텔레겐 정리

텔레겐의 정리는 네트워크 이론에서 가장 강력한 정리 중 하나입니다. 네트워크 이론의 대부분의 에너지 분배 정리와 극단적인 원리는 이로부터 도출될 수 있습니다. 그것은 1952년에 버나드 텔레젠에 의해 출판되었습니다.^[1] 기본적으로 텔레겐의 정리는 키르히호프의 전기회로 이론 법칙을 만족시키는 크기 사이의 간단한 관계를 제공합니다.

텔레겐 정리는 다수의 네트워크 시스템에 적용 가능합니다. 시스템의 기본 가정은 광범위한 양의 흐름(Kirchhoff의 현재 법칙, KCL)과 네트워크 노드의 전위의 고유성(Kirchhoff의 전압 법칙, KVL)입니다. Tellegen 정리는 전기 회로, 생물학적 및 대사적 네트워크, 파이프라인 전송 네트워크 및 화학 공정 네트워크를 포함한 복잡한 네트워크 시스템을 분석하는 데 유용한 도구를 제공합니다.

정리

$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$개의$$ 분기와 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$개의$$ 노드가 있는 임의의 병합된 네트워크를 생각해 보십시오. 전기 네트워크에서 분기는 두 단자 구성 요소이고 노드는 상호 연결 지점입니다. 각 분기에 임의로 분기 전위차 ${\displaystyle {Wk}_{}}${\$displaystyle W_{k}}$와 k =${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2,}$ $…,$ b {\displaystyle k=1, 2,\ dots, b}에 대한 분기 $전류$ ${\displaystyle {Fk}_{}}$ ${\displaystyle F_{k}}$를 할당하고 임의로 선택된 관련 기준 방향에 대해 측정한다고 가정합니다. 분기 전위차 $W{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 KVL에 의해 부과된 모든 제약 조건을 만족하고$$ 분기 전류 F ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 KCL에 의해 부과된 모든 제약 조건을 만족하면$$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

Tellegen의 정리는 매우 일반적이며 선형 또는 비선형, 수동 또는 능동, 시변 또는 시변의 모든 요소를 포함하는 모든 병합 네트워크에 유효합니다. 일반성은 ${\displaystyle {Wk}_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {Fk}_{}}$ ${\$가 전위차 집합 및 분기전류 집합(각각)에 대한 선형 연산일 때 확장됩니다. 왜냐하면 선형 연산은 KVL 및 KCL에 영향을 미치지 않기 때문입니다. 예를 들어 선형 연산은 평균이거나 라플라스 변환일 수 있습니다. 보다 일반적으로 KVL을 보존하는 연산자를 Kirchhoff 전압 연산자, KCL을 보존하는 연산자를 Kirchhoff 전류 연산자, 둘 다 보존하는 연산자를 Kirchhoff 전류 연산자라고 합니다. 이러한 연산자는 반드시 텔레겐 정리가 성립하기 위해 선형일 필요는 없습니다.^[2]

KVL과 KCL이 모든 시간의 순간에 참이기 때문에 전류 세트는 전위차 세트와 다른 시간에 샘플링될 수도 있습니다. 또 다른 확장은 전위 차이 $집합{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Wk}_{}}$ ${\$가 하나의 네트워크에서 온 것이고 전류 $집합{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Fk}_{}}${\$displaystyle F_{k}$가 완전히 다른 네트워크에서$$ 온 것이므로 두 네트워크가 동일한 토폴로지(동일한 입사 행렬)를 가지고 있는 한 텔레젠의 정리는 참으로 유지됩니다. 이러한 텔레젠 정리의 확장은 2포트 네트워크와 관련된 많은 정리로 이어집니다.^[3]

정의들

컴팩트한 증명을 제공하기 위해 필요한 몇 가지 네트워크 정의를 도입해야 합니다.

발생률 행렬: $n{\displaystyle }$× ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ n$\times$ b$}$ $행렬$ A ${\$ ${\displaystyle {행렬\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{aj}}_{}}$ ${\$ 존재에$$ 대한 노드 대 분기 입사 행렬이라고$$ 합니다.

${\displaystyle a_{ij}={\text{case}1,&{\text{branch의 전류가 흐르는 경우}j{\text{branch의 전류가 흐르는 경우}i\-1,&{\text{branch의 전류가 흐르는 경우}j{\text{branch의 전류가 흐르는 경우}i\0,&{\text{otherwise}\end{case}}}$

기준 또는 데이터 노드 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 도입되어 환경을 나타내며 모든 동적 노드 및 터미널에 연결됩니다. ${\displaystyle \mathrm{기준}}$ 노드 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의${\displaystyle }$0 ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 요소를 포함하는 행이 제거된 (n - 1) × b {\displaystyle$$($n-1)\times b}$ 행렬$$ $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$displaystyle \$mathbf {A}}$를 감소 입사 행렬이라고 합니다.

벡터 행렬 형태의 보존 법칙(KCL):

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0}$

벡터 행렬 형태의 퍼텐셜(KVL)에 대한 고유 조건:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\$는 기준 노드 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 노드에서 절대 전위입니다$.$

증명

KVL 사용:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}}\mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}$

${\displaystyle \mathbf{AF}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle \mathbf {AF$}$ =\mathbf {0}을(를) KCL로 표시하기 때문입니다. 그래서.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

적용들

네트워크 아날로그는 다양한 물리적 시스템을 위해 구성되었으며 동적 동작을 분석하는 데 매우 유용한 것으로 입증되었습니다. 네트워크 이론과 텔레겐 정리의 고전적인 응용 영역은 전기 회로 이론입니다. 주로 신호 처리 응용 프로그램에서 필터를 설계하는 데 사용됩니다.

텔레겐의 정리를 보다 최근에 적용한 것은 화학적, 생물학적 과정 분야입니다. 전기 회로에 대한 가정(Kirchhoff laws)은 비가역적 열역학 법칙을 따르는 동적 시스템에 대해 일반화됩니다. Tellegen 정리를 사용하여 반응 네트워크(반응 메커니즘, 대사 네트워크)의 토폴로지 및 구조를 분석할 수 있습니다.

텔레겐 정리의 또 다른 응용은 화학 공장이나 석유 생산 시스템과 같은 복잡한 공정 시스템의 안정성과 최적성을 결정하는 것입니다. Tellegen 정리는 프로세스 노드, 터미널, 흐름 연결을 사용하고 광범위한 양의 생산 또는 파괴를 위해 싱크 및 소스를 허용하는 프로세스 시스템에 대해 공식화할 수 있습니다.

Tellegen의 공정 체계 정리에 대한 공식:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 pj$${\$displaystyle$p_${j$}는 생산 용어이고, ${\displaystyle {tj}_{}}${\$displaystyle t_{j}$는 터미널 $연결$이며$,$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ⁡ $Zj$ d ⁡ t ${\displaystyle {\operatorname$ {d} Z_{$j}{\$operatorname {d} t}}는 광범위한 변수의 동적 저장 용어입니다.

참고문헌

인라인 참조

일반 참고문헌

외부 링크

• 텔레겐 정리의 회로 예제
• G.F. Oster and C.A. 디소어, 텔레겐 정리와 열역학적 부등식
• 네트워크 열역학