표면적 대 체적비

부피 대비 표면적의 그래프 A, 플라톤계 고체의 V 및 구(球)는 둥근 형상에 따라 표면적이 감소하고 부피가 증가함에 따라 표면적 대 부피비가 감소함을 나타냅니다.파선을 사용한 절편은 볼륨이 8(2µ)배 증가하면 표면적이 4(2²)배 증가함을 나타냅니다.

표면적 대 체적비라고도 하며 sa/vol 또는 SA:V로 다양하게 표기되는 표면적 대 체적비는 객체 또는 객체 집합의 단위 체적당 표면적의 양입니다.

SA:V는 과학과 공학에서 중요한 개념입니다.표면과 부피를 통해 발생하는 공정에서 구조와 기능의 관계를 설명하는 데 사용됩니다.이러한 프로세스의 좋은 예는 열 방정식,^[1] 즉 ^[2]전도에 의한 확산 및 열 전달에 의해 제어되는 프로세스입니다.SA:V는 공기, 혈액, ^[3]세포 사이의 산소와 이산화탄소, ^[4]동물에 의한 수분 손실, 세균 형태 형성,^[5] 유기체의 체온 조절,^[6] 인공 뼈 ^[7]조직의 설계, 인공 폐와 더 많은 생물 및 생명 공학 구조들을 설명하기 위해 사용된다.자세한 예는 Glazier를 ^[9]참조하십시오.

SA:V와 확산 또는 열전도율 사이의 관계는 확산 또는 열전도가 일어나는 장소인 물체의 표면을 중심으로 플럭스 및 표면 관점에서 설명된다. 즉, SA:V가 클수록 물질이 확산될 수 있는 단위 부피당 표면적이 넓어지므로 확산 또는 열전도가 발생할 수 있다.약효가 더 빠를 거야"작은 크기는 부피 대비 표면적의 비율이 크다는 것을 의미하며, 따라서 혈장막 전체에 걸쳐 영양소의 흡수를 최대화하는 데 도움이 된다."^[10] 등의 ^[9]^[11]^[12]문헌에도 유사한 설명이 있다.

주어진 부피에서 표면적이 가장 작은 물체(따라서 SA:V가 가장 작은 물체)는 3차원에서의 등간격 부등식의 결과인 공이다.반면 예각 스파이크가 있는 물체는 특정 볼륨에서 표면적이 매우 넓습니다.

볼과 n볼의 경우 V

공은 3차원 물체로 구체의 고체 버전이다(기하학에서 구라는 용어는 표면만을 가리키기 때문에 이 맥락에서 구에는 부피가 부족하다).공은 모든 차원에 존재하며 일반적으로 n-ball이라고 합니다. 여기서 n은 차원의 수입니다.

3차원 볼에 대한 표면적: 부피비(SA:V)의 플롯으로, 볼의 반지름이 증가할수록 비율이 반대로 감소합니다.

통상적인 3차원 볼의 경우, 표면 및 부피의 표준 방정식, 즉 각각 $({$ 4\pi { $r^{2}})$ $(4/3)\pi {r^{3}}$ (( $(4/3)\pi {r^{3}}$ ) $(4/3)\pi {r^{3}}$ † $({$ 를 $4\pi {r^{2}}$ 하여 SA:V를 계산할 수 있다. 단위는 r: 1이다.SA:V는 반지름과 역관계입니다.반경이 2배가 되면 SA:V의 반이 됩니다(그림 참조).

부피 및 표면적에 대한 일반 방정식을 사용하여 다음과 같은 동일한 추론을 n-ball로 일반화할 수 있습니다.

볼륨 = $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ n $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ / $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ ( $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ 1 + $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ / $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ $){$ $displaystyle$ r $^{n}\$ $pi$ $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ ^{ $n$ $/2$ } $r^{n}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+n/2)$ \ $over \Gamma (1+$ $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ $/2),$ 표면적 = $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ n - $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ / 2 $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ ( $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ + $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ n / $nr^{n-1}\pi ^{n/2} \over \Gamma (1+{n/2})$ ) \ $style$ n $^{ n$ / $2 }$ \Gam / 2 $^$ 2 \ } \Over

차원 수 및 반지름 크기의 함수로서의 n-볼에 대한 표면적:부피비(SA:V)의 그림.치수 함수의 선형 스케일링과 반지름 함수의 역 스케일링을 주목하십시오.

