H x display mathrm H _ n x [ 0 1 2 4 5 ] display style in 0 1 , 3, 4, ] 수학 에서 스트루브 함수 α (x ) 는 비균질 베셀 미분 방정식의 y(x ) 이다.
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 4 ( x 2 ) α + 1 π Γ ( α + 1 2 ) {\displaystyle x^{2}{dy}{flac}+xflac {dy}{flac}+left(x^2}-\alpha ^{2}\right)y=flac {4\flac\flac {2}{x}{\right}{\pi}}{\gama } left} }}} 헤르만 스트루베 (1882 )에 의해 소개되었다. 복소수α 는 스트루베 함수의 순서 이며, 종종 정수이다.
또한 버전 Kα( x ) displaystyle \mathbf {K}_ {\alpha x ) = Hα( x ) Yα (x ) displaystyle \mathbf {K}_{\alpha}(x) 정의
수정 된 스트루브 함수 α (x ) 은 -ieH −iαπ / 2 α ix )베셀 미분 방정식의 y(x ) 이다.
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 4 ( x 2 ) α + 1 π Γ ( α + 1 2 ) {\displaystyle x^{2}{dy}{flac}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=flac {4\flac\flac {2}{{2}\right}{\flac {4\f}{\flac}}{\pi}}{\gama } left} }}} 그리고 두 번째 버전 Mα x displaystyle \mathbf {M} _{\alpha x ) = L α I α displaystyle \mathbf {M} _{\alpha x) 정의
정의들 이것은 비균질 방정식이므로, 균질 문제의 해법을 추가하여 하나의 특정 해법으로 해법을 구성할 수 있다. 이 경우 균질해는 베셀함수 이며, 특정해는 대응하는 스트루브함수로 선택될 수 있다.
전력 시리즈 확장 H(z ) 로 표시 α
H α ( z ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m Γ ( m + 3 2 ) Γ ( m + α + 3 2 ) ( z 2 ) 2 m + α + 1 , {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right}}\sum \Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}}\left({\frac {z}{2}}\right)^2m+\alpha +1}} 여기서 δ(z ) 는 감마 함수이다.
L(z ) 로 표시 α
L α ( z ) = ∑ m = 0 ∞ 1 Γ ( m + 3 2 ) Γ ( m + α + 3 2 ) ( z 2 ) 2 m + α + 1 . {\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}}\오른쪽) \Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}}\left({\frac {z}{2}}\right)^2m+\alpha +1}. 적분형식 그 슈트 기능의 α의 값 Re(α)을을 만족시키기 위해 또 다른 정의,;−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2, 푸아송의 적분 표현의 용어 표현하는 수도 있다..
H α ( x ) = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 죄 x t d t = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 죄 ( x 왜냐하면 τ ) 죄 2 α τ d τ = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 죄 ( x 죄 τ ) 왜냐하면 2 α τ d τ {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)=snapfrac {2\leftf} {\right} {\naphrt {pi }} {\Gamma \left(\alpha +{{\frac {1}{2}} {\right})}} {\int {0} {1-{^^2}} tau ) \sin ^ { 2 \ alpha } \ sin ~ d \ sin = safffrac { 2 \ left \ frac { x } { \ right } { \ gamma \ left （ \ alpha + { 1 } { } \ fracpi } { \ right } } } } } } } \ int _ 0 \ fracpi { 0 } K α ( x ) = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 ∞ ( 1 + t 2 ) α − 1 2 e − x t d t = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 ∞ e − x 신 τ 아늑하다 2 α τ d τ {\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)=snapfrac {2\leftf} {\right} {\naphrt {pi }} {\Gamma \left(\alpha + {1}{2}} {\right}}}} {\int {0} {{\infty} ^2} ^2} u }\cosh ^{2\alpha}\cosh ~d\cosh } L α ( x ) = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 신 x t d t = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 신 ( x 왜냐하면 τ ) 죄 2 α τ d τ = 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 신 ( x 죄 τ ) 왜냐하면 2 α τ d τ {\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)=snapfrac {2\leftf} {\right} {\naphrt {pi }} {\Gamma \left(\alpha +{{\frac {1}{2}} {\right}})} {\int_0} (1-{^2}) \sin ^{2\alpha }\sin ~d\sin=sinfrac {2\left\frac {x}{\right}{\alpha}}{\gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}}}}}{\int_0}{\fracpi}{{\h}}}}{{{\fac}}}}}}}}}}}}{{{{{\light}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} M α ( x ) = − 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 e − x t d t = − 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 e − x 왜냐하면 τ 죄 2 α τ d τ = − 2 ( x 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 e − x 죄 τ 왜냐하면 2 α τ d τ {{displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)=-{\frac {2\leftfrac {x}}{\alpha}}{\alpha}}}{\Gamma \left(\alpha + {1}{2}}{{{}}}}}{1-{{t}}}}}{{2-{{{t}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{\\\\\\}}}}}}}}}}} \sin }\sin ^{2\alpha}\sin ~d\frac =-{\frac {2\frac {x}}{\alpha}}{\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}}}}\int _0}{frac } {\frac } 점근형식 x 가 작을 경우 멱급수 확장이 위에 나와 있습니다.
x 가 클 경우 다음을 얻을 수 있습니다.
