홀로모르픽 함수 미적분학

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수학에서 홀로모픽 기능 미적분은 홀로모픽 기능을 가진 기능 미적분이다. 즉, 복합 인수 z와 연산자 T의 홀로모르픽 함수 f를 주어진 목적은 연산자 f(T)를 구성하는 것이며, 연산자 f(T)는 함수 f를 복잡한 인수에서 연산자 인수로 자연스럽게 확장하는 것이다. 더 정확히 말하면, 기능적 미적분학은 T의 스펙트럼의 인접성에 있는 홀로모르픽 함수에서 경계 연산자에 이르는 연속적인 대수적 동형성을 정의한다.

이 기사는 T가 어떤 바나흐 공간의 경계 선형 연산자인 경우를 논할 것이다. 특히, T는 복잡한 항목이 있는 정사각형 행렬이 될 수 있는데, 이 행렬은 기능 미적분학을 설명하고 일반 건설에 관련된 가정에 대해 약간의 경험적 통찰력을 제공하는 데 사용될 것이다.

동기

일반적인 기능적 미적분학의 필요성

이 조에서 T는 복잡한 항목이 있는 n × n 행렬로 가정한다.

주어진 함수 f가 특정 특수 유형인 경우 f(T)를 정의하는 자연스러운 방법이 있다. 예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}}}}}$

복잡한 다항식이며, 단순히 T를 z로 대체하고 정의할 수 있다.

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

여기서⁰ T = I, ID 행렬. 이것은 다항식 기능 미적분학이다. 다항식의 고리부터 n × n 행렬의 고리까지 동형상이다.

다항식으로부터 약간 확장되며, 만약 f : C → C가 모든 곳에 홀로모르픽이라면, 즉 MacLaurin 시리즈로 전체 함수.

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\\infit }a_{i}z^{i}}}}$

다항식 사례를 모방하면 우리가 정의해야 할

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\\infit }a_{i}T^{i}}$

MacLaurin 시리즈는 어디에서나 수렴되므로, 위의 시리즈는 선택된 운영자 규범에서 수렴할 것이다. 이것의 예로는 행렬의 지수화가 있다. f^z(z) = e 제공의 MacLaurin 시리즈에서 z를 T로 대체

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac{T^{2}}!}}}{\frac{T^{3}}{3}}{3!}}}+\cdots .}$

MacLaurin 시리즈 f가 어디에나 수렴해야 한다는 요건은 어느 정도 완화될 수 있다. 위에서 보면 정말로 필요한 것은 MacLaurin 시리즈의 수렴 반경이 T의 연산자 규범인 ǁTǁ보다 크다는 것이 명백하다. 이는 위의 접근방식을 사용하여 f(T)를 정의할 수 있는 f 계열을 어느 정도 확대한다. 그러나 그것은 그다지 만족스럽지 않다. 예를 들어, 모든 비노래자 T는 e^S = T라는 의미에서 로그 S를 가지고 있다는 것은 행렬 이론의 사실이다. S와 일치하도록 비가수 T에 대해 ln(T)을 정의할 수 있는 기능적 미적분을 갖는 것이 바람직하다. 이 작업은 파워 시리즈(예: 로그 시리즈)를 통해 수행할 수 없음

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}:{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}}{3}}-\cdots,}$

오픈 유닛 디스크에서만 수렴. 시리즈에서 T를 z로 대체하는 것은 ǁTǁ ≥ 1의 변위불능 T + I에 대해 ln(T + I)에 대해 잘 정의된 식을 주지 못한다. 따라서 좀 더 일반적인 기능적 미적분이 필요하다.

기능 미적분 및 스펙트럼

f(T)가 의미를 갖기 위해 필요한 조건은 T의 스펙트럼에서 f가 정의될 것으로 예상된다. 예를 들어, 정상 행렬에 대한 스펙트럼 정리는 모든 정상 행렬이 단위 대각선으로 대각선이 가능하다고 명시한다. 이것은 T가 정상일 때 f(T)의 정의로 이어진다. T의 일부 고유값 λ에 대해 f(λ)가 정의되지 않으면 곤란에 직면한다.

