스톡스 스트림 기능

유체 역학에서 스톡스 스트림 기능은 축대칭으로 3차원 비압축 유량으로 흐름과 유속을 기술하는 데 사용된다. 스톡스 스트림 함수의 일정한 값을 갖는 표면은 흐름 속도 벡터에 접하는 모든 곳에서 스트림튜브를 둘러싸고 있다. 또한 이 스트림튜브 내의 볼륨 플럭스는 일정하며, 흐름의 모든 스트림이 이 표면에 위치한다. 스톡스 스트림 기능과 관련된 속도장은 솔레노이드(solidoal)로, 분기가 0이다. 이 하천 기능은 조지 가브리엘 스톡스를 기리기 위해 명명되었다.

원통좌표

원통형 좌표계(ρ, φ, z )를 고려한다. z축은 압축 불가능한 흐름이 축대칭인 선, az 방위각 및 ρ z축까지의 거리를 나타낸다. 다음으로 유속 성분 u와_ρ u를_z 스톡스 스트림 함수 $[\displaystyle \Psi }$의 관점에서 표현하면 다음과 같다$$.^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{정렬}}}$

방위 속도 구성 요소_φ u는 스트림 기능에 의존하지 않는다. 축대칭 때문에 세 가지 속도 성분(u_ρ, u_φ, u_z )은 모두 방위각 not이 아닌 ρ과 z에만 의존한다.

스톡스 스트림 함수의 일정한 값 ψ으로 경계된 표면을 통과하는 부피 플럭스는 2㎛ to과 같다.

구형좌표

구형 좌표(r , θ , φ )에서 r은 원점으로부터의 방사상 거리, θ은 정점각, φ은 방위각이다. 축대칭 흐름에서 θ = 0 회전 대칭 축으로, 흐름을 설명하는 수량은 방위 φ과 다시 독립적이다. 유속_r 구성 요소_θ u 및 u는 다음을 통해$$ 스톡스 스트림 기능 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Psi }$과(와) 관련된다.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{정렬}}}$

다시 말해 방위 속도 성분 u는_φ 스톡스 스트림 함수 ψ의 기능이 아니다. 상수 ψ의 표면으로 경계된 하천관을 통한 부피 유량은 전과 같이 2 ψ과 같다.

보르티시티

vorticity는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$, where ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},}$

$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$$displaysymbol$ ${\hat {\\$$phi$ 방향의 단위 벡터$.$

Stokes 스트림 함수를 사용한$$ vorticity $\Omega {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 파생

정의한 대로 vorticity를 고려하십시오. ${\displaystyle {\\symbol {\omega}}=\bla \bla \bmbol {u}.}$ 구형 좌표에서의 컬의 정의로부터: ${\displaystyle{\begin{정렬}\omega _{r}&, =ᆫ\left({\partial \over\partial \theta}\left(u_{\phi}\sin\theta \right)-{\partial u_{\theta}\over\partial \phi}\right){\boldsymbol{\hat{r}}},\\\omega _{\theta}&, ={r1\over}\left({1\over\sin \theta}{\partial u_{r}\over\partial \phi}-{\partial \over\partial가 r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{정렬}}}$ $먼저{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle r$} $및$ {$${\$displaystyle \theta }$ 구성 요소가$$ 0과 같다는 점에 주의하십시오. 두 번째로 $u{\displaystyle {}_{}}$ r ${\$와 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle {\Omega }_{}}$으로 대체한다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \omega_{\pi }}$ 결과$$: ${\displaystyle{\begin{정렬}\omega _{r}&,=0,\\\omega _{\theta}&,=0,\\\omega _{\phi}&, =ᆭ\left({\partial \over\partial r}\left(r\left(-{\frac{1}{r\sin \theta}}{{\partial \Psi}{\partial r}}\right\frac)\right)-{\partial \over\partial \theta}\left({\frac{1}{r^{2}\sin \theta}}{\frac{\partial \Psi}{\theta\partial}}\r.밤)\right).\end{정렬}}}$ 다음으로 다음과 같은 대수학을 수행한다. ${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&, =ᆪ\left(-{\frac{1}{\sin \theta}}\left({\frac{\partial ^{2}\Psi}{\partial r^{2}}}\right)-{\frac{\sin \theta}{r^{2}\sin \theta}}{\partial \over\partial \theta}({\frac{1}{\theta}}{{\partial \Psi}{\partial \theta}\frac}\right\sin)\right)\\&, =-{\frac{1}{r\sin \theta}}\left(}{\frac{\partial ^{2}\Psi{\partial가 r^{2}}}와{\frac {\sin \theta }{r^{2}}:{\partial \over \partial \partial \theta }\좌({\frac {1}{\sin \partial \psi }{\partial \teta }\right)\right)).\end{정렬}}}$

