다.^[22]

초랜덤 현상 이론은 확률 이론과 고전적인 수학 통계학의 성과를 지우는 것이 아니라 이를 보완하여 이들 학문의 진술이 아직 통계의 융합이 없는 영역으로 확대된다.

통계적 안정성의 모수

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다.(2017년 3월)

통계적 안정성을 특징짓는 많은 매개변수가 있는데, 특히 평균에 관한 통계적 불안정성의 매개변수, 표준편차에 관한 통계적 불안정성의 매개변수, 평균에 관한 통계적 안정성의 구간, 표준편차 및 기타 통계에 관한 매개변수는 다음과 같다.등등의 이러한 매개변수의 수학적으로 정확한 결정과 무한하고 제한된 표본 크기인 경우 그 추정을 위한 방법론의 개발은 초랜덤 현상 이론의 틀 안에서 연구된다.

통계적 안정성 현상의 설명을 위한 다양한 접근방법의 효과적인 사용 영역

고전적 확률 이론과 초랜덤 현상의 유효 이용의 한계를 정의하는 주요 매개변수는 다양한 통계에 관한 통계적 안정성의 구간이다. 이러한 간격 내에서 통계적 안정성의 위반은 무시할 수 있으며 따라서 확률 이론의 사용은 가능하고 합리적이다. 이러한 간격을 벗어나면 통계적 안정성의 위반이 필수적이며 따라서 이러한 위반, 특히 초랜덤 현상 이론의 방법을 고려한 방법을 사용할 필요가 있다.

통계적 안정성의 한계는 큰 표본 크기와 한계까지의 구절에 분명하게 나타난다. 표본 크기는 종종 작기 때문에 많은 실제 작업을 무작위(스토크스틱) 모델을 사용하여 허용 가능한 정확도로 해결할 수 있다. 이러한 모델은 일반적으로 하이퍼랜덤 모델보다 단순하기 때문에 표본 크기가 그리 크지 않은 경우에 선호된다. 그러나 일반적으로 긴 관측 간격과 큰 표본 크기에 대해 통계적 안정성의 제한된 통계적 특성이 명백해지는 경우 초랜덤 모델은 확률적 모형 및 기타 단순한 모형보다 분명한 장점을 가진다.

따라서 초랜덤 모델의 1차적 적용은 다양한 물리적 수량에 대한 고정밀 측정과 물리적 pr의 예측뿐만 아니라 긴 지속시간의 다양한 물리적 과정(전기, 자기, 전자기, 음향, 수음, 지진음, 기상 등)을 통계적으로 분석하는 것이다.대용량 데이터 세트의 통계적 처리에 의한 처리

20개의 1세기 연구는 초랜덤 모델이 예를 들어 무선 전자 장비 설계에 다른 과제 해결에도 유용할 수 있다는 것을 보여준다.^[23][24]

참고 항목

• 일관성(통계)
• 확률론
• 상대주파수
• 성향 확률

참조