따라서 이 비율은 $({$ nr $^{-1$ 로 감소합니다.따라서 면적과 부피 사이의 선형 관계는 모든 치수 수에 대해 동일하게 유지됩니다(그림 참조). 반지름을 두 배로 하면 비율이 항상 절반으로 줄어듭니다.

치수

표면적 대 체적 비는 물리적 치수⁻¹ L(역 길이)을 가지며, 따라서 역거리 단위로 표현된다.예를 들어, 길이가 1cm인 입방체의 표면적은 6cm이고² 부피는 1cm입니다³.이 큐브의 표면 대 체적비는 다음과 같습니다.

{\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}

SA:V}}=

param

frac {6~{\mbox{cm}^{2}}{1~{\mbox{

cm}^3}}=

6~{\mbox{cm}^-1

주어진 형상에 대해 SA:V는 크기에 반비례합니다.측면 2cm의 큐브는 측면 1cm의 큐브의 절반인⁻¹ 3cm의 비율을 가진다.반대로 크기가 커짐에 따라 SA:V를 보존하려면 덜 컴팩트한 형태로 변경해야 합니다.

물리 화학

표면적 대 부피 비율이 높은 재료(예: 매우 작은 직경, 매우 다공질 또는 기타 콤팩트하지 않은 재료)는 반응할 수 있는 표면이 더 많기 때문에 모노리식 재료보다 훨씬 빠른 속도로 반응합니다.예를 들어 곡물 분진이 있습니다. 곡물은 일반적으로 인화성이 없지만 곡물 분진은 폭발성이 있습니다.잘게 간 소금은 굵은 소금보다 훨씬 빨리 녹는다.

표면적 대 체적비가 높으면 열역학 프로세스의 속도를 높여 자유 에너지를 최소화할 수 있는 강력한 "구동력"을 제공합니다.

생물학

소장에 안쪽에 있는 세포는 융단처럼 생긴 작은 융단으로 영양분을 흡수할 수 있는 표면적을 증가시킨다.

세포와 유기체의 표면적과 부피 사이의 비율은 그들의 생리와 행동을 포함한 생물학에 엄청난 영향을 미친다.예를 들어, 많은 수생 미생물은 물속에서의 항력을 증가시키기 위해 표면적을 증가시킨다.이를 통해 싱크 속도가 감소하고 에너지 지출이 ^{[citation needed]}줄어들면서 지표면 근처에 머물 수 있다.

부피 대비 표면적 비율이 증가하면 환경에 대한 노출도 증가합니다.크릴과 같은 필터 피더의 잘게 갈라진 부속물은 음식을 ^[13]위해 물을 체로 걸러낼 수 있는 넓은 표면적을 제공합니다.

폐와 같은 개별 기관은 표면적을 증가시키는 수많은 내부 분지를 가지고 있습니다; 폐의 경우, 큰 표면은 혈액으로 산소를 가져오고 ^[14]^[15]혈액에서 이산화탄소를 방출하는 가스 교환을 지원합니다.마찬가지로 소장은 내부 표면이 곱게 구겨져 있어 신체가 영양분을 효율적으로 ^[16]흡수할 수 있다.

세포는 소장을 ^[17]채우는 미세 융모처럼 정교하게 복잡한 표면으로 높은 표면적 대 부피 비율을 달성할 수 있습니다.

표면적이 증가하면 생물학적 문제가 발생할 수 있습니다.세포나 기관의 표면을 통해 환경에 더 많이 접촉하면(그 부피에 비해) 수분과 용해된 물질의 손실이 증가합니다.표면적 대 체적비가 높으면 불리한 ^{[citation needed]}환경에서의 온도 제어 문제도 발생합니다.

크기가 다른 유기체의 표면 대 체적 비율은 또한 앨런의 법칙, 버그만의 법칙^[18]^[19]^[20], 그리고 거인온증과 ^[21]같은 생물학적 법칙으로 이어진다.

불이 번지다

산불의 경우 고체 연료의 부피 대비 표면적의 비율은 중요한 측정값이다.화재 확산 거동은 종종 연료의 표면적 대 체적 비율(예: 잎과 가지)과 관련이 있다.그 값이 높을수록 입자는 온도나 습기와 같은 환경 조건의 변화에 더 빨리 반응합니다.높은 값은 연료 점화 시간 단축과 관련이 있으며, 따라서 화재 확산 속도가 빨라진다.