H α ( x ) − Y α ( x ) = ( x 2 ) α − 1 π Γ ( α + 1 2 ) + O ( ( x 2 ) α − 3 ) , {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha } - Y _ {\alpha } (x) = spa frac {x} {\rpi } {\gamma \left (\alpha + {\frac {2}} {\alpha }} {\right} {\alpha -1} } {{\} } } left } } {\ } {\ left } } {\ } left} 여기 α Y(x ) 는 노이만 함수이다.
특성. 스트루베 함수는 다음과 같은 반복 관계를 충족합니다.
H α − 1 ( x ) + H α + 1 ( x ) = 2 α x H α ( x ) + ( x 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) , H α − 1 ( x ) − H α + 1 ( x ) = 2 d d x ( H α ( x ) ) − ( x 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{H}_ᆱ())+\mathbf{H}_ᆳ())&, ={\frac{2\alpha}{)}}\mathbf{H}_ᆷ())+{\frac{\left({\frac{x}{2}}\right)^{\alpha}}{{\sqrt{\pi}}\Gamma \left(\alpha+{\frac{3}{2}}\right)}},\\\mathbf{H}_ᆻ())-\mathbf{H}_ᆽ())&, =2{\frac{d}{dx}}\left(\mathbf{H}_{\alpha.}())\ri ght)-{\frac {x}{\오른쪽}{\sqrt {pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}}\right}}}}. \end { aligned}} 다른 기능과의 관계 정수 차수의 스트루브 함수는 웨버 함수 n E 와 그 반대로 표현될 수 있다: 만약 n이 음이 아닌 정수라면,
E n ( z ) = 1 π ∑ k = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ Γ ( k + 1 2 ) ( z 2 ) n − 2 k − 1 Γ ( n − k + 1 2 ) − H n ( z ) , E − n ( z ) = ( − 1 ) n + 1 π ∑ k = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ Γ ( n − k − 1 2 ) ( z 2 ) − n + 2 k + 1 Γ ( k + 3 2 ) − H − n ( z ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{E}_ᆱ(z)&, ={\frac{1}{\pi}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor{\frac{n-1}{2}}\right\rfloor}{\frac{\Gamma \left(k+{\frac{1}{2}}\right)\left({\frac{z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac{1}{2}}\right)}};={\frac{())^{n+1}}{\pi}}\sum{\left\lflo _{k=0}^{H}_ᆺ(z),\\\mathbf{E}_ᆼ(z)& -\mathbf.또는{\fra c {n-1}{2}}\right\rfloor}{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}{\frac}{\}\frac {\}}{\}\frac {\} 감마 \left(k+{\frac {3}{2}}}\right)}}-\mathbf {H}_{-n}(z). \end { aligned}} n + 1 2 차수 여기 서 n은 정수이다. 특히 n이 음이 아닌 정수일 경우
H − n − 1 2 ( z ) = ( − 1 ) n J n + 1 2 ( z ) , {{displaystyle \mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)={n}J_{n+{1}{2}}(z),} 여기서 오른쪽은 구형 베셀 함수입니다.
스트루브 함수는 (모든 차수의) 일반화 초기하 함수 2 함수 1 아님 )로 표현될 수 있다.
H α ( z ) = z α + 1 2 α π Γ ( α + 3 2 ) 1 F 2 ( 1 ; 3 2 , α + 3 2 ; − z 2 4 ) . {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z) = flac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }}{\gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\오른쪽) }}{}_{1}F_{2}\left(1;{\tfrac {3}{2},\alpha +{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}}\오른쪽). } 적용들
Strube 및 Weber 함수는 빔 포밍에 [1]
레퍼런스 ^ K. 뷰캐넌, C. 플로레스, S 윌랜드, J. 젠슨, D 그레이슨과 G. Huff, "원형의 테이퍼형 랜덤 어레이를 사용하는 레이더 애플리케이션을 위한 전송 빔 형성", 2017 IEEE 레이더 컨퍼런스(RadarConf), 2017, 페이지 0112-0117, doi: 10.1109/RADAR. 2017.7944181. R. M. Aarts and Augustus J. E. M. Janssen (2003). "Approximation of the Struve function H 1 occurring in impedance calculations". J. Acoust. Soc. Am . 113 (5): 2635–2637. Bibcode :2003ASAJ..113.2635A . doi :10.1121/1.1564019 . PMID 12765381 . R. M. Aarts and Augustus J. E. M. Janssen (2016). "Efficient approximation of the Struve functions H n . J. Acoust. Soc. Am . 140 (6): 4154–4160. Bibcode :2016ASAJ..140.4154A . doi :10.1121/1.4968792 . PMID 28040027 . Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 12" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Struve function" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Paris, R. B. (2010), "Struve function" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Struve, H. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren" . Annalen der Physik und Chemie . 17 (13): 1008–1016. Bibcode :1882AnP...253.1008S . doi :10.1002/andp.18822531319 . 외부 링크 
