순수 평등이론

수학 논리학에서 순수 평등 이론은 1차 이론이다.등식관계 기호로만 구성된 서명이 있으며 비논리적인 공리는 ^[1]전혀 포함되지 않습니다.

이 이론은 일관성이 있지만 불완전하다. 통상적인 평등 관계가 있는 빈 집합이 아닌 집합은 특정 문장을 참되게 만드는 해석을 제공하기 때문이다.는 결정할 수 있는 이론의 하나의 예와 일차 논리(고, Skolem 정상적인 형태를 통해, 프로그램 분석에 제한하는 것을 related[2]단항 predicates을 인정하)의 단항의 수업과 순수한 집합의 단항 second-order 이론 등 더 많은 표현이 풍부한 결정할 수 있는 이론의 조각 부분을 이렇게 추가로 수량화할 수 있도록 o.순진r의 술어 및 그 시그니처가 k 후계자의^[3] 모노딕 2차 로직까지 확장됩니다).

역사적 의의

순수한 평등 이론은 1915년 레오폴드 뢰벤하임에 의해 입증되었다.

고정 자연수 m에 대해 정확히 m개의 개체가 있다는 공리를 더하거나 무한히 많은 개체가 있다는 공리 스킴을 더하면 완성된 이론이 된다.

FOL 이론으로서의 정의

순수한 평등 이론은 평등과 1차 논리의 공식을 포함하고 있는데, 여기서 유일한 술어 기호는 평등 그 자체이며 함수 기호는 없다.

따라서 원자식의 유일한 형태는 x $x=y$ $(x$ , y \ display $style$ x $= y$ )입니다 $x=y$ . $x,y$ 서x , $(x$ , $y)$ 는 $x,y$ (동일한) 변수입니다.구문적으로 보다 복잡한 공식은 can $\land ,\lor ,\lnot$ ,, $display,$ \displaystyle $\land,\lor,\lnot$ 등의 $\land ,\lor ,\lnot$ 명제접속어와 ifiers $ifiers$ , $\,$ \ $displaystyle$ \forall, \ $exists$ 등의 명제접속어를 사용하여 1차 로직으로 구축할 수 있습니다.

이러한 공식을 해석하는 등식을 갖는 1차 구조는 그 요소에 등식 관계를 갖는 집합일 뿐이다.따라서 이러한 서명을 가진 동형구조는 동일한 카디널리티의 집합이다.따라서 카디널리티는 구조에서 문장이 참인지 아닌지를 고유하게 판단한다.

예

다음 공식:

\displaystyle x,y,z.\ (z=x\lor z=y)

공식을 해석하는 집합에 최대 두 개의 요소가 있을 때 true입니다.

표현력

$이$ 이론은 상수 $k$ 에 대해 $(\$ $displaystyle$ $D_{k$ })를 $D_{k}$ $D_{k}$ 공식을 사용하여 해석 영역이 $상수$ k(\ $displaystyle$ k $k$ 에 $k$ 대해 $최소$ k(\ $displaystyle$ k $)$ 요소를 $k$ 가지고 있다는 사실을 나타낼 수 있다.

(\displaystyle \displaystyle x_{1},\ldots,x_{k}).\ \ bigwedge _ { 1 \ leq i < j \ leq k } x _ { i } \ neq x _ { j }

그런 다음 부정을 사용하여 도메인에 $k개$ $k$ 의 $요소$ 가 있음을 나타낼 수 있습니다 $.$ 보다 일반적으로, 그것은 주어진 유한 기수의 유한 집합을 가지도록 도메인을 구속할 수 있다(문장의 스펙트럼 참조).

이론의 정의

모형의 관점에서, 순수한 평등 이론은 카디널리티에 관계없이 모든 (빈) 집합에 대해 참인 1차 문장의 집합으로 정의될 수 있다.예를 들어, 다음은 순수 평등 이론의 유효한 공식이다.

\displaystyle(\forall x,y,z.\(z=x\lor z=y))\lor(\land p,q,r.\neq q\land p\neq r\land q\neq r)}

1차 논리의 완전성에 의해 모든 유효한 공식은 1차 논리의 공리와 등식 공리를 사용하여 입증할 수 있다(등식 논리 참조).

결정 가능성

결정성은 모든 ^[4]문장이 도메인의 카디널리티에 관한 공식의 명제적 조합과 동등함을 나타낼 수 있음을 확립함으로써 나타낼 수 있다.

양자화 제거를 얻으려면 정의 가능한 관계(단일 2차 공식에 더 일반적으로 작용하는 기술)를 유지하면서 언어의 서명을 확장할 수 있습니다.결정성을 확립하기 위한 또 다른 접근법은 Ehrenfeucht-Frassssé 게임을 사용하는 것입니다.

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레퍼런스

^ Monk, J. Donald (1976). "Chapter 13: Some Decidable Theories". Mathematical Logic. Graduate Texts in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 240. ISBN 978-0-387-90170-1.
^ Bachmair, L.; Ganzinger, H.; Waldmann, U. (1993). "Set constraints are the monadic class". [1993] Proceedings Eighth Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science: 75–83. doi:10.1109/LICS.1993.287598.
^ Rabin, Michael O. (July 1969). "Decidability of Second-Order Theories and Automata on Infinite Trees". Transactions of the American Mathematical Society. 141: 1. doi:10.2307/1995086.
^ Monk, J. Donald (1976). "Chapter 13: Some Decidable Theories, Lemma 13.11". Mathematical Logic. Graduate Texts in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 241. ISBN 978-0-387-90170-1.

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[1] Monk, J. Donald (1976). "Chapter 13: Some Decidable Theories". Mathematical Logic. Graduate Texts in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 240. ISBN 978-0-387-90170-1.

[2] Bachmair, L.; Ganzinger, H.; Waldmann, U. (1993). "Set constraints are the monadic class". [1993] Proceedings Eighth Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science: 75–83. doi:10.1109/LICS.1993.287598.

[3] Rabin, Michael O. (July 1969). "Decidability of Second-Order Theories and Automata on Infinite Trees". Transactions of the American Mathematical Society. 141: 1. doi:10.2307/1995086.

[4] Monk, J. Donald (1976). "Chapter 13: Some Decidable Theories, Lemma 13.11". Mathematical Logic. Graduate Texts in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 241. ISBN 978-0-387-90170-1.

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