다른 적응증들은 또한 f가 T의 스펙트럼에 정의되어야만 f(T)를 정의할 수 있다는 생각을 강화한다. T가 변환불가능하지 않다면 (T가 n x n 행렬이라는 것을 호출) 0은 고유값이다. 자연 로그는 0에서 정의되지 않기 때문에 ln(T)은 자연적으로 정의할 수 없을 것으로 예상한다. 정말 그렇다. 또 다른 예로서 다음과 같다.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}}$

f(T)를 계산하는 합리적인 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}\,}$

단, 우측의 인버가 존재하지 않는 경우, 즉 2 또는 5가 T의 고유값인 경우 이 표현은 정의되지 않는다.

주어진 행렬 T의 경우, T의 고유값은 f(T)를 정의할 수 있는 정도를 지시한다. 즉, T의 모든 고유값 λ에 대해 f(λ)를 정의해야 한다. 일반 경계 연산자의 경우 이 조건은 "F가 T의 스펙트럼에서 정의되어야 한다"로 해석된다. 이러한 가정은 기능적 미적분학 지도인 f → f(T)가 어떤 바람직한 특성을 가질 수 있는 활성화 조건인 것으로 판명된다.

경계 연산자에 대한 함수 미적분

X는 복잡한 바나흐 공간이 되게 하고, L(X)는 X에 있는 경계 연산자의 집단을 나타낸다.

고전적 함수 이론에서 코시 적분식을 떠올려 보라. 렛 f : C → C는 일부 개방형 집합 D ⊂ C에서 홀로모르픽으로 하고, γ은 D에서 수리가 가능한 조던 곡선, 즉 자기 교차 없이 유한 길이의 폐쇄 곡선이다. γ의 내부에 놓여 있는 점의 설정 U, 즉, z에 대한 γ의 구불구불한 숫자가 1이 되도록 D에 포함된다고 가정한다. Cauchy 적분 공식 상태

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}\,d\zeta }}}$

U의 어느 z에 대해서도

이 공식을 바나흐 공간 L(X)의 값을 취하는 함수로 확장하는 것이다. Cauchy의 적분 공식은 다음과 같은 정의를 제안한다(순수히 형식적, 현재로서는).

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\\zeta -T}\,d\zeta ,}$

여기서 (1998-T)⁻¹는 ζ에서 T의 분해물이다.

이 Banach 공간 값 적분을 적절히 정의한다고 가정할 때, 이 제안된 기능 미적분은 다음과 같은 필수 조건을 내포한다.

1. Cauchy의 적분 공식의 스칼라 버전이 홀로모르픽 f에 적용되기 때문에, 우리는 Banach 공간 L(X)에서 값을 취하는 기능에 적합한 홀로모피 개념이 있어야 하는 Banach 우주 사례에도 해당될 것으로 예상한다.
2. 분해능 매핑 ( → ( spectrum-T)⁻¹가 T, σ(T)의 스펙트럼에서 정의되지 않으므로, 요르단 곡선 γ은 σ(T)과 교차하지 않아야 한다. 이제 분해능 매핑은 complement(T)의 보완에 홀로모픽이 될 것이다. 따라서 비삼각적 기능적 미적분을 얻기 위해 γ은 ((T)의 일부(적어도 일부) 한다.
3. 기능적 미적분은 f(T)가 γ과 독립적이어야 한다는 의미에서 잘 정의되어야 한다.

기능적 미적분학의 전체 정의는 다음과 같다. T ∈ L(X)에 대해 정의

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}\,d\zeta ,}$

여기서 f는 σ(T)를 포함하는 오픈 세트 D ⊂ C에 정의된 홀로모르픽 함수이며, γ = {γ₁, ..., γ_m}은 "내부" 세트 U에 경계하는 D의 분리된 조던 곡선의 집합으로, σ(T)은 U에 위치하며, 각 γ은_i 경계 의미에 위치한다.

오픈 세트 D는 f에 따라 달라질 수 있으며 오른쪽 그림에서 볼 수 있듯이 연결하거나 간단히 연결할 필요가 없다.