그 결과, 계산 결과, vorticity 벡터는 다음과 같은 것으로 밝혀졌다.

${\displaystyle {\\symbol {\omega}={\\pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.}$

원통형과의 비교

원통형 및 구형 좌표계는 다음을 통해 관련된다.

${\displaystyle z}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\$ 및 ρ${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ sin${\displaystyle \sin }$.${\$

반대 기호가 있는 대체 정의

일반 스트림 함수 기사에서 설명한 바와 같이, 스톡스 스트림 기능과 유속 간의 관계에 대한 반대 기호 규약을 사용하는 정의도 사용되고 있다.^[3]

영분산

원통형 좌표에서 속도장 u의 차이는 다음과 같이 된다.^[4]

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \cdot{\boldsymbol{마}}&={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\rho\partial}}{\Bigl(}\rho{\rho}{\Bigr\,u_)}+{\frac{\partial u_{z}}{z\partial}}\\&, ={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\rho\partial}}\left(-{\frac{\partial \Psi}{z}\partial}\right)+{\frac{\partial}{z\partial}}\left({\frac{1}.{\rho}}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}}\오른쪽)=0,\end{arged}}}$

압축할 수 없는 흐름의 예상대로

구면 좌표:^[5]

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \cdot{\boldsymbol{마}}&={\frac{1}{r\,\sin \theta}}{\frac{\partial}{\theta\partial}}(u_{\theta}\,\sin\theta)+{\frac{1}{r^{2}}}{\frac{\partial}{r\partial}}{\Bigl(}r^{2}\,u_{r}{\Bigr)}\\&, ={\frac{1}{r\,\sin \theta}}{\frac{\partial}{\theta\partial}}\left(}-{\frac{1}{r}{\frac{\partial. \Psi}{)부분 r}\오른쪽)+{\frac {1}{r^{2}}:{\frac {\partial r}{\partial r}}\왼쪽({\frac {1}{\sin \partial \psi }{\partial \theta }}}}{\partial \partial \오른쪽)=0.\end{정렬}}}$

연속 스트림 함수의 곡선으로 축척

미적분학에서는 그라데이션 ${\displaystyle \mathrm{벡터}}$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ $∇$∇{\$displaystyle$ \$nabla \PSI }$이(${\displaystyle 가}$)${\displaystyle }$c =$$C {\$displaystyle \PSI$=C$}$ 곡선에 대해 정규적인 것으로$$ 알려져 있다($$예: 참조). 레벨 세트#레벨 세트 대 그라데이션). If it is shown that everywhere ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,}$ using the formula for ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ in terms of ${\displaystyle \Psi ,}$ then this proves that level curves of ${\displaystyle \Psi }$ are streamlines.

원통좌표

원통형 좌표에서는

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}}$.

그리고

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.}$

하도록

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.}$

구형좌표

그리고 구면 좌표에서

${\displaystyle \nabla \psi = {\partial \over \partial r}{\boldsymbol{e}}}+{1\partial \psi \partial \partial \theta }{\boldsymbol{e}}}}}}}}{\partytime }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.}$

하도록

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.}$

메모들

참조

• Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2.
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. 1879년에 처음 발행된 제6회 연장판은 1932년에 처음 등장했다.
• Stokes, G.G. (1842). "On the steady motion of incompressible fluids". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS...7..439S.
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