타르스키-세이덴부르크 정리

수학에서 타르스키-세이덴버그 정리는 다항식 방정식과 불평등에 의해 정의된 (n + 1)차원 공간에 세트(set)를 투영할 수 있으며, 그 결과 집합은 다항식 정체성과 불평등 측면에서 여전히 정의할 수 있다고 기술하고 있다.타르스키-세이덴버그 투영 특성이라고도 알려진 이 정리는 알프레드 타르스키와 아브라함 세이덴버그의 이름을 따서 명명되었다.^[1]그것은 정량자 제거가 실제에 걸쳐 가능하다는 것을 암시한다. 즉, 논리 결합형 ∨(또는), ∧(그리고), ¬(그리고 그렇지 않음), 정량형 ((전체적으로)에 의해 다항식 방정식과 불평등으로 구성된 모든 공식은 정량자가 없는 유사한 공식과 동등하다는 것이다.중요한 결과는 실폐장 이론의 결정성이다.

정리의 원래 증명은 건설적이었지만, 결과 알고리즘은 컴퓨터에서 그 방법을 사용하기에는 너무 높은 계산적 복잡성을 가지고 있다.조지 E. 콜린스는 원통형 대수분해 알고리즘을 도입했는데, 이중 지수 시간 내에 실체에 대한 정량화 제거가 가능하다.출력에 연결된 구성 요소의 수가 두 배로 기하급수적으로 증가하는 예가 있기 때문에 이 복잡성은 최적이다.따라서 이 알고리즘은 기초적이며, 계산 대수 기하학에서 널리 사용된다.

성명서

R에ⁿ 설정된 반제곱은 유한한 다항 방정식과 불평등에 의해 정의되는 집합의 유한 결합으로, 형식에 대한 한정된 수의 문장으로 정의된다.

${\displaystyle p(x_{1},\ldots,x_{n}=0\,}$

그리고

${\displaystyle q(x_{1},\ldots,x_{n})0\,}$

다항식 p 및 q의 경우점(x₁, ..., x_n, x_n+1)을 (x₁, ..., ..., x_n)에 보내서 투영 지도 πⁿ⁺¹ : R → R을ⁿ 정의한다.그 다음 타르스키-세이덴버그 정리에서는 X가 일부 n ≥ 1에 대해ⁿ⁺¹ R에 설정된 반제브라치라면, π(X)는 R에ⁿ 설정된 반제브라치라고 기술하고 있다.

대수 집합의 고장

만약 우리가 불평등이 아닌 다항식 방정식을 사용하여 집합만 정의한다면, 우리는 반항식 집합보다는 대수학 집합을 정의한다.이러한 집합에 대해 정리 실패, 즉 대수 집합의 투영은 대수적일 필요가 없다.간단한 예로서 방정식에 의해 정의된² R의 하이퍼볼라를 고려한다.

${\displaystyle xy-1=0.\,}$

이것은 완벽하게 좋은 대수 집합이지만, R에서² x로 (x, y)를 전송하여 아래로 투영하면 x ≠ 0을 만족하는 점 집합이 생성된다.이것은 반음계 집합이지만, R에 있는 대수 집합은 R 그 자체, 빈 집합, 유한 집합이기 때문에 대수 집합은 아니다.

이 예는 또한 복잡한 숫자에 걸쳐 대수 집합의 투영법이 비알제브라일 수 있다는 것을 보여준다.따라서 실제 대수 집합의 존재는 실제 숫자의 장이 대수적으로 닫히지 않는다는 사실에 의존하지 않는다.

또 다른 예로는² R의 포물선이 있는데, 이 포물선은 방정식으로 정의된다.

${\displaystyle y^{2}-x=0.}$

X축에 투영되는 이 투영은 반선[0, $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inflt }$ ]이며,$$ (완료) 교차로, 유니언, 세트 보완에 의한 대수 집합에서 얻을 수 없는 반선형 집합이다.

구조와의 관계

이 결과는 현재 R에 O-minal 구조로ⁿ 알려진 것을 R 형태로 설정한다는 것을 확인했다.이것들은 각 n and 1에 대한 하위 집합ⁿ S의_n 집합으로, 우리가 유한 결합과 S의_n 하위 집합의 보완을 취할 수 있고 그 결과는 여전히 S에_n 있을 것이며, 더욱이 S의₁ 요소는 단순히 구간과 점의 유한 조합일 뿐이다.그러한 집합이 O-minal 구조가 되기 위한 최종 조건은 R에서ⁿ⁺¹ R까지의ⁿ 첫 번째 n 좌표에 대한 투영 맵이 S의_n+1 하위 집합을 S의_n 하위 집합으로 보내야 한다는 것이다.타르스키-세이덴버그 정리는 S가_n R에ⁿ 있는 반제브라틱 집합의 집합이라면 이것이 지탱하고 있다는 것을 말해준다.

참고 항목

• 실수에 대한 1차 이론의 결정성

참조

• van den Dries, L. (1998). Tame topology and o-minimal structures. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 248. Cambridge University Press. Zbl 0953.03045.
• Khovanskii, Askold G. (1991). Fewnomials. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 88. Translated from the Russian by Smilka Zdravkovska. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002.
• Neyman, Abraham (2003). "Real Algebraic Tools in Stochastic Games". Stochastic Games and Applications. Dordrecht: Kluwer. pp. 57–75. ISBN 1-4020-1492-9.

외부 링크

• 타르스키-세이덴버그 정리 PlanetMath.org