다음 하위 절은 정의에서 호출되는 개념들을 정밀하게 만들고 f(T)가 주어진 가정 하에서 실제로 잘 정의되어 있음을 보여준다.

공간 값 정수 바나흐

Cf. 보치너 적분

γ의 개방된 근방에 정의되고 L(X) 값을 취하는 연속 함수 g의 경우 등고선 적분 ∫_Γg는 스칼라 케이스와 동일한 방식으로 정의된다. 각 γ_i ∈ ∈ γ을 실제 간격[a, b]으로 파라메트리할 수 있으며, 적분은 [a, b]의 항상 마무리되는 파티션에서 얻은 리만 합계의 한계다. 리만 합계는 균일한 연산자 위상에 수렴한다. 우리는 정의한다.

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}int _{\gamma _{i}g.}$

기능적 미적분학의 정의에서 f는 γ의 개방된 근방에서 홀로모르픽으로 가정한다. 분해자 매핑은 분해자 집합에서 홀로모르픽이라는 것이 아래에 나타나게 될 것이다. 그러므로, 적분은

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}\,d\zeta }}$

일리가 있다

분해능 매핑

맵핑 → → (--T)⁻¹을 T의 분해능 맵핑이라고 한다. T의 분해자 집합이라 불리는 σ(T)의 보완에 따라 정의되며, ((T)로 표기될 것이다.

고전적 함수 이론의 많은 부분은 적분체의 성질에 달려 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}}.}$

홀로모픽 기능 미적분은 분해능 매핑이 훌륭한 기능 미적분학으로부터 필요한 특성을 얻는 데 결정적인 역할을 한다는 점에서 유사하다. 이 하위섹션은 이 맥락에서 필수적인 분해능 맵의 속성을 개략적으로 설명한다.

제1차 분해능 공식

직접 계산은 z에₁ 대해 z₂ ∈ ρ(T)을 나타낸다.

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{1}(z_{2}-{1}-{1})(z_{2}-T)^{-1},}$

그러므로

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1-1}{1}-{1}-(z_{2}-T)^{-1}}}}.}$

이 방정식을 제1차 분해식이라고 한다. 이 공식은 (z-T₁)⁻¹와 (z-T₂)⁻¹ 통근시간을 나타내는데, 이는 기능 미적분학의 이미지가 교번대수가 될 것임을 암시한다. z₂ → z가₁ 분해능 지도가 각 z ) z₁(T)에서 (복잡) 다르다는 것을 보여줌으로써 기능 미적분 표현식의 적분은 L(X)로 수렴된다.

분석성

분해능 지도와 관련하여 차별성보다 강한 문구를 만들 수 있다. 분해능 집합 ρ(T)은 실제로 분해능 지도가 분석되는 개방형 집합이다. 이 속성은 기능 미적분학을 위한 후속 논거에서 사용될 것이다. 이 클레임을 확인하려면 z₁ ∈(T)에 공식 표현을 주의하십시오.

${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}-T}={\frac {1}{1}-T}\cdot {\frac {1}{1-{1-{1}-{1-{1-}{z_{1}-{1}-{1}-T}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

고려할 것을 제안하다

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\좌측(z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\우측)^{n}}}$

(z-T₂)를 위해.⁻¹ 위의 시리즈는 (z-T₂)⁻¹의 존재를 암시하는 L(X)로 수렴된다.

${\displaystyle z_{1}-z_{2} <{\frac {1}{\좌측\ (z_{1}-T)^{-1}\우측\}}}.}$

따라서 분해능 집합 ρ(T)이 열려 있고₁ z ∈(T)를 중심으로 열린 디스크의 파워 시리즈 식에 분해능 지도가 ρ(T)에서 분석됨을 나타낸다.

노이만계 전동차

(z-T)⁻¹에 대한 다른 표현도 유용할 것이다. 격식어

${\displaystyle {\frac {1}{z-T}={\frac {1}{z}}}\frac {1}{1-{\frac {T}}}}}}}$

을 고려하게 하다

${\displaystyle {\frac {1}{z}\sum _{n\geq 0}\왼쪽({\frac {T}}}\오른쪽)^{n}}}$

이 시리즈인 Neumann 시리즈는 다음과 같은 경우 (z-T)⁻¹로 수렴한다.

