타켄스 정리

동적 시스템 연구에서 지연 임베딩 정리는 혼란스러운 동적 시스템이 해당 시스템의 상태에 대한 일련의 관찰에서 재구성될 수 있는 조건을 제공합니다. 재구성은 부드러운 좌표 변화(즉, 미분동형)에서도 변하지 않는 동적 시스템의 특성을 보존하지만 위상 공간에서 구조의 기하학적 모양을 보존하지는 않습니다.

타켄스 정리는 1981년 플로리스 타켄스의 지연 임베딩 정리입니다. 일반적인 함수로 수행된 관측으로부터 매끄러운 어트랙터를 재구성할 수 있는 조건을 제공합니다. 이후 결과는 매끄러운 어트랙터를 임의의 박스 카운팅 차원의 집합으로 대체하고 일반 함수의 클래스를 다른 클래스의 함수로 대체했습니다.

어트랙터 재구성에 가장 일반적으로 사용되는 방법입니다.^[1]

지연 임베딩 정리는 이산 시간 동적 시스템에 대해 진술하기가 더 간단합니다. 동역학계의 상태 공간은 ν 차원의 다양체 M입니다. 역학은 매끄러운 지도에 의해 제공됩니다.

f:M\to M.

동역학 $f$ 가 상자 계산 차원 $d$ 인 이상한 끌개 $A$ ⊂ M {\ $displaystyle$ A $\subset$ M}을 가지고 있다고 가정합니다. 휘트니의 임베딩 정리의 아이디어를 사용하여 $A$ 는 k차원 유클리드 공간에 다음과 같이 임베딩될 수 있습니다.

k>2d_{A}

즉, A를 $Rk {\displaystyle \mathbb {$ R} ^{k $\mathbb {R} ^{k}$ 로 매핑하여 φ의 도함수가 완전 순위를 갖도록 $하는$ 미분동형 φ이 있습니다.

지연 임베딩 정리는 관측 함수를 사용하여 임베딩 함수를 구성합니다. 관측 함수 $\alpha :M\to \mathbb {R}$ : $\alpha :M\to \mathbb {R}$ → R {\ $displaystyle \alpha$ : $M\ to \mathbb {R} }$ 은(는) 두 번 미분할 수 있어야 하며 어트랙터 $A$ 의 임의의 점에 실수를 연결해야 합니다. 또한 전형적이어야 하므로 파생형은 전체 순위이며 구성 요소에서 특별한 대칭이 없습니다. 지연 임베딩 정리는 다음 함수를

\varphi _{T}(x)={\bigl(}\alpha(x)),\,\alpha(f(x)),\,\dots,\alpha(f^{k-1}(x))\,{\bigr )}

는 $\mathbb {R} ^{k}.$ $\mathbb {R} ^{k$ 의 이상한 끌개 $A$ 의 임베딩입니다.

간이판

$d$ $d$ 차원 $d$ 상태 벡터 x $x_{t}$ ${\$ 가 알 수 없지만 연속적이고 (결정적으로) 결정론적인 동적에 따라 진화한다고 $x_{t}$ 가정합니다. 또한 1차원 관측 $y$ 한 y{\ $displaystyle$ y $}$ 가 x{\ $displaystyle$ x $}$ 의 매끄러운 함수이며 $y$ $x$ $x$ $x$ 의 모든 성분과 "결합"되었다고 가정해보자 $x$ 이제 우리는 현재 $y(t)$ y ( $y(t)$ {\ $displaystyle$ y $(t)}$ 뿐만 아니라 $y(t)$ 그러나 때로는 $\tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }$ + $\tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }$ τ, yt + 2 $\tau :y_{t+\tau },y_{t+2\tau }$ τ ${\displaystyle$ \tau $:$ y_{t+\tau }, y_{t+2\tau } 등의 지연 τ를 여러 번 제거하여 관찰할 때도 있습니다. $k$ ${\displaystyle$ k $}$ 시차를 $k$ 사용하면 k ${\displaystyle$ k $}차원$ 벡터가 $k$ 있습니다. 시차 수가 증가함에 따라 시차 공간에서의 움직임이 점점 더 예측 가능해지고 아마도 한계 $k$ → ∞ {\ $displaystyle k\$ to $k\to \infty$ \infty}에서 결정론적이 될 것이라고 예상할 수 있습니다. 실제로 지연 벡터의 역학은 유한 차원에서 결정론적이 됩니다. 그뿐만 아니라 결정론적 역학은 원래 상태 공간의 역학과 완전히 동일합니다(정확히는 좌표의 매끄럽고 가역적인 변화 또는 미분동형과 관련이 있습니다). 실제로 이 정리는 차원 $2d+1$ + $2d+1$ $2d+1$ 에 도달하면 결정론이 나타나고 $2d+1$ 최소 임베딩 차원이 더 적어진다는 것을 말합니다.^[2]^[3]