행성 냉각

외계의 얼음이나 암석 물질은 충분한 열을 만들어 유지할 수 있다면 분화된 내부를 형성하고 화산이나 지각 활동을 통해 표면을 바꿀 수 있다.행성체가 표면 변화 활동을 유지할 수 있는 시간은 행성체가 열을 얼마나 잘 유지하느냐에 따라 달라지며, 이는 표면적 대 부피 비율에 따라 결정됩니다.베스타(r=263km)의 경우, 그 비율이 너무 높아 천문학자들은 그것이 분화되고 짧은 화산 활동이 있다는 것을 알고 놀랐다.달, 수성, 화성은 수천 킬로미터의 낮은 반경을 가지고 있다; 세 가지 모두 10억 년 정도 지난 후 매우 국지적이고 드문 화산 활동 이상을 보여주기에는 너무 차가워졌지만 완전히 분화할 수 있을 만큼 충분히 열을 유지하였다.그러나 2019년 4월 현재, NASA는 2019년 4월 6일 NASA의 InSight 착륙선에 ^[22]의해 측정된 "화성 지진"이 감지되었다고 발표했다.금성과 지구(r>6,000km)는 표면적 대 부피 비율이 충분히 낮아서(^[23]화성의 절반 정도이며 알려진 모든 암석 물체보다 훨씬 낮음) 열 손실이 최소화됩니다.

수학적 예

모양.	특성. $길이$ a $(디스플레이 스타일$ a $)$	표면적	용량	SA/V비	SA/V 비율: 단위 부피
사면체	엣지	$(\displaystyle {3}} a^{2})$	$({displaystyle {{\fracrt {2}}}a^{3}}{12})$	$({displaystyle}{6crt {6}}{a}}}\약 {frac {14.697}{a}})$	7.21
큐브	엣지	$6a^{2}$	$a^{3}$	$(\displaystyle\frac{6}{a})$	6
팔면체	엣지	$({displaystyle 2sqrt {3}}}a^{2}})$	${1}{3}}{\displayrt {2}}a^{3}$	$({displaystyle {3grt {6}} {a}}) 약 {frac {7.348} {a})$	5.72
십이면체	엣지	${{displaystyle 3grt {25+10grt {5}}}}a^{2}}$	${1}{4}}(15+7grt {5})a^{3}$	$({displaystyle {12grt {25+10grt {5}}}}{(15+7grt {5})a}}\약 {frac {2.694}{a}}}}$	5.31
캡슐	반지름(R)	$4\pi a^{2}+2\pi a\cdot 2a=8\pi a^{2}$	${4\pi a^{3}}{3}}+\pi a^{2}\cdot 2a=black {10\pi a^{3}}{3}$	$(\displaystyle\frac{12}{5a})$	5.251
이십면체	엣지	$({displaystyle 5grt {3}}}a^{2})$	${5}{12}(3+{\displayrt {5})a^{3}$	${12grt {3}}{(3+{\grt {5})a}}\약 {\frac {3.970}{a}$	5.148
구	반지름	$4\pi a^{2}$	${4\pi a^{3}} {3}$	$(\displaystyle\frac{3}{a})$	4.83598

크기가 다른 큐브의 예
측면 입방체	측면²	의 영역 싱글 페이스	6 × 측면²	지역 입방체 전체 (6면)	측면³	용량	비율 표면적 부피로 하다
2	2x2	4	6 x 2 x 2	24	2 x 2	8	3:1
4	4x4	16	6x4x4	96	4x4x4	64	3:2
6	6x6	36	6x6x6	216	6x6x6	216	3:3
8	8x8	64	8x8 (6 x 8 )	384	8x8x8	512	3:4
12	12x12	144	12 x 12 x 6	864	12x12x12	1728	3:6
20	20x20	400	20 x 20 x 6	2400	20x20x20	8000	3:10
50	50 x 50	2500	6 x 50 x 50	15000	50 x 50 x 50	125000	3:25
1000	1000x1000	1000000	1000 x 1000 x 6	6000000	1000x1000x1000	1000000000	3:500

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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특정한

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외부 링크

추가 정보

J.B.S. Haldane이 Wayback Machine에서 2011-08-22를 아카이브했습니다.

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[23] "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2018-06-13. Retrieved 2018-08-22.{{cite web}}: CS1 maint: 제목으로 아카이브된 복사(링크)

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