${\displaystyle \left\{\frac {T}{z}\right\ <1,\;{\text{i.e.e.}}\; z >\ T\ .}$

σ(T)의 콤팩트함

분해자의 마지막 두 특성으로부터 우리는 경계 연산자 T의 스펙트럼 σ(T)이 C의 콤팩트 서브셋이라고 추론할 수 있다. 따라서 σ(T) ⊂ D와 같은 모든 오픈 세트 D에 대해서는 ((T₁)가 γ의 내부에 있고 D의 보완이 outside의 외부에 포함되는 등 요르단 곡선 = = {,, ..., }}의_m 양적이고 매끄러운 시스템이 존재한다. 따라서 기능적 미적분학의 정의에 대해, 실제로 일부 D에서 홀로모르픽인 각 f에 대해 적합한 조던 곡선 계열을 찾을 수 있다.

정의가 잘 되어 있음

이전의 논의에서는 적분(integrated)이 타당하다는 것을 보여주었다. 즉, 각 f에 적합한 집합 Ⅱ의 조던 곡선이 존재하며 적분(integrated)은 적절한 의미로 수렴된다. 제시되지 않은 것은 기능적 미적분학의 정의가 명확하지 않다는 것, 즉 γ의 선택에 좌우되지 않는다는 것이다. 이 문제는 우리가 해결하려고 노력한다.

예비적 사실.

요르단 곡선 γ = {γ₁, ..., γ_m}과 점 a ∈ C의 경우, a에 대한 구불구불한 숫자 γ은 원소의 구불구불한 숫자의 합이다. 다음을 정의하는 경우:

${\displaystyle n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i}a),}$

다음 정리는 코치에 의해 이루어진다.

정리. G ⊂ C를 오픈 세트로 하고 γ G를 :. g : G → C가 홀모픽이라면, 그리고 모든 a가 G, n(N(N(ND, a) = 0의 보완인 경우, γ에서 g의 등고선 적분은 0이다.

g가 L(X)의 값을 취할 때 우리는 이 결과의 벡터 값 아날로그가 필요할 것이다. 이를 위해 G : G → L(X)을 γ에 대해 동일한 가정으로 홀로모르픽으로 한다. 아이디어는 L(X)의 이중 공간 L(X)*을 사용하고, 스칼라 케이스에 대해서는 카우치 정리로 패스하는 것이다.

적분 고려

${\displaystyle \int _{\Gamma }g\in L(X),}$

만약 우리가 이 적분에서 모든 φ L(X)*이 사라진다는 것을 보여줄 수 있다면, 적분 그 자체는 0이어야 한다. φ은 경계가 있고, 적분은 규범에 수렴하기 때문에, 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\pi(g).}$

그러나 g는 홀로모르픽이므로 구성 φ(g): G ⊂ C → C는 홀로모르픽이며, 따라서 카우치 정리에 의해

${\displaystyle \int _{\Gamma }\phi(g)=0.}$

주론

기능적 미적분학의 정의는 이제 쉬운 결과로 이어진다. D를 σ(T)를 포함하는 오픈 세트로 한다. γ = {γ_i} 및 Ω = {Ω_j}이(가) 기능 미적분학에 대해 주어진 가정을 만족하는 요르단 곡선의 두 개(완료) 집합이라고 가정합시다. 우리는 보여주고 싶다.

${\displaystyle \int_{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\\zeta -T}\,d\zeta =\int_{\frac {f(\zeta )}{\frac {f(\zeta)}{\zeta -T}}},d\}$

각 Ω의_j 방향을 반대로 하여 Ω에서 Ω′을 얻도록 한다.

${\displaystyle \int _{\frac {f(\zeta )}{\frac {f(\zeta)}\\\\\\\\\Oomega '}{\frac {f(\zeta)}{\frac -T}\d\zeta.}}$

collections ∪ Ω′ 두 컬렉션의 결합을 고려한다. γ ∪ Ω′과 σ(T)는 모두 콤팩트하다. 따라서 γ(T)가 U의 보완에 있을 정도로 ∪ Ω′을 포함하는 일부 오픈셋 U가 있다. U의 보완에 있는 a는 권선 번호 n(( ( Ω′, a) = 0이고^{[clarification needed]} 함수는 n이다.