지연선택

Takens의 정리는 일반적으로 소음에 의한 오염이 있는 실험 데이터에서 이상한 인력을 재구성하는 데 사용됩니다. 그만큼 지연 시간의 선택이 중요해집니다. 노이즈가 없는 데이터의 경우 지연 선택이 유효한 반면 노이즈가 많은 데이터의 경우 잘못 선택된 지연에 대해 노이즈로 인해 끌개가 파괴됩니다.

최적의 지연은 일반적으로 어트랙터 주변의 평균 궤도 주기의 약 10분의 1에서 1/2입니다.^[4]^[5]

참고 항목

참고문헌

^ Sauer, Timothy D. (2006-10-24). "Attractor reconstruction". Scholarpedia. 1 (10): 1727. doi:10.4249/scholarpedia.1727. ISSN 1941-6016.
^ Shalizi, Cosma R. (2006). "Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview". In Deisboeck, ThomasS; Kresh, J.Yasha (eds.). Complex Systems Science in Biomedicine. Topics in Biomedical Engineering International Book Series. Springer US. pp. 33–114. arXiv:nlin/0307015. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113.
^ Barański, Krzysztof; Gutman, Yonatan; Śpiewak, Adam (2020-09-01). "A probabilistic Takens theorem". Nonlinearity. 33 (9): 4940–4966. arXiv:1811.05959. doi:10.1088/1361-6544/ab8fb8. ISSN 0951-7715. S2CID 119137065.
^ Strogatz, Steven (2015). "12.4 Chemical chaos and attractor reconstruction". Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (Second ed.). Boulder, CO. ISBN 978-0-8133-4910-7. OCLC 842877119.{{cite book}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
^ Fraser, Andrew M.; Swinney, Harry L. (1986-02-01). "Independent coordinates for strange attractors from mutual information". Physical Review A. 33 (2): 1134–1140. doi:10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID 9896728.

외부 링크

[1]사이언티오의 카오스킷 제품은 임베딩을 사용하여 분석과 예측을 만듭니다. 웹 서비스와 그래픽 인터페이스를 통해 온라인으로 액세스할 수 있습니다.
[2]경험적 동적 모델링 도구 pyEDM 및 rEDM은 분석, 예측 및 인과 추론을 위해 임베딩을 사용합니다.

[1] Sauer, Timothy D. (2006-10-24). "Attractor reconstruction". Scholarpedia. 1 (10): 1727. doi:10.4249/scholarpedia.1727. ISSN 1941-6016.

[2] Shalizi, Cosma R. (2006). "Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview". In Deisboeck, ThomasS; Kresh, J.Yasha (eds.). Complex Systems Science in Biomedicine. Topics in Biomedical Engineering International Book Series. Springer US. pp. 33–114. arXiv:nlin/0307015. doi:10.1007/978-0-387-33532-2_2. ISBN 978-0-387-30241-6. S2CID 11972113.

[3] Barański, Krzysztof; Gutman, Yonatan; Śpiewak, Adam (2020-09-01). "A probabilistic Takens theorem". Nonlinearity. 33 (9): 4940–4966. arXiv:1811.05959. doi:10.1088/1361-6544/ab8fb8. ISSN 0951-7715. S2CID 119137065.

[4] Strogatz, Steven (2015). "12.4 Chemical chaos and attractor reconstruction". Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering (Second ed.). Boulder, CO. ISBN 978-0-8133-4910-7. OCLC 842877119.{{cite book}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)

[5] Fraser, Andrew M.; Swinney, Harry L. (1986-02-01). "Independent coordinates for strange attractors from mutual information". Physical Review A. 33 (2): 1134–1140. doi:10.1103/PhysRevA.33.1134. PMID 9896728.

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