단자 슬라이딩 모드

1990년대 초, 벤카타라만과 굴라티에 의해 제트 추진 연구소(JPL)에서 새로운 형태의 슬라이딩 모드 제어인 단자 슬라이딩 모드(TSM)가 발명되었다.^[1]TSM은 강력한 비선형 제어 접근방식이다.

터미널 슬라이딩 모드 제어의 주요 아이디어는 JPL에서 Zak이 수행한 터미널 유충기에 대한 정석적인 작업에서 발전했으며, 주의 유한한 시간 수렴을 보장하는 터미널 유충기의 개념에 의해 촉발되었다.반면, 정상적인 슬라이딩 모드에서는 증상이 없는 안정성이 약속되어 상태가 원점으로 수렴된다.그러나 이러한 융합은 무한한 시간 안에만 보장될 수 있을 것이다.TSM에서는 다지관이 끌어당김기로 공식화되도록 슬라이딩 표면 설계에 비선형 항이 도입된다.슬라이딩 표면을 가로챈 후, 궤적이 다지관 내에 끌리고 동력 규칙에 따라 원점으로 수렴된다.

TSM에는 다음과 같은 몇 가지 변형이 있다: 비송음 TSM,^[2] Fast TSM,^[3]

단자 슬라이딩 모드는 비선형 프로세스 제어에도 광범위하게 적용되었다. 예를 들어, 강체 로봇 제어 등이 그것이다.비 립시츠(non-Lipschitz)이기 때문에 그 기원에서의 시스템 행동의 수학적 처리에 대해서는 아직도 몇 가지 공개적인 문제가 남아 있다.

제어 방식

표준 형태의 연속 비선형 시스템을 고려한다.

${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ 1 ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ( t ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ) ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ = ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ( t ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$ ) ${\displaystyle {\cdot }{\cdot$ }}{ $x}}}{1$ }( $t)=x_{2}(t)}$ ...... ${\overset {\cdot }{x}}_{1}(t)=x_{2}(t)$

${\cdot }{x}_{n-1}(t)=x_{n}(t)$

${\cdot }{x}_{n}(t)=a(x)+b(x)u(t)$

$x(t)\in R^{n}$ 서 $x(t)\in R^{n}$ ( t $x(t)\in R^{n}$ ) $x(t)\in R^{n}$ $x(t)\in R^{n}$ $x(t)\in R^{n}$ ${\$ R $^{n}}$ 은 상태 $x(t)\in R^{n}$ $u\in R$ , $u\in R$ { $u\in R$ R {\ $displaystyle u\in$ R $}$ 은 $u\in R$ ( $a(x)$ ) ${\$ $displaystyle$ $a$ $(x)}$ $b(x)$ b $(x)$ 는 x $b(x)$ $(t$ 의 비선형 함수다.그 다음, 일련의 단자 슬라이딩 표면을 다음과 같이 설계할 수 있다.

$s_{1}(t)={\overset {\cdot }{{s}}{0}(t)+\reason _{1}s_{0}^{0}\reason _{1}{1}(t)$

$s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ( $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ) $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ = $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ( $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ) $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ + $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ 2 $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ( t $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ) $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ 1 $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ 2 ( $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$ ) ${\displaystyle s_{2}(t)={\cdot$ }}}{ $s}}}{1}(t)+\{2$ }(t $) _{1$ }^{1 $}(t) _{2}}(t$ ) ...... $s_{2}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{1}(t)+\alpha _{2}(t)s_{1}^{\gamma _{2}}(t)$

$s_{n-1}(t)={\overset {\cdot }{s}}_{n-2}(t)+\alpha _{n-1}(t)s_{n-2}^{\gamma _{n-1}}(t)$ where $s_{0}(t)=x_{1}(t)$ and $\gamma _{i}={\frac {p_{i}}{q_{i}}},i=1,2,...,n-1$ ${\displaystyle \i}={{i}={\frac {p_{i}}}{q_{i}},$ i $=1,2, ...,n-1}.$ $p_{i},q_{i}$ i $p_{i},q_{i}$ $p_{i},q_{i}$ i ${\$ $displaystyle p_{i$ $}, q_$ { $i}}}$ 는 $p_{i},q_{i}$ 양의 홀수 및 $p_{i}\leq q_{i}$ i $.$