${\displaystyle \zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}$

U에 홀로모르프다. 그래서 벡터 가치의 코치의 정리는

${\d 디스플레이 스타일 \int_{\Gamma \cup \cup \Oomega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}\,d\zeta =0}$

즉

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.}$

따라서 기능적 미적분학은 잘 정의되어 있다.

따라서 f와₁ f가₂ σ(T)의 주변 D와₁ D에₂ 정의된 두 개의 홀모픽 함수와 σ(T)를 포함하는 오픈 세트에서 동일하다면 f₁(T) = f(T₂)이다. 더구나 D가₁ D가₂ 아닐 수도 있지만 연산자(f₁ + f₂) (T)는 잘 정의되어 있다. (f₁·f₂)(T)의 정의도 마찬가지다.

σ(T)의 개방된 근방에 대해 f가 홀로모르픽이라는 가정 하에

지금까지 이 가정의 완전한 강도는 사용되지 않았다. 적분 수렴을 위해 연속성만 사용하였다. 잘 정의하기 위해, ∪ ∪ Ω but 등고선 σ(T)을 포함한 오픈 세트 U에서 f만 홀로모르픽이 필요했지만, 그러나 ((T)은 아니었다. 이러한 가정은 기능 미적분학의 동형성 특성을 보여주는 데 전체적으로 적용될 것이다.

특성.

다항식 케이스

지도 f ↦ f(T)의 선형성은 적분 수렴에서 따르며 바나흐 공간의 선형 연산은 연속적이다.

f(z) = σ_{0 ≤ i ≤ m} a_i z가ⁱ 다항식일 때 다항식 함수 미적분을 회복한다. 이를 증명하기 위해서는 k ≥ 0과 f(z) = z에^k 대해 f(T) = T^k, 즉 t를 나타내는 것으로 충분하다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }{\frac {\\zeta ^{k}}{\\zeta -T}\,d\\zeta =T^{k}}}}$

σ(T)를 포함하는 적절한 γ에 대해. 연산자 표준 T보다 큰 반지름의 원이 되려면 to을 선택하십시오. 전술한 바와 같이, 그러한 γ에서, 분해능 지도는 파워 시리즈 표현을 허용한다.

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\좌측({\frac {T}{z}\오른쪽)^{n}}}}$

대체하는 것은 주는 것이다.

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }\왼쪽(\sum _{n\geq 0}{\n^{n}}{\frac ^{n+-k}}\d\zeta }}}}}$

어느 것이

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}}$

Δ는 크로네커 델타 기호다.

동형상속성

적절한 가정을 만족하는 f와₁ f에₂ 대해 동형상 속성은 다음과 같이 진술한다.

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

우리는 첫 번째 해결 공식과 f에 배치된 가정을 불러일으키는 주장을 스케치한다. 먼저 γ이₁ γ의₂ 안쪽에 위치하도록 요르단 곡선을 선택한다. 그 이유는 아래에 분명히 밝혀질 것이다. 직접 계산으로 시작

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&, ={\frac{1}{(2\pi 나는)^{2}}}\int _{\Gamma_{1}}\int _{\Gamma_{2}}{\frac{f_{1}(\zeta)f_ᆷ(\omega)}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&, ={\frac{1}{(2\pi 나는)^{2}}}\int _{\Gamma_{1}}\int _{\Gamma_{2}}f_ᆽ(\zeta)f_ᆾ(\omega)\left({\frac{(\zeta -T)^ᆿ-(\omega -T)^{)}}{-\zeta\omega}}\right)d\omega \,d\zeta&&,{\tex.t{먼저 ResolvenT공식}}\\&, ={\frac{1}{(2\pi 나는)^{2}}}\left\{\left(\int_{\Gamma_{1}}{\frac{f_{1}(\zeta)}{\zeta -T}}\left[\int_{\Gamma_{2}}{{{2}(\omega)f_}\frac{\omega -\zeta}}d\omega\right]d\zeta\right)-\left(\int_{\Gamma_{2}}{{{2}(f_\frac\omega)}{\omega -T}}\left[\int_{\Gamma_{1}}{\frac{f_{1}(\zeta)}{\omega -\zeta}}d\zeta\right]d\omega. \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

