분노 함수

수학에서는 C가 도입한 앵그리 함수다. T. 분노(1855년)는 다음과 같이 정의되는 함수다.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \d\d\teta }}$

그리고 베셀 기능과 밀접한 관련이 있다.

H. F. 베버(1879)가 도입한 베버 함수(Lommel-Weber 함수라고도 함)는 에 의해 정의되는 밀접하게 관련되는 함수다.

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \d\d\ta }}$

그리고 두 번째 종류의 베셀 기능과 밀접한 관련이 있다.

웨버 기능과 분노 기능의 관계

분노와 웨버 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z),\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z),\end{aligned}}}$

따라서 특히 ν이 정수가 아닌 경우 그들은 서로 선형 결합으로 표현될 수 있다. ν이 정수라면 앵그리 함수 J는_ν 베셀 함수 J와_ν 동일하며, 베버 함수는 슈트루브 함수의 유한 선형 조합으로 표현할 수 있다.

파워 시리즈 확장

분노 기능은 파워 시리즈 확장을^[1] 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\감마 \왼쪽(k-{\frac {\nu }{2}}+1\오른쪽)}}}+\sin {\frac {\pi \{2}}\sum _{k=0}^{\frac {-1)^{{k^{2k+1}{2k+1}{2^{2k+1}}}\감마 \left(k+{}{3}{}}}{3}{2}}:}오른쪽)\감마 \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\오른쪽)}}}.}$

Weber 기능이 파워 시리즈 확장을^[1] 하는 동안

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\감마 \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\오른쪽)}}}.}$

미분 방정식

분노와 베버 함수는 베셀 방정식의 불균형한 형태의 해법이다.

${\displaystyle z^{2}y^{\premy \premy }+zy^{\premy }+(z^{2}-\nu ^{2}y=0).}$

더 정확히 말하자면, 분노 함수는 방정식을^[1] 만족시킨다.

${\displaystyle z^{2}y^{\premy \premy }+zy^{}+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu )\sin(\pi \nu )}{\pi },},}$

그리고 베버 함수는 방정식을^[1] 만족시킨다.

${\displaystyle z^{2}y^{\pym \premy }+zy^{}+(z^{2}-\nu ^{2})y=-{\frac {z+\nu +(z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}}}.}$

재발관계

분노 함수는 이 비균형적인 형태의 재발 관계를^[1] 만족시킨다.

${\displaystyle z\mathbf {J} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {J}-{\nu }-{\frac {2\sin \pi \}}}}.}$

Weber 함수가 이 비균형적인 형태의 재발 관계를^[1] 만족하는 동안

${\displaystyle z\mathbf {E} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {E} _{\nu }-{\cos \pi }}}}}.}$

지연 미분 방정식

분노와 웨버 함수는 이러한 동종 형태의^[1] 지연 미분 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\nu -1}(z)-\mathbf {J}_{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial z}}}\mathbf {J}{\nu },}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\nu -1}(z)-\mathbf {E}_{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial z}}}\mathbf {E}{\nu }(z).}$

분노와 웨버 함수는 또한 이러한 불균형 형태의 지연 미분 방정식을^[1] 만족시킨다.

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {\sin \pi \nu }{\pi }},}$

${\displaystyle z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {E} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {E} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu }{\pi }}.}$

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 12". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 498. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• C.T. 분노, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. I. Danzig, 5 (1855) 페이지 1–29
• Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Anger function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Weber function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• G.N. 왓슨 "베셀 함수 이론에 관한 논문" 1 대 2 케임브리지 유니브 누름(1952)
• H.F. 베버, 취리히 비에르텔자레스히프트, 24 페이지 (1879) 33-76