접선각

기하학에서 데카르트 평면에 있는 곡선의 접선각은 특정 지점에서 주어진 점에서 곡선에 대한 접선선과 x축 사이의 각이다.^[1] (일부 저자는 각도를 고정된 시작점에서 곡선 방향으로부터의 편차로 정의한다는 점에 유의하십시오. 이는 각도에 상수를 추가하거나 곡선을 회전하여 여기에 주어진 정의와 동일하다.)^[2]

방정식

만약 곡선이 (x(t), y(t)에 의해 파라메트릭적으로 주어진다면, t에서의 접선각 φ은 (최대 2㎛의 배수)에 의해^[3] 정의된다.

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\y'(t){\big )}{{\big }x'(t),\ y'(t){}}}}}=(\cos \varphi ,\\\sin \varphi).}$

여기서 prime 기호는 t에 관한 파생물을 나타낸다. 따라서 접선 각도는 속도 벡터(x(t), y(t)의 방향을 지정하고, 속도는 그 크기를 지정한다. 벡터

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}{{\big }{{\big }}}{\big }}}}}}{\big }}}}}}}}}}}}$

단위 접선 벡터라고 불리기 때문에 등가 정의는 t에서의 접선 각도가 각도 φ이므로 (cos φ, sin φ)는 t에서의 단위 접선 벡터인 것이다.

원곡선이 호 길이 s에 의해 파라메트릭화되어 x tos, y′s = 1이면 정의는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\big(}x's),\ y'{\big )}=(\cos \varphi ,\sin \varphi).}$

이 경우 곡률 κ은 φ′(s)에 의해 주어지는데, 여기서 κ은 곡선이 왼쪽으로 구부러지면 양으로, 곡선이 오른쪽으로 구부러지면 음으로 취한다.^[1]

만약 그 곡선 y)f())에 의해서 주어진다,)parametrization고 φ−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output .sfr 사이에 있다고 가정할 수 있(x, f()) 걸릴 수도 있다.Ac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2과 π/2. 이것은 노골적인 표현을 만들어 낸다.

$\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

극 접선각^[4]

극좌표에서 극 접선각은 주어진 지점에서 접선선과 곡선의 각도와 원점에서 점까지의 광선으로 정의된다.^[5] ψ이 극 접선 각도를 나타내는 경우 ψ = φ - θ, 여기서 φ은 위와 같고 θ은 평소와 같이 극각이다.

곡선이 r = f(()에 의해 극좌표로 정의되는 경우, θ에서의 극 접선각 ψ은 (최대 2㎛의 배수)에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big }f'(\theta ),\ f(\theta ){\big }}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

원곡선이 r = r(s), θ = θ(s), ′ = θ(s), rs(s) = 1로 호 길이로 파라메트리되면 정의가 된다.

$($ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{r}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ $,$ $=$ ) = {\displaystyle {\$big (}r'$s),\ r\theta '$s{\big )}=(\cos \psi,\sin \psi$ $)\}\}.$

로그 나선은 극 접선 각도가 일정한 곡선을 정의할 수 있다.^[4][5]

참고 항목

• 곡선의 차등 기하학
• 윌웰 방정식
• 미분각

참조

추가 읽기

• "Notations". Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French).
• Yates, R. C. (1952). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126.