마지막₁ 줄은 Ω ∈ γ₂ outside이 γ₁ 밖에 있고, f가 of(T)의 일부 개방된 근방에 홀로모르픽(holomorphic)하여, 따라서 두 번째 항이 소멸된다는 사실에서 따온 것이다. 따라서 다음과 같은 이점이 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(T)f_ᆰ(T)&, ={\frac{1}{2\pi 나는}}\int _{\Gamma_{1}}{\frac{f_{1}(\zeta)}{\zeta -T}}\left[{\frac{1}{2\pi 나는}}\int_{\Gamma_{2}}{{f_{2}(\omega)}{\omega -\zeta}}d\omega\right\frac]d\zeta \\&, ={\frac{1}{2\pi 나는}}\int _{\Gamma_{1}}{\frac{f_{1}(\zeta)}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta)\right]d\zeta&&am.p/&{\text{코시's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

콤팩트 컨버전스와 관련된 연속성

G ⊂ C를 σ(T) ⊂ G와 함께 열도록 한다. G에서 홀오모르픽 함수의 시퀀스 {f_k}이(가끔은 콤팩트 컨버전스라고 한다)의 콤팩트 서브셋에서 균일하게 수렴된다고 가정한다. 그러면 {f_k(T)}이(가) L(X)에서 수렴된다.

단순하게 Ⅱ는 하나의 조던 곡선만으로 구성된다고 가정한다. 우리는 추정한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\ f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\ &={\frac {1}{2\pi }}\left\ \int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\ \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left (f_{k}-f_{l})(\zeta )\right \cdot \left\ (\zeta -T)^{-1}\right\ d\zeta \end{aligned}}}$

균일한 수렴 가정과 다양한 연속성 고려사항을 결합함으로써, 상기 0을 k, l → ∞으로 하는 경향이 있음을 알 수 있다. 따라서 {f_k(T)}은(는) cauchy이므로 수렴성이다.

유니크함

요약하자면, 우리는 홀로모르픽 기능적 미적분인 f → f(T)가 다음과 같은 특성을 가지고 있다는 것을 보여주었다.

1. 다항식 기능 미적분을 확장한다.
2. σ(T)에서 L(X)까지의 근방에 정의된 홀로모르픽 함수의 대수로부터 대수적 동형상이다.
3. 콤팩트 세트에 균일한 컨버전스를 보존한다.

위의 성질을 만족시키는 미적분이 독특하다는 것을 증명할 수 있다.

우리는 지금까지 논의된 모든 것이 바나흐 대수 A로 대체되는 경계 연산자 L(X) 계열의 경우 말 그대로 받아들여진다는 점에 주목한다. 기능적 미적분은 A의 원소에 대해 정확히 동일한 방법으로 정의될 수 있다.

스펙트럼 고려사항

스펙트럼 매핑 정리

스펙트럼 매핑 정리는 다항식 기능 미적분학: 모든 다항식 p에 대해 ((p(T) = p(t)를 보유한다고 알려져 있다. 이것은 홀로모르픽 미적분학까지 확장될 수 있다. f(σ(T) ⊂(f(T)) ⊂(f)을 표시하려면 μ를 복잡한 숫자로 한다. 복잡한 분석의 결과, ((T)의 근방에 다음과 같은 함수 g 홀로모르픽이 존재한다.

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

동형성 속성에 따르면 f(T) - f(μ) = (T - μ)g(T)이다. 따라서 μ∈(T)는 f(μ)∈(f(T)를 내포한다.

다른 포함의 경우, μ가 f(σ(T)에 있지 않은 경우, 함수 미적분학을 에 적용할 수 있다.

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

그래서 g(T)(f(T) - μ) = I. 따라서 μ는 σ(f(T)에 있지 않다.

