실베스터 공식

매트릭스 이론에서 실베스터의 공식이나 실베스터의 매트릭스 정리(J. J. 실베스터의 이름) 또는 라그랑주-실베스터 보간법은 $A$ 의 고유값과 고유벡터 측면에서 매트릭스 $A$ 의 분석 함수 f $(A)$ 를 $A$ 의 다항식으로 표현한다.^[1]^[2]라고^[3] 되어 있다.

f(A)=\sum _{i=1}^{k(\lambda _{i})~A_{i}~~,

여기서 $λ$ 은_i $A$ 의 고유값이며 행렬은 A의 고유값이다.

A_{i}\equiv \prod _{j=1 atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\왼쪽(A-\lambda _{j})I\right)

$A$ 의 해당 프로베니우스 공변량이며, $A$ 의 행렬 라그랑주 다항식이다.

조건들

실베스터의 공식은 k $구별$ 되는 고유값을 $가진$ ₁ 대각선 가능한 매트릭스_k $A$ 와 f $(A)$ 가 잘 정의되도록 복잡한 숫자의 일부 하위 집합에 정의된 함수 $f$ 에 적용된다.마지막 조건은 모든 고유값 $λ$ 이_i $f$ 의 영역에 있고, $다중성$ _i m > 1을 가진 모든 고유값 λ은 $도메인$ 의_i 내부에 있으며, $f$ 는 $λ$ 에서_i ( $m i$ — 1)배 차이가 $있다는$ 것을 의미한다.^[1]^{: Def.6.4}

예

2x2 행렬을 고려하십시오.

A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}.

이 행렬에는 5와 -2의 두 개의 고유값이 있다.그것의 프로베니우스 공변량은

{\reasoned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)2}}\\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{정렬}}

실베스터의 공식은

f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,

예를 들어 $f$ 가 $f (x)$ = $x$ 로⁻¹ 정의되면 실베스터의 공식은 행렬 역 $f (A)$ = $A$ 를⁻¹ 다음과 같이 표현한다.

{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.

일반화

실베스터의 공식은 대각선이 가능한 매트릭스에만 유효하다. 허미트 보간 다항식에 기초한 아서 부크하임으로 인한 연장은 일반적인 경우를 포함한다.^[4]

{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!

}}}\phi _{i}^{{i}}(\lambda _{i})\왼쪽(A-\lambda _{i})

I\right)

^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\왼쪽(A-\lambda _{j})

I\right)

^{n_{j}}\오른쪽

여기서 $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ( t $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ) $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ( t $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ) : = f ( $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ) $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ / $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ i $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ( $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ - $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ j $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ) n $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ ${\$ i $}\좌(t-\\bda _{j}\오른쪽)$ $^{n_{j}}}$ .

간결한 형태는 한스 슈워트페거에 의해 더욱 주어진다.^[5]

{\

}}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{

f^{{

f^}(\lambda _{i})}{j!}}}}(A-\lambda _{i}I)^{j

여기서 A는_i $A$ 의 해당 프로베니우스 공변량이다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b / 로저 A.혼과 찰스 R.Johnson(1991), Matrix Analysis의 항목.케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-46713-1
^ 지구물리학적 데이터 처리의 기초의 한 부분인 실베스터의 매트릭스 정리 존 F. 클라버트(1976년).sepwww.stanford.edu의 온라인 버전, 2010-03-14에 액세스.
^ Sylvester, J.J. (1883). "XXXIX. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 16 (100): 267–269. doi:10.1080/14786448308627430. ISSN 1941-5982.
^ Buchheim, Arthur (1884). "On the Theory of Matrices". Proceedings of the London Mathematical Society. s1-16 (1): 63–82. doi:10.1112/plms/s1-16.1.63. ISSN 0024-6115.
^ Schwerdtfeger, Hans (1938). Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Volume 1. Paris, France: Hermann.

F.R. Gantmacher, Matrice v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5, 페이지 101-103
Higham, Nicholas J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 9780898717778. OCLC 693957820.
Merzbacher, E (1968). "Matrix methods in quantum mechanics". Am. J. Phys. 36 (9): 814–821. Bibcode:1968AmJPh..36..814M. doi:10.1119/1.1975154.

[horn-1] / 로저 A.혼과 찰스 R.Johnson(1991), Matrix Analysis의 항목.케임브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-46713-1

[claer-2] 지구물리학적 데이터 처리의 기초의 한 부분인 실베스터의 매트릭스 정리 존 F. 클라버트(1976년).sepwww.stanford.edu의 온라인 버전, 2010-03-14에 액세스.

[3] Sylvester, J.J. (1883). "XXXIX. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 16 (100): 267–269. doi:10.1080/14786448308627430. ISSN 1941-5982.

[4] Buchheim, Arthur (1884). "On the Theory of Matrices". Proceedings of the London Mathematical Society. s1-16 (1): 63–82. doi:10.1112/plms/s1-16.1.63. ISSN 0024-6115.

[5] Schwerdtfeger, Hans (1938). Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Volume 1. Paris, France: Hermann.

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