스펙트럼 투영

그 밑바탕은 다음과 같다. K가 σ(T)의 하위 집합이고 U,V가 각각 K와 and(T) \ K의 공동 인접지라고 가정하자. e(z) = z define U이면 1을 정의하고 z z V이면 e(z) = 0을 정의한다. 그 다음 e는 [e(z)]² = e(z)를 갖는 홀모형 함수로서, U v V에 있고 선형 연산자 σ(T)를 둘러싸는 적절한 등고선 γ에 대한 것이다.

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}\,dz}$

T와 통근하고 많은 유용한 정보를 제공하는 경계 투영이 될 것이다.

이 시나리오는 K가 ((T)의 아공간 토폴로지에서 열린 상태와 닫힌 상태여야만 가능하다는 것을 전달한다. 더욱이, 설정 V는 e가 0이기 때문에 무시될 수 있으며 따라서 적분에는 아무런 기여도 하지 않는다. 투영 e(T)는 K에서 T의 스펙트럼 투영이라고 하며 P(K;T)로 표시된다. 따라서 아공간 위상에서 개방 및 폐쇄된 σ(T)의 모든 부분 집합 K는 다음과 같은 스펙트럼 투영을 제공한다.

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}}}}}$

여기서 γ은 K를 둘러싸지만 σ(T)의 다른 점은 포함하지 않는 등고선이다.

Since P = P(K;T) is bounded and commutes with T it enables T to be expressed in the form U ⊕ V where U = T _PX and V = T _(1−P)X. Both PX and (1 − P)X are invariant subspaces of T moreover σ(U) = K and σ(V) = σ(T) \ K. A key property is mutual orthogonality. L이 σ(T)의 아공간 위상에서 또 다른 개방 및 폐쇄형 집합인 경우, P(K;T)P(L;T) = P(L;T) = P(K;T) = K와 L이 분리될 때마다 0인 P(K ∩ L;T)이다.

스펙트럼 투영에는 수많은 응용이 있다. σ(T)의 모든 격리된 지점은 아공간 위상에서 개방 및 폐쇄되므로 관련 스펙트럼 투영법이 있다. X가 유한 치수 σ(T)을 갖는 경우, 그 결과 스펙트럼 투영은 동일한 고유값에 해당하는 모든 요르단 블록이 통합되는 요르단 정상 형태의 변형으로 이어진다. 즉, 구별되는 고유값당 정확히 하나의 블록이 존재한다. 다음 절에서는 이러한 분해를 보다 상세히 고찰한다.

때때로 스펙트럼 투영은 상위 연산자로부터 특성을 이어받는다. 예를 들어 T가 스펙트럼 반경 r을 가진 양의 행렬인 경우, Perron-Frobenius 정리는 r σ(T)를 주장한다. 관련 스펙트럼 투영 P = P(r;T)도 양이며 상호 직교성에 의해 다른 스펙트럼 투영도 양 행이나 열을 가질 수 없다. 사실 TP = rP와 (T/r)ⁿ → n → P를 n → ∞으로 하여 이 투영 P(Perron 투영이라고 함)는 n이 증가함에 따라 근사치(T/r)ⁿ를 나타내며, 그 각 기둥은 T의 고유 벡터(Eigenvector)이다.

보다 일반적으로 T가 콤팩트한 연산자일 경우 ((T)의 0이 아닌 모든 지점은 격리되므로 그 중 어떤 유한 부분집합도 T를 분해하는 데 사용할 수 있다. 연관된 스펙트럼 투영은 항상 유한한 순위를 갖는다. 유사한 스펙트럼 특성을 가진 L(X)의 연산자는 Riesz 연산자로 알려져 있다. 리에즈 연산자(콤팩트 연산자 포함)의 많은 계층은 L(X)의 이상이며, 연구를 위한 풍부한 분야를 제공한다. 그러나 X가 힐버트 공간이라면, 리에즈 연산자와 유한 계급의 연산자 사이에 정확히 하나의 닫힌 이상적인 샌드위치가 있다.

앞서 언급한 논의의 많은 부분은 복잡한 바나흐 대수학의 보다 일반적인 맥락에서 설정될 수 있다. 여기서 스펙트럼 투영은 더 이상 투영할 공간이 없을 수 있기 때문에 스펙트럼 특이점이라고 한다.

불변 아공간 분해

스펙트럼 σ(T)이 연결되지 않은 경우 X는 기능 미적분을 이용하여 T의 불변 서브스페이스로 분해할 수 있다. σ(T)를 해체조합으로 하자.

$\displaystyle \sigma(T)=\빅컵 _{i=1}^{m}{F_{i}}}$

e를_i 구성_i 요소 F만 포함하는 일부 주변과 다른 구성 요소 0에 대해 각각 1로 정의하십시오. 동형상 속성에 의해 e_i(T)는 모든 i에 대한 투영이다. 사실 그것은 위에서 설명한 스펙트럼 투영 P(F_i;T)에 불과하다. 관계 e_i(T) T = T e_i(T)는 X로_i 표시된 각 e_i(T)의 범위가 T의 불변 하위공간임을 의미한다. 이후

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

X는 다음과 같은 보완적인 하위 영역으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}\,}$

마찬가지로 T가_i X로_i 제한되어 있으면

$T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

직접 합계를 고려한다.

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

표준과 함께

${\displaystyle \left\\\bigoplus _{i}\right\ =\sum _{i}\,}$

X'는 바나흐 공간이다. 맵핑 R: X' → X에 의해 정의됨

${\displaystyle R\왼쪽(\bigoplus _{i}_{i}\오른쪽)=\sum _{i}x_{i}}}}$

바나흐 공간 이형성이고, 그리고 우리는 그것을 본다.

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}}$

이것은 T의 블록 대각화라고 볼 수 있다.

X가 유한 차원일 때 σ(T) = {λ_i}은 복합 평면에서 유한한 점 집합이다. 스펙트럼에서 λ만_i 포함하는 오픈 디스크에서 e를_i 1로 선택한다. 해당 블록-대각 행렬

$\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

요르단 표준 형식 T이다.

관련결과

더 강력한 가정으로, T가 힐버트 공간에 작용하는 정상 연산자일 때, 기능 미적분학의 영역을 넓힐 수 있다. 두 결과를 비교할 때, 일반 행렬에 대한 스펙트럼 정리와 요르단 표준형식의 관계와 대략적인 유추를 할 수 있다. T가 정상 연산자인 경우 연속 기능 미적분을 얻을 수 있는데, 즉 f가 σ(T)에 정의된 연속 함수인 상태에서 f(T)를 평가할 수 있다. 측정 이론의 기계를 사용하여, 이것은 측정 가능한 기능까지 확장될 수 있다(보렐 기능 미적분학 참조. 그러한 맥락에서 E ⊂ σ(T)이 보렐 세트이고 E(x)가 E의 특성 함수라면, 투영 연산자 E(T)는 위에서 논의한 e_i(T)의 정교함이다.

보렐 기능 미적분은 힐버트 공간의 무한 자기 적응 연산자까지 확장된다.

조금 더 추상적인 언어에서, 홀로모픽 기능 미적분은 본질적으로 위와 같은 주장을 사용하여 바나흐 대수학의 어떤 요소에도 확장될 수 있다. 마찬가지로, 연속 기능 미적분은 C*-알제브라에서 정상 원소 및 폰 노이만 대수에서 정상 원소의 측정 가능한 기능 미적분을 보유한다.

언바운드 연산자

홀모픽 함수 미적분은 비어 있지 않은 분해능 집합이 있는 무한 폐쇄 연산자에 대해서도 유사한 방식으로 정의할 수 있다.

참고 항목

• 형식주의를 해소하다
• 유한차원의 경우를 어느 정도 상세히 논하는 요르단 표준형식.

참조

• N. 던포드 앤 J.T. 슈워츠, 선형 연산자, 제1부: 일반 이론, 1958년.
• 스티븐 G 크랜츠 대수학, 산술, 삼각법 사전. CRC 프레스, 2000년 ISBN1-58488-052-X.
• 이스라엘 고베르크, 세이모어 골드버그, 마리너스 A. Kaashoek, Linear Operators Classes of Linear Operators: 제1권. 비르카우저, 1991년 ISBN 978-0817625313.